Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ



Частные производные

Программные вопросы

1. Определение функции нескольких переменных.

2. Предел функции двух переменных и ее непрерывность.

3. Частные производные первого порядка.

4. Частные производные функции двух переменных второго и более высоких порядков.

Решение типового примера

 

Пример 9.1. Найти частные производные первого и второго порядка функции .

 

Решение. Найдем производные первого порядка.

При нахождении производной по переменной , переменная считается константой, а любую константу можно вынести за знак производной, следовательно, производная по переменной от первого слагаемого заданной функции будет равна: . Так как переменная считается константой, то и является константой и его производная будет равна нулю: . Таким образом, частная производная заданной функции по переменной равна:

.

При нахождении производной по переменной , переменная считается константой, тогда в первом слагаемом за знак производной вынесется : . Частная производная по переменной второго слагаемого . Тогда частная производная заданной функции по переменной равна:

.

Находим частные производные второго порядка. Для наглядности перепишем уже найденные частные производные первого порядка:

,

.

Для нахождения второй частной производной по переменной нужно первую производную еще раз продифференцировать по переменной :

.

Аналогично, чтобы найти вторую частную производную по переменной , дифференцируем снова по переменной :

.

Найдем смешанные производные и . Для того, чтобы найти берем частную производную и дифференцируем ее еще раз, но в данном случае – уже по переменной :

.

Для нахождения частную производную дифференцируем по переменной :

.

Так как = , то достаточно найти любую из смешанных производных.

 

Задачи контрольной работы

В заданиях 9.1.1-9.1.20 найти для заданных функций частные производные первого и второго порядков.

 

9.1.1..9.1.2. .

9.1.3..9.1.4..

9.1.5..9.1.6..

9.1.7..9.1.8..

9.1.9..9.1.10..

9.1.11..9.1.12..

9.1.13..9.1.14..

9.1.15..9.1.16..

9.1.17. . 9.1.18..

9.1.19..9.1.20..

 

Производная по направлению

Программные вопросы

1. Определение производной по направлению вектора.

2. Связь производной по направлению с частными производными.

3. Формула для нахождения производной функции в заданной точке по направлению вектора.



Решение типового примера

Пример 9.2. Найти производную от функции в точке по направлению вектора .

 

Решение. Производную от функции в заданной точке по направлению вектора можно найти по формуле:

,

где , , - направляющие косинусы вектора , которые вычисляем по формулам:

; ; .

Вычислим длину вектора :

.

Следовательно, направляющие косинусы будут равны:

; ; .

Далее находим все частные производные первого порядка от заданной функции :

; ; .

Вычислим значения этих частных производных в точке :

,

,

.

Затем подставим полученные значения в формулу для нахождения производной по направлению в заданной точке:

.

Ответ. Производная от функции в точке по направлению вектора равна .

 

Задачи контрольной работы

В заданиях 9.2.1-9.2.20 найти производную от функции в точке по направлению вектора :

9.2.1. , , .

9.2.2., , .

9.2.3. , , .

9.2.4. , , .

9.2.5. , , .

9.2.6. , , .

9.2.7. , , .

9.2.8. , , .

9.2.9. , , .

9.2.10. , , .

9.2.11. , , .

9.2.12., , .

9.2.13. , , .

9.2.14. , , .

9.2.15. , , .

9.2.16. , , .

9.2.17. , , .

9.2.18. , , .

9.2.19. , , .

9.2.20. , , .

Градиент

Программные вопросы

1. Определение градиента скалярного поля.

2. Формула для нахождения градиента функции в заданной точке.

3. Свойства градиента.

Решение типового примера

Пример 9.3. Найти градиент функции в точке и его длину.

Решение. Градиент функции в точке вычисляется по формуле:

.

Сначала найдем все частные производные первого порядка от заданной функции:

; ; .

 

Далее вычислим значения этих частных производных первого порядка в точке :



,

,

.

Подставляя найденные значения в формулу градиента, получаем:

.

Находим его длину:

.

Ответ. Градиент функции в точке равен , длина .

Задачи контрольной работы

В заданиях 3.1-3.20 найти градиент функции в заданной точке и его длину.

 

9.3.1. , .9.3.2. , .

9.3.3. , .9. 3.4. , .

9.3.5. , .9.3.6. , .

9.3.7. , 9.3.8. , .

9.3.9. , .9.3.10. , .

9.3.11. , . 9.3.12. , .

9.3.13. , 9.3.14. , .

9.3.15. , . 9.3.16. , .

9.3.17. , . 9.3.18. , .

9.3.19. , . 9.3.20. , .


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!