Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Уравнения касательной и нормали к кривой



Касательная к графику функции в некоторой точке , где , есть прямая, проходящая через эту точку и имеющая угловой коэффициент . Уравнение касательной имеет вид : .

Нормалью к кривой называется прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно касательной. Уравнение нормали к графику функции в точке имеет вид: .

Пример: Найти уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

; .

Тогда - уравнение касательной, а - уравнение

Производные высших порядков

Пусть функция дифференцируема в некотором интервале . Тогда ее производная является функцией от . Пусть эта функция тоже имеет производную. Эта производная называется второй производной или производной второго порядка функции и обозначается .

При этом называется первой производной или производной первого порядка функции

Пример: .

Производная второй производной функции называется третьей производной, или производной третьего порядка данной функции, и обозначается: .

В общем случае производной n-го порядка функции называется первая производная производной (n-1)-го порядка данной функции и обозначается .

Производные порядка выше первого называются производными высшего порядка.

Пример: .

Выясним механический смысл второй производной. Пусть материальная точка движется прямолинейно по закону , где – путь, проходимый за время . Тогда скорость этого движения есть некоторая функция времени . Отношение называется средним ускорением за промежуток времени .

Ускорением в момент называется предел среднего ускорения при

.

Т.о., ускорение прямолинейного движения точки есть производная скорости по времени. Т.к. скорость есть производная пути по времени : , то .

Т.е. ускорением прямолинейного движения точки равно второй производной пути по времени.

Дифференциал функции

Рассмотрим функцию . Найдем ее приращение :

.

Следовательно, приращение функции можно рассматривать как сумму двух слагаемых: первого , линейного относительно , и второго , нелинейного относительно . При оба слагаемых являются бесконечно малыми, но второе слагаемое стремится к нулю быстрее:

.

Поэтому при малых приращениях функции можно считать приближенно равным его линейной части

Линейная часть приращения называется главной часть приращения функции. Пусть приращение функции в точке можно представить в виде:

( ** )

где - приращение аргумента, А - постоянная величина, - бесконечно малая функция более высокого порядка малости, чем , т.е. .



Если приращение функции в точке может быть представлено по формуле ( ** ), то главная часть приращения функции , пропорциональная приращению аргумента называется дифференциалом этой функции и обозначается .

Отбросив в формуле ( ** ) второе слагаемое при малых , получим приближенное равенство .

Теорема.Если функция имеет в точке дифференциал, то она имеет в этой точке производную.

Доказательство.

. Т.к. , то производная существует и равна A.

Отсюда получаем выражение для дифференциала.

Теорема. Если функция имеет в точке производную, то она имеет в этой точке дифференциал.

Геометрический смысл дифференциала.

Проведем к графику функции в точке касательную и обозначим через ее угол с осью ox.

Рассмотрим ординату этой касательной для точки . Отрезок NP назовем приращением ординаты касательной. Из следует: .

Покажем, что этот отрезок равен дифференциалу .

Т.к. то .

Т.о., дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!