Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Построение векторной диаграммы



Задание на расчетно-графическую работу

Выполнить электрический анализ цепи при гармоническом входном воздействии:

1.Определить величину нагрузки для заданной цепи, при которой в неё будет передаваться максимум мощности на заданной частоте. Принять .

2.Расчитать заданную электрическую цепь с учётом при гармоническом входном сигнале:

.

3.Оценить точность расчёта методом баланса мощностей. Погрешность расчёта не должна превышать 1%.

4.По результатам расчёта построить векторную диаграмму и с помощью векторной диаграммы проверить выполнение законов Кирхгофа в рассчитанной схеме.

 

 


Рис. 1. Исходная схема

 

 

Исходные данные:

 

f = 2,5 кГц; R1 = 4 Ом; R2 = 400 Ом;

С = 2 мкФ; L = 2,0 мГн; Um = 10 В.

 

Определение величины нагрузки

Из условия задания, величина нагрузки, при которой в неё будет передаваться максимум мощности, должна равняться модулю сопротивления схемы относительно точек 22'. Схема в комплексной форме для определения величины нагрузки представлена на рис.2.

 

 

Рис.2 Схема для определения величины нагрузки

 

Для дальнейшего расчета понадобятся расчетные значения следующих величин:

рад.

Ом

Ом

Определяем сопротивление цепи между точками 22'. Из схемы видно, что элементы XL, и Xc соединены параллельно, а они, в свою очередь, соединены последовательно с R1. Тогда сопротивление между точками 22' определяется по формуле:

Подставляем в формулу численные значения:

 

 

Теперь можно сразу найти модуль от . Известно, что модуль дроби комплексного числа равен модулю числителя, деленного на модуль знаменателя:

Ом

Ом.

 

 

Расчет электрической цепи

В инженерной практике часто используются следующие методы расчёта – метод эквивалентного преобразования, расчёт с помощью законов Кирхгофа и метод контурных токов. В названной последовательности ниже будет показано применение этих методов к расчёту заданной цепи.

2.2 Расчёт электрической цепи методом эквивалентного преобразования

Основная идея метода состоит в том, что электрическая цепь последовательно преобразуется ("сворачивается") до одного эквивалентного элемента, и определяется входной ток. Затем осуществляется постепенное возвращение к исходной схеме ("разворачивание") с последовательным определением токов и напряжений.



2.3 Последовательность расчёта

1. Расставляются условно–положительные направления токов и напряжений.

2. Поэтапно эквивалентно преобразуются участки цепи. При этом на каждом этапе во вновь полученной после преобразования схеме расставляются токи и напряжения.

3. В результате эквивалентного преобразования определяется величина эквивалентного сопротивления цепи.

4. Определяется входной ток цепи с помощью закона Ома.

5. Поэтапно возвращаясь к исходной схеме, последовательно находятся все токи и напряжения.

В соответствии с рассмотренной последовательностью расчёта, на исходной схеме (рис.3) указываем условно-положительные направления токов и напряжений.

 

 

 

Первым эквивалентным преобразованием будет объединение последовательно соединённых Rн и R1 (рис.4), которое обозначим через .

 

 

 

 

Находим и представляем его в показательной форме:

Далее эквивалентно преобразуем (объединяем) три параллельно соединенных элемента , и , заменяя их сопротивлением (рис.5).

 

 

 

Подставляем численные значения в (2) и выполняем очевидные преобразования. С целью уменьшения преобразований целесообразно в числителе (2) комплексное сопротивление (1) представить в показательной форме, а весь знаменатель представить в алгебраической форме:

 

.

Входное сопротивление цепи обозначим через и оно будет равно (рис.5):

Подставляя численные значения и выполняя очевидные преобразования, находим :

Находим входной ток по закону Ома. Входное напряжение в комплексной форме имеет вид:

Частоту в выражениях для электрических величин (токи и напряжения) принято не обозначать конкретным числом.



В соответствии со схемой на рис.5, находим напряжения и по закону Ома:

Далее возвращаемся к схеме на рис.4. Сравнивая её со схемой на рис.5, видим, что

Находим токи , , в параллельных ветвях:

 

 

Возвращаемся к исходной схеме на рис.3 и определяем напряжения и :

 

Оценка погрешности расчета

В соответствии с заданием погрешность расчета будет оцениваться методом баланса мощностей. В соответствии с этим методом погрешность расчета определяется по формуле:

,

где

Рист – мощность, выделяемая источником,

Рн – суммарная мощность, потребляемая всеми диссипативными элементами.

 

Эти мощности определяются по формулам:

,

где

- фаза входного тока .

Подставляем численные значения в эти формулы, находим значения мощности:

Вт

Вт

Подставляем найденные значения мощностей в формулу для определения погрешности:

Полученная погрешность удовлетворяет условию задания.

Построение векторной диаграммы

При построении векторной диаграммы и при её анализе удобно располагать отдельно выписанными результатами расчетов.

Результаты расчетов:

Входное напряжение:

Построение векторной диаграммы следует выполнять в соответствии с требованиями, изложенными в приложении 2.

Векторная диаграмма представлена на рис.6.

 

В соответствии с требованием задания, на векторной диаграмме показано выполнение первого и второго законов Кирхгофа, в соответствии со следующими уравнениями:

,

На этом расчёт электрической цепи заканчивается.

3 Расчёт электрической цепи методом контурных токов

 

Прежде, чем приступить к рассмотрению примера расчёта схемы методом контурных токов, рассмотрим основные положения этого метода и последовательность расчёта в соответствии с .

Сложные схемы характеризуются наличием значительного числа ветвей. В случае применения предыдущего метода это приводит к необходимости решать систему из значительного числа уравнений. Метод контурных токов позволяет уменьшить число исходных уравнений, а значит несколько облегчить расчёт.

При расчёте методом контурных токов используются понятия не зависимого контура и зависимого контура, которые использовались в предыдущем методе. Кроме них в этом методе используются ещё следующие понятия:

- собственный элемент контура - элемент, относящийся только к одному контуру;

- общий элемент контура - элемент, относящийся к двум и более контурам цепи.

Обозначаем, как и раньше, через К число узлов, а через n число ветвей цепи. Тогда число независимых контуров цепи определяется по уже известной формуле [n-(К-1)].

Метод основывается на предположении, что в каждом не зависимом контуре течёт собственный контурный ток, и вначале находят контурные токи в не зависимых контурах. Токи в ветвях цепи определяют через контурные токи. При этом исходят из того, что в собственных элементах контура токи совпадают с контурным током данного контура, а в общих элементах ток равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, к которым принадлежит данный элемент.

 

3.1 Последовательность расчёта

 

1. Определяется число ветвей (n) и число узлов (К) цепи. Находится число независимых контуров [n-(К-1)].

2. Выбирается [n-(К-1)] не зависимых контура.

3. Выбирается условно-положительное направление контурных токов в каждом из независимых контуров (обычно показывается стрелкой).

4. Для каждого из независимых контуров составляется уравнение по второму закону Кирхгофа. При этом падение напряжения на собственных элементах определяется как произведение контурного тока на величину сопротивления, а на общих элементах - как произведение алгебраической суммы всех контурных токов, протекающих через данный элемент, на величину его сопротивления. Обход контура производится, как правило, в направлении собственного контурного тока.

5. Решается система из [n-(К-1)] уравнений и находятся контурные токи.

6. Токи в ветвях схемы находятся следующим образом:

- в собственных элементах контура ток равен контурному току;

- в общих элементах контура ток равен алгебраической сумме токов, протекающих через данный элемент.

Пример применения метода контурных токов при расчёте электрических цепей рассмотрим на той же схеме (рис.3) и представим её на рис.7. Как рассматривалось выше, в этой схеме три независимых контура.

 

 

Для дальнейшего удобства расчёта расставим в схеме условно-положительные направления токов и напряжений. Далее, в соответствии с п.4 «последовательности расчёта», для каждого независимого контура составляем уравнения по второму закону Кирхгофа. В результате этих действий получаем систему из трёх уравнений:

В полученных уравнениях раскрываем скобки и приводим подобные:

Находим ток :

 

 

Подставляем выражение тока во второе уравнение системы , в результате чего, после приведения подобных членов, эта система принимает вид:

.

Подставим численные значения и найдём значение в алгебраической и показательной форме:

С учётом (17) система уравнений (16) принимает вид:

Из второго уравнения системы найдём ток :

.

Подставим выражение для тока (20) в первое уравнение системы (19) и после приведения к общему знаменателю, получим:

 

.

Из этого уравнения находим ток :

.

В полученное выражение для тока подставляем численные значения и находим значение тока в алгебраической и показательной форме:

.

Для определения тока , подставляем в неё численные значения и находим значение тока в алгебраической и показательной форме:

.

Теперь определяем ток . Здесь удобнее будет использовать ток в показательной форме. В результате очевидных преобразований получим значение в показательной форме:

.

После определения контурных токов переходим к определению токов в ветвях. В соответствии с методом расчёта токи в собственных ветвях контуров равны контурным токам этих контуров. В соответствии с этим находим токи и :

Токи в общих ветвях определяются как алгебраическая сумма контурных токов, протекающих через эти ветви. Ток равен разности контурных токов и , так как они протекают через эту ветвь в противоположные стороны:

Подставляем численные значения контурных токов и :

Ток равен разности контурных токов и , так как они протекают через эту ветвь в противоположные стороны:

Подставляем численные значения контурных токов и :

Находим напряжения на элементах:

В.

В.

В.

В.

 

 

3.2 Определение погрешности расчёта

Определим погрешность выполненного расчёта. В начале определим мощность, выделяемую источником:

Вт.

Далее определим мощность, потребляемую диссипативными элементами схемы по известной формуле:

.

Подставляя численные значения найденных токов, находим:

Вт.

Погрешность определяем по известной формуле:

.

Подставляем найденные значения мощностей:

 

.

Как видим, точность расчёта этим методом выше точности расчёта предыдущих методов и на порядок выше точности расчёта с помощью законов Кирхгофа. Недостатком этого метода является меньшая наглядность по сравнению с другими методами.

 

 

4 Расчёт электрической цепи с помощью законов Кирхгофа

Прежде чем приступить к расчёту названным методом, рассмотрим основные положения этого метода и последовательность расчёта этим методом в соответствии .

При расчете этим методом первоначально определяются токи в ветвях, а затем напряжения на всех элементах. Токи находятся из уравнений, полученных с помощью законов Кирхгофа. Так как в каждой ветви цепи протекает свой ток, то число исходных уравнений должно равняться числу ветвей цепи. Число ветвей принято обозначать через n. Часть этих уравнений записываются по первому закону Кирхгофа, а часть - по второму закону Кирхгофа. Все полученные уравнения должны быть независимыми. Это значит, чтобы не было таких уравнений, которые могут быть получены путем перестановок членов в уже имеющемся уравнении или путем арифметических действий между исходными уравнениями. При составлении уравнений используются понятия независимых и зависимых узлов и контуров.

Независимым узлом называется узел, в который входит хотя бы одна ветвь, не входящая в другие узлы. Если число узлов обозначим через К, то число независимых узлов равно (К-1).

Независимым контуром называется контур, который отличается от других контуров хотя бы одной ветвью, не входящей в другие контура. В противном случае такой контур называется зависимым.

Если число ветвей цепи равно n, то число независимых контуров равно

[n-(К-1)].

 

4.1 Последовательность расчёта

1. Расставляем условно – положительные направления токов и напряжений.

2. Определяем число неизвестных токов, которое равно числу ветвей (n).

3. Определяем число независимых узлов и контуров и выбираем их на схеме.

4. С помощью первого закона Кирхгофа составляем (К–1) уравнений для независимых узлов.

5. С помощью второго закона Кирхгофа составляем [n – (К–1)] уравнений для независимых контуров. При этом напряжения на элементах выражаются через токи, протекающие через них.

6. Решаем составленную систему уравнений и определяем токи в ветвях. При получении отрицательных значений для некоторых токов, необходимо их направления в схеме изменить на противоположные, которые и являются истинными.

7. Определяем падения напряжений на всех элементах схемы.

В соответствии с рассмотренной последовательностью расчёта, расставляем на схеме условно-положительные направления токов и напряжений. Это уже было сделано и показано на рис.3.

 

 

На схеме имеют место две ветви, содержащие Xc и R2 которые включены параллельно и, как бывает у параллельно соединённых ветвей, у них должны быть общие узлы с обеих сторон соединения. Однако на схеме каждая ветвь имеет свой узел, между которыми находится перемычка. Такие узлы принято называть распределёнными и на схеме они воспринимаются как один узел. В схеме в этих случаях токи в перемычках не представляют интереса и их не определяют. Исходя из сказанного, в схеме имеется четыре ветви, а значит в схеме четыре неизвестных тока.

С учётом сказанного, в схеме только два узла, а в качестве независимого узла выберем верхний распределённый узел и для него, в дальнейшем будет записано уравнение по первому закону Кирхгофа.

В схеме три независимых контура. Выбираем контура, содержащие такие элементы: , . Для каждого контура составляются уравнения по второму закону Кирхгофа.

Расчёт системы можно проводить методом Крамара или методом последовательного исключения. Воспользуемся методом последовательного исключения. Подставим первое уравнение системы во второе уравнение. После эквивалентного преобразования система принимает вид :

Из третьего уравнения системы находим ток :

.

Подставляем найденный ток в первое уравнение системы и после эквивалентного преобразования система принимает вид :

.

Из второго уравнения системы находим ток :

.

Подставляем найденный ток в первое уравнение системы и после эквивалентных преобразований, получаем:

.

Решаем полеченное уравнение относительно тока :

 

.

В полученное выражение подставляем численные значения:

.

 

Осуществляя необходимые преобразования, получаем решение для :

Ток находим по формуле , подставляя в неё численные значения:

.

Ток находим по формуле, подставляя в неё численные значения:

 

.

Ток находим в соответствии с первым законом Кирхгофа по формуле:

А.

Находим напряжения на элементах:

В.

В.

В.

В.

Сравнивая полученные здесь результаты с результатами предыдущего расчёта, видим, что имеет место достаточно хорошее их совпадение. Однако определим погрешность выполненного расчёта.

 

4.2 Определение погрешности расчёта

 

Определим мощность, выделяемую источником:

Вт.

Определим мощность, потребляемую диссипативными элементами схемы по известной формуле:

.

Подставляя численные значения найденных токов, находим:

Вт.

Погрешность определяем по известной формуле:

.

Подставляем найденные значения мощностей:

 

.

Как видим, полученная погрешность удовлетворяет требованию задания.

 

ЛИТЕРАТУРА

 

1. Зевеке Г.В., Ионкин П.А., Нетушил А.В., Страхов П.В. Основы теории цепей. – М.: Энергия, 1984. – 752 с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. – М.: Высш. шк., 1984. – 558 с.

3. Атабеков Г.И. Теоретические основы электротехники. В 3 ч.– М.: Энергия, 1978. – Ч.1. Линейные электрические цепи. - 792 с.

4. Пособие по РГР по курсу «общая электротехника и электроника» Станевко В.Н

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!