Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 3 Полнота метрических пространств



 

 

1.3.1 Является ли последовательность фундаментальной в данном пространстве X? Найти , если он существует.

 

X
1.3.1.1      
1.3.1.2
1.3.1.3
1.3.1.4
1.3.1.5
1.3.1.6

 

 

1.3.2 Выяснить, является ли заданное пространство полным.

 

1.3.2.1 А) Пространство непрерывно дифференцируемых на отрезке [a;b] функций с метрикой .

Б) Пространство всех дважды дифференцируемых на отрезке [a;b] функций с метрикой .

1.3.2.2 А) Пространство числовых последовательностей , удовлетворяющих условию , с метрикой .

Б) Пространство всех непрерывных на отрезке [a;b] функций с метрикой .

1.3.2.3 А) Пространство всех ограниченных числовых последовательностей с метрикой .

Б) с метрикой .

1.3.2.4 А) Пространство сходящихся к нулю последовательностей с метрикой .

Б) с метрикой .

1.3.2.5 А) Пространство с сходящихся последовательностей с метрикой .

Б) с метрикой .

1.3.2.6 А) Пространство ограниченных и непрерывных на интервале (a;b) функций с метрикой .

Б) с метрикой .

 

Примеры решения задач

1 Является ли последовательность фундаментальной в данном пространстве X? Найти , если он существует.

Пример 1 , ,

где K – канторово множество.

 

Решение Так как канторово множество имеет лебегову меру нуль, то и - множество меры нуль. Значит, п.в.

Покажем, что сходится к 0 в . Для этого рассмотрим

и воспользуемся разложением по формуле Тейлора:

при .

Получаем:

при .

Тот же результат мы получим, применив теорему Лебега о предельном переходе под знаком интеграла.

Итак, сходится к 0, а потому она фундаментальна.

 

Пример 2 , ,

 

Решение Так как - множество меры нуль, то п.в. на [0;1]. Покажем, что эта последовательность не фундаментальна в нашем пространстве:

(мы воспользовались леммой Римана из теории рядов Фурье, согласно которой , но можно было бы вычислить интеграл и непосредственно).

 

 

2 Является ли метрическое пространство полным?

 

Пример 1 ­ пространство вещественнозначных ограниченных функций на [0,1], наделенное метрикой .

 

Решение Покажем, что любая фундаментальная последовательность ( ) в является сходящейся. Ее фундаментальность значит, что : выполняется неравенство



. (1)

Зафиксируем произвольное число . Тогда числовая последовательность ( ), в силу (1), является фундаментальной в R. По причине полноты пространства R,последовательность сходится. Положим , t [0,1]. Тем самым на [0;1] определена функция , к которой сходится поточечно. Осталось доказать, что

1) ;

2) при .

С этой целью перейдем в (1) (а точнее, в неравенстве , справедливом при всех t из [0,1]) к пределу при . Получим, что

. (2)

В частности, при выполняется оценка:

,

из которой следует ограниченность . Следовательно, . Наконец, формула (2) означает, что . Поэтому

при .

 

Пример 2 ( ) – пространство числовых последовательностей , удовлетворяющих условию: , где , ) ­ заданная числовая последовательность; .

 

Решение Покажем, что данное пространство полно. Пусть ( ) - фундаментальная последовательность в . Это значит, что

: . (1)

Тогда для любого фиксированного имеем:

,

т. е. . Следовательно, для любого фиксированного числовая последовательность является фундаментальной, а потому сходится. Обозначим и положим . Осталось показать, что

1) и

2) при .

Из (1) следует, что любого фиксированного , что в пределе при дает . Переходя теперь к пределу при , получим , т.е.

: . (2)

Возьмем какие-нибудь и и обозначим

.

Вследствие неравенства Минковского, имеем

,

а это значит, что . Теперь (2) показывает, что при , а потому ( ) сходится в нашем пространстве к .

 

Пример 3 - ­ множество непрерывно дифференцируемых на [-1,1] функций с метрикой .

 

Решение Рассмотрим последовательность и покажем, что она является фундаментальной, но не является сходящейся в нашем пространстве. Заметим, что эта последовательность поточечно сходится к функции \ Х., где



.

А так как , то, по теореме Лебега, при . Это означает, что в пространстве последовательность сходится к . Следовательно, она фундаментальна в Х. С другой стороны, если предположить, что последовательность сходится в данном пространстве Х к некоторой функции , то получим, что имеет два предела в : ­ и .­ Противоречие. Итак, данное пространство не является полным.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!