Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Приклади дробово-лінійних задач



Задача 6.14.

Сільськогосподарське акціонерне товариство з обмеженою відповідальністю, яке розміщене в Лісостепу України, має намір оптимізувати структуру виробництва. За критерій оптимальності взято максимізацію рентабельності як відношення прибутку до собівартості. Дані про види діяльності, що їх здійснюватиме товариство, наведено в таблиці:

 

Показник Діяльність з вирощування Ресурс
озимої пшениці, га цукрових буряків, га корів продуктивністю, кг кормових культур, га
Урожайність, т/га
Собівартість, грн./т
Ціна, грн./т
Вихід кормів, тон кормових одиниць/га 0,8 2,0
Витрати живої праці, людино-днів/га 26 000
Витрати механізованої праці, людино-днів/га 11 000
Частка корів у стаді 0,1 0,2 0,3 0,4  
Потреба в кормах, т/гол 4,7 4,4 4,1

Акціонерне товариство має 2500 га ріллі.

Записати економіко-математичну модель і знайти оптимальну структуру виробництва.

Розв’язання. Введемо позначення:

х1 — площа посіву озимої пшениці, га;

х2 — площа посіву цукрового буряка, га;

х3 — площа посіву кормових культур, га;

х4 — кількість корів продуктивністю 5000 кг;

х5 — кількість корів продуктивністю 4500 кг;

х6 — кількість корів продуктивністю 4000 кг;

х7 — кількість корів продуктивністю 3500 кг.

Запишемо критерій оптимальності:

за розглянутих далі умов.

1. Обмеження за ресурсами.

1) Ріллі:

.

2) Живої праці:

.

3) Механізованої праці:

.

2. Обмеження сівозміни.

1) Посівна площа кормових має бути більша або дорівнювати площі під озимою пшеницею:

.

2) Посівна площа озимої пшениці має бути більша або дорівнювати площі під цукровими буряками:

.

3. Структура корів за продуктивністю.

1) Балансове рівняння щодо корів:

,

де — загальна кількість корів.

2) Частка корів продуктивністю 5000 кг:

.

3) Частка корів продуктивністю 4500 кг:

.

4) Частка корів продуктивністю 4000 кг:

.

5) Частка корів продуктивністю 3500 кг:

.

4. Забезпеченість корів кормами:

.

Невід’ємність змінних:



.

Щоб знайти розв’язок за цією моделлю, зробимо відповідну заміну й скористаємося симплексним методом:

.

Отже, маємо таку лінійну економіко-математичну модель:

за розглянутих далі умов.

1. ,

,

.

2. , або ,

, або .

3. ,

,

,

,

.

4. .

5. .

Задача 6.15.

Розв’язати графічно задачу дробово-лінійного програмування:

за умов

Розв’язання. Побудуємо на площині область допустимих розв’язків задачі — трикутник АВС.

 

 

Цільова функція задачі являє собою пряму, яка обертатиметься навколо початку системи координат залежно від змінюваних параметрів х1, х2 так, що точки А і С будуть точками максимуму і мінімуму функції. Виразимо х2 із цільової функції:

.

Кутовий коефіцієнт цільової функції

.

Розглянемо похідну

.

Оскільки при будь-якому значенні Z вона від’ємна, то функція RZ є спадною (зі зростанням Z кутовий коефіцієнт RZ зменшується), а графік цільової функції обертатиметься навколо початку координат за годинниковою стрілкою. Отже, точка С є точкою максимуму, а точка А — мінімуму досліджуваної задачі.

Знайдемо координати цих точок.

Точка А:

Звідси

Точка А має координати (6/7; 24/7).

Точка С:

Звідси

Точка С має координати (9/2; 1).

Знайдемо значення цільової функції в цих точках:

Результати (ZC > ZA) підтверджують, що оптимуми знайдено правильно: максимум досягається в точці С, а мінімум — у точці А.

Задача 6.16.

Розв’язати задачу дробово-лінійного програмування симплексним методом:

за умов

Розв’язування. Зведемо початкову задачу до задачі лінійного програмування згідно з розглянутими раніше правилами.

Позначимо .

Введемо нові змінні:

, .

Дістанемо задачу лінійного програмування:

за умов



Розв’яжемо задачу симплексним методом. У перше та останнє обмеження введемо штучні змінні y6, та y7.

Маємо оптимальний розв’язок перетвореної задачі:

, , , .

Знайдемо оптимальний розв’язок початкової задачі, враховуючи, що :

; ; ;

; .

Отже, ,

.

 

Нелінійне програмування

Постановка задачі

Розв’язуючи задачі оптимального управління (планування), доводиться враховувати нелінійний характер взаємозв’язків між економічними показниками. У загальному вигляді нелінійна економіко-математична модель має вигляд:

за умов

,

де і — нелінійні функції.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!