Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Труднощі розв’язування задач нелінійного програмування



Задачу нелінійного програмування намагаються звести до лінійного вигляду. Проте в такому разі можливі значні похибки. Нехай, наприклад, собівартість продукції y визначено як функцію , де х — обсяги виробництва. Ввівши заміну , дістанемо лінійну залежність . За такої заміни похибки немає. А коли , то заміна цієї залежності деякою лінійною функцією призводить до значних похибок, що ілюструє рис. 6.3.

Рис. 6.3.

У точках х1 і х3 значення собівартості для обох розглядуваних функцій однакові, але в усіх інших точках ці значення відрізняються, причому в точці х2 значною мірою:

.

Отже, лінеаризація нелінійних процесів є досить складною математичною задачею.

Для лінійних задач можна завжди знайти оптимальний розв’язок універсальним методом — симплексним. При цьому немає проблеми з доведенням існування такого розв’язку. Адже в результаті розв’язування задачі симплексним методом завжди дістаємо один із варіантів відповіді: 1) знайдено розв’язок; 2) задача суперечлива, тобто її розв’язку не існує; 3) цільова функція не-
обмежена, отже, розв’язку також немає.

Для задач нелінійного програмування не існує універсального методу розв’язування, тому щоразу слід доводити існування розв’язку задачі, а також його єдиність. Це досить складна математична задача.

Відомі точні методи розв’язування нелінійних задач, але при цьому постають труднощі обчислювального характеру. Навіть для сучасних ПЕОМ відповідні алгоритми є доволі трудомісткими.

Для розв’язування нелінійних задач застосовують наближені методи, стикаючись із проблемою локальних і глобальних оптимумів. Наприклад, на рис. 6.4. маємо на відрізку локальні оптимуми в точках х0, х1, х2, х3, х4, х5, х6, х7, х8, х9, а глобальний — у точці х4 і х6.

 

Рис. 6.4

Більшість наближених методів дають змогу знаходити локальний оптимум. Визначивши всі локальні оптимуми, методом порівняння можна знайти глобальний. Проте для практичних розрахунків такий метод не є ефективним. Часто наближені методи не «вловлюють» глобального оптимуму, зокрема тоді, коли глобальний оптимум лежить досить близько до локального. Якщо відрізок [x0, x10] розіб’ємо на десять підвідрізків і глобальний оптимум потрапить у відрізок [xi, xi+1] (див. рис. 6.4), а ліворуч від xi та праворуч від xi+1 крива y = f (x) підніматиметься, то глобальний оптимум буде пропущеним. Звернемо увагу ще на один дуже важливий момент. У задачах лінійного програмування точка оптимуму завжди була граничною. Для нелінійних задач точка, яка є оптимальним планом, може бути граничною або такою, що міститься всередині допустимої області розв’язків (планів).



Метод множників Лагранжа

Для розв’язування задач нелінійного програмування не існує, як уже зазначалося, універсального методу, а тому доводиться застосовувати багато методів і обчислювальних алгоритмів, які ґрунтуються, здебільшого, на теорії диференціального числення, і вибір їх залежить від конкретної постановки задачі та форми економіко-математичної моделі.

Методи нелінійного програмування бувають прямі та непрямі. Прямими методами оптимальні розв’язки відшукують у напрямку найшвидшого збільшення (зменшення) цільової функції. Типовими для цієї групи методів є градієнтні. Непрямі методи полягають у зведенні задачі до такої, знаходження оптимуму якої вдається спростити. До них належать, насамперед, найбільш розроблені методи квадратичного та сепарабельного програмування.

Оптимізаційні задачі, на змінні яких не накладаються обмеження, розв’язують методами класичної математики. Оптимізацію з обмеженнями-рівностями виконують методами зведеного градієнта, скажімо методом Якобі, та множників Лагранжа. У задачах оптимізації з обмеженнями-нерівностями досліджують необхідні та достатні умови існування екстремуму Куна—Таккера.

Розглянемо метод множників Лагранжа на прикладі такої задачі нелінійного програмування:

(6.15)

за умов

(6.16)

,

де функції і диференційовані.

Ідея методу множників Лагранжа полягає в заміні даної задачі простішою: на знаходження екстремуму складнішої функції, але без обмежень. Ця функція називається функцією Лагранжа і подається у вигляді:

(6.17)

де λі — не визначені поки що величини, так звані множники Лагранжа.



Знайшовши частинні похідні функції L за всіма змінними і прирівнявши їх до нуля:

запишемо систему

(6.18)

що є, як правило, нелінійною.

Розв’язавши цю систему, знайдемо і — стаціонарні точки. Оскільки їх визначено з необхідної умови екстремуму, то в них можливий максимум або мінімум. Іноді стаціонарна точка є точкою перегину (сідлова точка). Отже, для визначення достатніх умов екстремуму та діагностування його типу існує спеціальний алгоритм [15].

Розв’яжемо методом множників Лагранжа наведену далі задачу.

Задача 6.19.

Акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю відвело 1200 га ріллі під основні рослинницькі культури — озиму пшеницю та цукрові буряки.

Техніко-економічні показники вирощування цих культур відбиває таблиця:

 

Показник Площа, га, відведена
під озиму пшеницю, х1 під цукровий буряк, х2
Урожайність, т/га
Ціна, грн./т
Собівартість, грн./т

 

Знайти оптимальну площу посіву озимої пшениці та цукрових буряків.

Нехай х1 — площа ріллі, відведена під сотні га озимої пшениці; х2 — площа ріллі, відведена під цукрові буряки, сотні га.

Зауважимо, що собівартість однієї тони пшениці та цукрових буряків залежить від відповідної площі посіву.

Запишемо економіко-математичну модель. За критерій оптимальності візьмемо максимізацію валового прибутку:

за умов

.

Запишемо функцію Лагранжа:

Візьмемо частинні похідні і прирівняємо їх до нуля:

Із цієї системи визначимо сідлову точку. З першої та другої рівностей знайдемо вирази для l1 і прирівняємо їх:

,

або

(6.19)

Із останнього рівняння цієї системи маємо:

.

Підставивши значення у (6.19), дістанемо:

або .

Розв’язавши це квадратне рівняння, дістаємо (178 га); (553 га).

Відповідно дістаємо: (1022 га); (647 га). Тобто сідловими точками є такі:

Обчислимо значення цільової функції у цих точках:

Отже, цільова функція набуває максимального значення, якщо озима пшениця вирощується на площі 647 га, а цукровий буряк — на площі 553 га.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!