Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 6 Сжимающие отображения



 

 

1.6.1Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим? Найти х3, где хк+1 = F(хк), =0. Оценить расстояние от х3 до неподвижной точки, если F является сжимающим.

 

X F
1.6.1.1
1.6.1.2
1.6.1.3 C[-1;1]
1.6.1.4
1.6.1.5 C[-1;1]
1.6.1.6

 

 

1.6.2 Применим ли принцип сжимающих отображений к заданному интегральному уравнению в пространстве Х при ? При с точностью до 0,01 найти приближённое решение и сравнить его с точным решением.

 

Х Уравнение
1.6.2.1 C[0;1]
1.6.2.2 C[-1;1]
1.6.2.3 C[-2;2]
1.6.2.4 C[-1;1]
1.6.2.5 C[0;1]
1.6.2.6 C[-1;1]

 

Примеры решения задач

1Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим? Найти х3, где хк+1 = F(хк), =0. Оценить расстояние от х3 до неподвижной точки, если F является сжимающим.

 

Пример 1 .

Решение. Оценим расстояние в

(мы воспользовались неравенством ). Значит, F является сжимающим отображением с константой Липшица .

Построим последовательность . По условию поэтому

. А так как

,

где - неподвижная точка, то

 

Пример 2

 

Решение. Оценим расстояние в .

Значит, f – сжимающее отображение с константой

По условию, . Тогда , , а потому

(на самом деле, как легко проверить, является неподвижной точкой).

 

Пример 3 .

 

Решение. Допустим, что отображение F является сжимающим, т.е. .

При y=0 из этого неравенства следует, что

. (1)

Подставив в левую часть неравенства (1), получим

при

(мы воспользовались эквивалентностью при ).

Правая же часть неравенства (1), как легко проверить, при этом значении х равна . Следовательно, неравенство (1) при указанных и примет вид: ­ противоречие. Значит, F не является сжимающим. (Аналогичное решение получается и при ).

 

 

2Применим ли принцип сжимающих отображений к заданному интегральному уравнению в пространстве Х при ? При с точностью до 0,01 найти приближенное решение и сравнить его с точным решением.

(1)

 



Решение. Определим отображение по формуле

(2)

Тогда исходное уравнение запишется в виде и искомое решение есть неподвижная точка отображения . Метрическое пространство C[0;1] является полным, поэтому если мы покажем, что – сжимающее отображение C[0;1] в себя, то можно будет применить принцип сжимающих отображений. То, что отображение непрерывную на функцию переводит в непрерывную, в данном случае очевидно (а в общем следует из свойств интеграла, зависящего от параметра). Определим, при каких отображение является сжимающим. Известно, что отображение

(3)

является сжимающим в C[a;b], если где . При этом константа Липшица . (Заметим, что это утверждение дает лишь достаточное условие сжимаемости). В данном случае , . Следовательно, является сжимающим при т.е., в частности, при и .

Докажем, что не является сжимающим при . Если допустить, что – сжимающее, то для и некоторого должно выполняться неравенство

.

При , последнее неравенство примет вид

.

А так как ,

То получаем, что , откуда в пределе . Это противоречие доказывает, что не является сжимающим при .

Решим уравнение (1) при . При этом отображение − сжимающее, а потому для нахождения приближённого решения можно воспользоваться методом итераций (последовательных приближений). Из уравнения (1) следует, что его решение имеет вид

где (4)

Поскольку выбирается произвольно, возьмём . Дальнейшие приближения находятся по формулам , .

Установим номер k, при котором элемент будет давать точность приближения 0,01. Используем оценку погрешности (х - точное решение)

.

В нашем случае . Тогда

.

.

Следовательно,

,

А потому искомое k определяется из неравенства: . Поскольку k=3 ему удовлетворяет, будет приближенным решением исходного уравнения с точностью 0,01. Найдём :



,

.

Итак, приближённое решение с нужной точностью есть

Точное решение имеет вид (см. формулу (4)). Подставив в (1), получим:

. Отсюда , . Следовательно, точное решение есть

Сравним его с приближённым:

.

 

Замечание.Первую часть решения можно сократить, если воспользоваться тем фактом, что норма линейного оператора

в пространстве C[0;1] дается формулой

.

Поскольку норма есть точная константа в неравенстве ограниченности, отображение А1является сжимающим тогда и только тогда, когда То же верно и для отображения (почему?).

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!