Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Примеры решения типовых задач. 1 Является ли данное множество открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве



1 Является ли данное множество открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве . Найти его замыкание, внутренние и граничные точки.

 

Пример 1 .

 

Решение Множество не является открытым, и более того, ни одна его точка не является внутренней. Действительно, и для любого шара имеем , но , так как .

Множество является замкнутым, так как оно содержит в себе пределы всех своих сходящихся последовательностей. Действительно, если в , , то и . А это значит, что .

Граница множества совпадает с самим множеством , что теперь сразу следует из формулы .

Множество не является ограниченным, так как последовательность , но .

 

Пример 2 .

Решение Покажем, что является открытым. Возьмём , т.е.

.

Тогда . Покажем, что шар . Возьмём . Это значит, что . Тогда

.

Значит, .

Так как открыто, то .

Множество не является замкнутым, так как содержит не все свои предельные точки. Действительно, возьмём последовательность из . Тогда , но , т.е. .

Замечание Нормированное пространство X всегда связно, так как любые две его точки х и у можно связать непрерывным путем , лежащим в X, а потому в нем нет открытых и одновременно замкнутых собственных подмножеств.

Замыкание . Действительно, если принадлежит , то найдется последовательность равномерно сходящаяся к на [a,b]. А тогда

.

Обратно, если , то последовательность принадлежит и сходится к равномерно (проверьте!), а потому принадлежит .

Теперь ясно, что граница .

Наконец, не является ограниченным, так как , но .

 

Пример 3 .

 

Решение Покажем, что открыто. Возьмём . Тогда , а потому . Рассмотрим . Для любого имеем , а тогда .

Покажем, что замыкание множества есть . Действительно, если принадлежит , то найдется последовательность равномерно сходящаяся к на [a,b]. А тогда . Обратно, если , то последовательность принадлежит и сходится к равномерно на [a,b] (проверьте), а потому принадлежит .

Теперь ясно, что граница .

Очевидно, что данное множество ограничено.

 

 

2 Для данного множества А выяснить, является ли множество открытым, замкнутым, ограниченным в .

 

Пример 1 .

 

Решение Множество замкнуто, так как содержит в себе все свои предельные точки. Действительно, если то (почему?). Но так как , то и . Значит, В.

Так как замкнуто, то оно не является открытым, поскольку пространство связно (см. замечание в решении примера 2 к задаче 1). Но легко дать и прямое доказательство. Действительно, точка e1=(1,0,0,…) принадлежит , но для любого точка , хотя и лежит в - окрестности точки .



Наконец, ограничено, так как

.

 

Пример 2 .

 

Решение Множество не является открытым. Для доказательства покажем, что точка не является для него внутренней. Возьмём и найдём такое натуральное N, что . Тогда , но , поскольку .

Множество не замкнуто. Действительно, рассмотрим . Тогда сходится к точке , так как при , но .

Множество ограничено, так как .

 

Пример 3 .

 

Решение Покажем, что множество открыто. Возьмём . Найдется такое , что . Если (шар рассматривается, конечно, в ), то . Тогда и . Теперь, в силу неравенства Минковского, имеем

.

Значит, , т.е. . Итак, .

Так как открыто, то не замкнуто по замечанию из решения примера 2 к задаче 1. Дадим прямое доказательство этого факта. Точки где , очевидно, принадлежат . Но в то же время сходится в к .

Покажем, что не ограничено. Рассмотрим последовательность

.

Имеем: , так как

,

но в то же время при .



 

Пример 4 .

 

Решение Покажем, что не является открытым. Возьмём и . Найдётся такое натуральное , что . Тогда , но .

Множество не является и замкнутым. Для доказательства рассмотрим последовательность . Она сходится к точке

,

которая не принадлежит , так как .

Множество ограничено, поскольку неравенство влечет

.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!