Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 4 Непрерывные отображения



 

 

1.4.1Выяснить, является ли заданное отображение на своей естественной области определения непрерывным в точке ?

 

X Y F
1.4.1.1
1.4.1.2
1.4.1.3
1.4.1.4    
1.4.1.5
1.4.1.6

 

1.4.2Является ли заданное отображение : а) непрерывным; б) равномерно непрерывным; в) удовлетворяющим условию Липшица?

 

X Y F
1.4.1.1
1.4.1.2
1.4.1.3
1.4.1.4
1.4.1.5
1.4.1.6

 

Примеры решения задач

1Является ли заданное отображение на своей естественной области определения непрерывным в точке ?

Пример 1 , , .

Решение Очевидно, что заданное отображение определено на всем . Представим его в виде: , где , , и покажем, что и непрерывны в любой точке . Пусть последовательность сходится к в . Тогда

| - | .

Отсюда следует, что непрерывно.

Докажем непрерывность . Так как функция , то она ограничена на [0;2], т. е. . А так как равномерно на [0;2], то, начиная с некоторого номера, на [0;2] (почему?). Тогда

= =

= =

.

Отсюда следует, что в . Поэтому в силу произвольности отображение непрерывно в любой точке из .

 

Пример 2 .

 

Решение. Пусть последовательность сходится к в . Заметим, что = .

Теперь в силу неравенства Коши-Буняковского

= =

.

(аналогичные вычисления показывают, что принадлежит при из ; поэтому отображение определено на всем ). Значит, – непрерывное отображение в точке .

 

Пример 3 .

Решение Покажем, что отображение не является непрерывным. Возьмём последовательность . [0;1/n], которая стремится к нулюв . Действительно,

при .

Рассмотрим теперь выражение

= = = == = = .

Следовательно, последовательность нестремится к нулю при ,а потому нестремится к .

Пример 4 .

Решение Покажем, что отображение не является непрерывным. Заметим, что

= .

Возьмем последовательность . [0;1/n-2], которая сходится к нулю в , так как при .



Тогда при ,

а потому нестремится к .

2Является ли заданное отображение : а) непрерывным; б) равномерно непрерывным; в) удовлетворяющим условию Липшица?

Пример 1 .

Решение а) Отображение является непрерывным, так как

(мы воспользовались неравенством ; здесь ).

б) Покажем, что не является равномерно непрерывным. Возьмём

. Тогда 0 при , но

- = + = = ,

а значит, не стремится к нулю при . Это противоречит определению равномерной непрерывности (проверьте).

в) Так как не является равномерно непрерывным, то оно не удовлетворяет условию Липшица (почему?).

 

Пример 2 .

Решение Покажем, что удовлетворяет условию Липшица с константой . Заметим, что

{ }.

Обозначим . Тогда

= .

Следовательно, по теореме Лагранжа , а значит,

{ } .

Так как удовлетворяет условию Липшица, то оно равномерно непрерывно, а потому и непрерывно.

Пример 3 .

Решение Покажем, что удовлетворяет условию Липшица. Действительно,

= =

= .

Так как , то по теореме Лагранжа . Поэтому при любых x,y

.

Так как удовлетворяет условию Липшица, то оно является равномерно непрерывным.

 

Пример 4 .

 

Решение а) Покажем, что непрерывно. Действительно, если в , то числоваяпоследовательность сходится к .Тогда 0при .

б) Покажем, что не является равномерно непрерывным. Пусть

, , , .

Тогда при .

Но при .

в) Так как не является равномерно непрерывным, то оно не удовлетворяет и условию Липшица.

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!