Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 5 Компактные множества в метрических пространствах



1.5.1 Выяснить, является ли множество М предкомпактным, компактным в C[0;1].

 

М М
1.5.1.1 {atα | 1 α 10, |a| 10} 1.5.1.4 { ) | 0 a, b 1}
1.5.1.2 {atα | 0 α 1, 0 < a < 1} 1.5.1.5 { | 1 a, b 2}
1.5.1.3 {cos at | -1 a 1} 1.5.1.6 { | a 1, b>1}

 

 

1.5.2 Является ли множество М предкомпактным в lp?

 

р М
1.5.2.1 {x| | xk | < , k N}
1.5.2.2 {x | < | xk | < , k N }
1.5.2.3 {x | | xk | , k N }
1.5.2.4 {x | | xk | , k N }
1.5.2.5 {x | x2k = 0, 0 < x2k+1 , k N }
1.5.2.6 {x | | xk | < , α }

 

Примеры решения задач

 

1 Выяснить, являются ли данные множества предкомпактными, компактными в C[0;1].

 

Пример 1 а) М = { | a,b,α [0;1]};

б) М1 = { | a,b [0;1], α (0;1)}.

Решение. Проверим для множества М условия теоремы Арцела-Асколи. Рассмотрим функцию f(t,a,b,α) = . Пусть К = [0;1]3. Тогда f непрерывна на [0;1] К и М= . Множество [0;1] К является компактом. По теореме Вейерштрасса, f ограничена на [0;1] К, т.е. с t [0;1] (a,b,α) [0;1]3 справедливо неравенство c. Значит, М равномерно ограничено (впрочем, легко проверить и непосредственно, что при наших условиях 1).

Проверим равностепенную непрерывность множества М. По теореме Кантора, f равномерно непрерывна на [0;1] К. Если обозначить через s = (a,b,α) произвольную точку из К, то равномерная непрерывность f означает, что >0 >0 из [0;1], таких, что |t1 - t2| < , и s1,s2 из К, таких, что ρ(s1,s2) < (ρ обозначает евклидову метрику в К), справедливо неравенство

.

Отсюда следует равностепенная непрерывность множества М (см. определение). Значит, по теореме Арцела-Асколи М предкомпактно.

Для доказательства компактности множества М теперь достаточно проверить его замкнутость в C[0;1]. Но это тоже следует из непрерывности функции f. В самом деле, если х ­ предельная точка множества М, то найдется последовательность функций из М, сходящаяся к х в C[0;1]. По свойству Больцано-Вейерштрасса из последовательности sn точек множества К можно выбрать подпоследовательность , сходящуюся к точке . Тогда поточечно , а потому в силу единственности предела . Итак, М – компакт.



Далее, так как М1 М, то множество М1 предкомпактно. Но М1 не является компактом, так как не замкнуто в C[0;1]. Действительно, функции хn(t) = М1, но предел этой последовательности (t) = 1 М1.

 

 

Пример 2 М = {tn | n N}.

 

Решение. Это множество является равномерно ограниченным, но не является равностепенно непрерывным. Действительно, возьмем = 1/4. Тогда >0 найдется такое натуральное n, что точки t1=1 и t2 = [0;1] удовлетворяют неравенству |t1 - t2| = < , но в то же время = > . Значит, по теореме Арцела-Асколи М не является предкомпактным, а потому и компактным множеством.

 

 

Пример 3 М = { | a R}.

 

Решение. Множество М равномерно ограничено, так как

t a 1.

Множество М равностепенно непрерывно, так как >0 a R и t1, t2 [0;1], таких, что |t1 - t2| < , имеем

| | = |t1 - t2| < .

Значит, по теореме Арцела-Асколи М предкомпактно.

Покажем, что М содержит все свои предельные точки. Пусть х есть предельная точка множества М, равномерно на [0;1]. В силу периодичности синуса можно считать, что . При этом промежуток удобно отождествлять с фактор-группой R/ Z, т. е. с единичной окружностью, наделенной естественной топологией, в которой она компактна. (Отличие здесь в том, что если последовательность в R сходится к , то в этой топологии предел считается равным 0). Заметим, что в этой топологии существует . Действительно, если допустить противное, то найдутся две подпоследовательности и , имеющие различные пределы и соответственно. Но тогда , откуда . Противоречие. Следовательно, . Значит, М – замкнутое множество, откуда следует, что М – компакт.

 

 

2 Является ли множество М предкомпактным в l1?



 

Пример 1 M = {x l1 | | | < , | | < , | | = 1}.

 

Решение. Проверим критерий предкомпактности в l1.

1) Множество М является ограниченным, поскольку n 2 |xn | < , а потому

х М < 1 + = .

2) Так как ряд сходится, то его остаток стремится к нулю, т.е. >0 N : < .

Поэтому >0 N: х М < < .

Значит, множество М предкомпактно.

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!