Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Несобственный интеграл от неограниченной функции. Рассмотрим теперь конечный промежуток , на котором функция не ограничена



 

Рассмотрим теперь конечный промежуток , на котором функция не ограничена.

Пусть функция задана, ограничена и интегрируема на любом отрезке , но в точке функция является бесконечно большой, т.е. .

Рассмотрим предел

. (36)

Этот предел называется несобственным интегралом функции от до , или несобственным интегралом I рода, и обозначается как обычно:

. (37)

Если предел (36) существует и конечен, то говорят, что интеграл (37) существует, или сходится, а функция интегрируема на промежутке . Если предел (36) бесконечен или не существует, то говорят, что интеграл (37) не существует, или расходится.

Пример 10.5.

.

Пример 10.6.

.

Пусть теперь функция задана, ограничена и интегрируема на любом отрезке , но в точке функция является бесконечно большой, т.е. . Тогда несобственный интеграл функции в пределах от до определяется равенством

(38)

Если предел, стоящий в правой части (38) существует и конечен, то говорят, что несобственный интеграл существует или сходится, а функция интегрируема на промежутке . Если же предел бесконечен или не существует, то говорят, что интеграл не существует или расходится.

Пример 10.7.

Таким образом, рассматриваемый интеграл расходится.

Теперь рассмотрим случай, когда функция определена, ограничена и интегрируема в промежутках и , и является бесконечно большой в точке , т.е. . Тогда несобственный интеграл функции в пределах от до определяется равенством

(39)

Если оба предела в правой части (39) существуют и конечны при стремлении к нулю и произвольно и независимо друг от друга, то несобственный интеграл сходится. В противном случае он расходится. Сравнивая (36), (38) и (39), видим, что справедливо равенство

. (40)

Несобственный интеграл в левой части (40) сходится, если сходятся оба несобственных интеграла в правой части. Если хотя бы один из интегралов справа расходится, то расходится и исходный интеграл слева.

Главным значением несобственного интеграла функции от до в этом случае называется конечный предел

,

если он существует. Главное значение обозначается так:

.

Пример 10.8.Вычислить несобственный интеграл

или доказать, что он расходится.

Решение. Подынтегральная функция терпит бесконечный разрыв внутри промежутка интегрирования при . Согласно определению

Рассмотрим каждый из двух пределов отдельно.

а).



б).

В итоге рассматриваемый интеграл расходится. Но он сходится в смысле главного значения. Действительно,

Пример 10.9.Вычислить несобственный интеграл

или доказать его расходимость.

Решение. С помощью правила Лопиталя вычислим .

.

Следовательно, подынтегральная функция является бесконечно большой при . Согласно определению

Вычислим , сделав замену . Тогда . Получим:

.

В результате,

Пример 10.10.Вычислить несобственный интеграл

или доказать его расходимость.

Решение. Подынтегральная функция является бесконечно большой при . Согласно определению

Вычислим , сделав замену переменной . Найдём и новые пределы интегрирования . Тогда

 

В итоге,

Пример 10.11.Вычислить несобственный интеграл

или доказать его расходимость.

Решение. Подынтегральная функция стремится к при стремлении переменной к нулю справа. Согласно определению

.

Применим метод интегрирования по частям, выбрав , и вычислим

Вычисляя предел полученного выражения, воспользуемся правилом Лопиталя. Тогда

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!