Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Уравнение Фредгольма как предел системы конечного числа линейных алгебраических уравнений. Фундаментальные соотношения Фредгольма



Решение уравнения

(7.1)

данное в предыдущем параграфе, обладает тем недостатком, что оно имеет силу для ограниченных значений параметра . Желательно же иметь, если это возможно, такое решение, которое было бы справедливо при всех . Такое решение было дано Фредгольмом в форме

где числитель и знаменатель – степенные ряды, сходящиеся при всех значениях .

 

а) Система линейных алгебраических уравнений, заменяющих интегральное уравнение. Прежде чем излагать полно и строго полученные Фредгольмом результаты, мы наметим в общих чертах те основания, которые привели к их открытию.

Разделим интервал на равных частей и обозначим точки деления через Тогда

. (7.2)

Если мы заменим определенный интеграл в уравнении (7.1) суммой, соответствующей точкам деления (7.2), пределом которой он является, то получим приближенное уравнение

Так как это уравнение имеет место для всех значений , то оно должно удовлетворяться, в частности, и для Тем самым мы получаем следующую систему n линейных уравнений относительно неизвестных

 

(7.3)

 

Разрешив эту систему относительно , мы сможем нанести найденные значения как ординаты и провести через вершины этих ординат интерполяционную кривую смотри чертёж 2

Мы вправе ожидать, что эта кривая будет приближенно представлять действительное решение.

Будем писать для сокращения

и обозначим через определитель, составленный из коэффициентов, стоящих при неизвестных в написанной выше системе уравнений (7.3)

Если мы обозначим через алгебраическое дополнение элемента, находящегося на пересечении -й строки и -го столбца определителя , то, разрешая систему уравнений (7.3) относительно

мы получим по формулам Крамера

(7.4)

в предположении, что .

б) Предел определителя . Развертывая по степеням , получаем

Если теперь мы будем безгранично увеличивать , то каждый член этого ряда будет стремится к определенному пределу. Таким образом, по крайней мере формально, мы получим

(7.5)

называют определителем Фредгольма ядра .

в) Предел . Определитель развертывается по степеням совершенно аналогично тому, как это имеет место для

где знак означает, что сумма не распространяется на члены с индексом . Переходя к пределу, получаем

(7.6)

Далее согласно правилам разложения определителей

Положим . Если при бесконечном увеличении мы будем изменять так, чтобы , то, по крайней мере формально, получим




.(6.7) (6.8)

Это выражение называют первым минором Фредгольма.

г) Предел . Выражение (7.4) можно переписать в форме

что в пределе, при , переходит в

Но есть любая точка деления. Поэтому мы можем заменить на и написать

(7.9)

Путь, которым мы получили этот результат, не является строгим математическим путем. Тем не менее представляется весьма вероятным, что выражение (7.9) для действительно есть решение уравнения (7.1). Ниже будет показано, что это на самом деле так.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!