Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема. Поточна контрольна робота



Мета роботи:закріплення теоретичних та практичних знань з розвязування лінійних оптимізаційних задач.

 

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 11

Тема. Аналіз чутливості одноіндексних задач лінійного програмування

Мета роботи:Набути навичок аналізу чутливості задач лінійного програмування на основі звітів «Поиска Решений» у Microsoft Excel.

Завдання:

Лакофарбовий завод «Олімп» у зв'язку зі зміною кон'юнктурою ринку прагне розробити новий виробничий план для випуску фарби типів А і Б. Норми витрат сировини і часу на виготовлення 1 кг кожного виду фарби наведені в таблиці (табл. 12.1). При плануванні виробничого плану, необхідно врахувати той факт, що виробничі потужності дозволяють випускати на місяць сумарно 500 т фарби усіх типів. Крім того, відповідно до угоди з основним оптовими покупцем маркетинговий відділ висунув наступні обмеження: обсяг виробництва фарби типу А не менше 200 т на місяць, фарбу типу Б не більше 150 т (у зв'язку з труднощами в її реалізації). Оскільки завод «Олімп» має місячний цикл виробництва, потрібно визначити, щоденний оптимальний план виробництва і відповідну йому величину доходу, враховуючи, що одна тонна фарби А приносить у середньому 2000 грн. прибутку, а одна тонна фарби Б - 2500 грн. Проаналізувати, чи можна буде при отримати економію сировини і яким чином повністю завантажити виробничі потужності.

 

Таблиця 11.1 – Витрати сировини на виробництво фарби

Вид сировини Фарба А, кг Фарба Б, кг Місячний запас, т
Сировина 1
Сировина 2
Сировина 3

Завдання для самостійної роботи:

Задача 1. Використовуючи задачі самостійної роботи з практичного заняття 6 проаналізувати чи можна буде при отримати економію сировини і яким чином повністю завантажити виробничі потужності.

 

Література: 1, 2, 6, 8, 12, 14, 16.

 

Теоретичні відомості:

На практиці економічні параметри (ціни на продукцію та сировину, запаси сировини, попит на ринку, заробітна плата тощо) з плином часу міняють свої значення. Тому оптимальне рішення задачі ЛП, отримане для конкретної економічної ситуації, після її зміни може виявитися непридатним або неоптимальним. У зв'язку з цим виникає проблема аналізу чутливості задачі ЛП, а саме того, як можливі зміни параметрів вихідної моделі вплинуть на отримане раніше оптимальне рішення.

Виділяють такі три завдання аналізу на чутливість.



1. Аналіз скорочення або збільшення ресурсів :

1) на скільки можна збільшити (обмеження типу ) або зменшити ( обмеження типу ) запас дефіцитного ресурсу для поліпшення оптимального значення ЦФ ?

2) на скільки можна зменшити (обмеження типу ) або зменшити ( обмеження типу ) запас недефіцитного ресурсу при збереженні отриманого оптимального значення ЦФ ?

2. Збільшення (зменшення) запасу якого з ресурсів найбільш вигідно ?

3. Аналіз зміни цільових коефіцієнтів:

1) який діапазон зміни коефіцієнтів ЦФ, при якому не змінюється оптимальне рішення?

2) якщо значення якоїсь змінної дорівнює нулю, то за яких умов вона може прийняти позитивне значення?

«Поиск решения» може генерувати три види звітів: «отчет по результатам», «отчет по устойчивости» та «отчет по пределам». Всі перераховані види звітів «Поиск решения» створює тільки для лінійних моделей. Для цілочисельних моделей недоступні «отчет по устойчивости» та«отчет по пределам», а для нелінійних моделей «отчет по устойчивости» має інший вигляд. Додавання звітів відбувається на етапі «Результатов поиска решений» після вибору необхідних типів звітів. Можливий одночасний вибір усіх трьох типів (рис. 11.1).

Рисунок 11.1 – «Результаты поиска решений»

 

Методичні рекомендації до виконання завдань:

 

1. Побудова моделі задачі:

Позначимо через х1 і х2 змінні, які визначають місячні обсяги виробництва фарби (в тоннах) типу А і Б відповідно. Оскільки 1 тонна фарби А приносить прибуток 2000 грн, А 1 тонна фарби Б - 2500 грн, то сумарний прибуток z при виробництві х1 тонн фарби А і х2 тонн фарби Б складі:

 

z = 2000*х1 + 2500*х2 (грн) – цільова функція.

 

Складемо обмеження задачі:

1. Сумарний обсяг виробництва фарби обох типів не повинен перевищувати 500 т.: х1 + х2 £ 500.



2. Маркетингові обмеження: х1 ³ 200 и х2 £ 150

3. Обмеження по витратам сировини. Зверніть особливу увагу на те, що розмірності всіх змінних і параметрів повинні бути узгоджені. Тому в нашому прикладі питомі витрати сировини переведені з кілограмів у тонни, оскільки змінні вимірюються в тоннах:

0,05*х1 + 0,1*х2 £ 50;

0,07*x1 + 0,08*x2 £ 30;

0,04*x1 + 0,07*x2 £ 25.

4. Умови невід’ємності

х1 ³ 0 и х2 ³ 0

Зверніть увагу на те, що для змінної х1 маємо більш сильне обмеження х1 ³ 200. Тому нерівність х1 ³ 0 виключаємо зі списку обмежень.

Отримаємо наступну модель:

2000*х1 + 2500*х2 →max

 

х1 + х2 £ 500,

х1 ³ 200,

х2 £ 150,

0,05*х1 + 0,1*х2 £ 50,

0,07*x1 + 0,08*x2 £ 30,

0,04*x1 + 0,07*x2 £ 25,

х2 ³ 0.

 

2. Розв’язування задачі з використанням «Поиска решений»:

 

Оформимо розв’язок задачі у MS Excel (рис. 11.2).

Рисунок 11.2 – Оформлення задачі в MS Excel

Рисунок 11.3 – Поиск решения

 

Отримали наступні результати: для отримання максимального прибутку 889285,74 грн заводу необхідно виготовити 257,14 т фарби А та 150 т. фарби Б.

Проведемо аналіз чутливості результатів.

 

1. «Отчет по результатам»

«Отчет по результатам» корисний для аналізу чутливості тільки тим, що там явно вказано, які обмеження зв’язані, і які не зв’язані. «Отчет по результатам» складається з трьох таблиць (рис. 11.4):

1 – Целевая ячейка. У ній відображається початкове значення цільової функції і оптимальне (результат). У нашому випадку 889285,71.

2- Изменяемые ячейки. У ній відображені вихідні значення змінних і результуючі (оптимальні). У нашій задачі – 257,14 і 150. Якщо продукт не входить в оптимальне рішення (дорівнює 0), він вважається не рентабельним.

3- Ограничения. Крім імені обмеження, комірки, в яку вписана ліва частина обмеження, в ній відображені наступні стовпці:

Значение – значення лівої частини обмеження при оптимальному плані.

Формула – відображається знак обмеження (більше або дорівнює, менше або дорівнює тощо).

Рисунок 11.4. «Отчет по результатам»

 

Статус – відображує зв’язане або не зв'язане обмеження. Якщо у статусі стоять «Связанное», то ресурс використано повністю (наприклад, сировина 2). Якщо ж статус – «не связанное», то ресурс використаний не повністю (наприклад, сировина 1 та 3). А тому ресурс, представлений зі статусом «Связанное», називають дефіцитним, а ресурс, що що відображає не зв'язане обмеження - недефіцитним. Обмеження називають надлишковим в тому випадку, якщо його виключення не впливає на область допустимих рішень і, отже, на оптимальне рішення.

Разница - відображує кількість не використаного ресурсу. Так, якщо на ресурс накладено обмеження типу ³, то в стовпцы «Разница» дається кількість ресурсу, на яке була перевищена мінімально необхідна норма.

Наприклад, аналіз рядка 23 (12.6) звіту за результатами для задачі показує, що фарби типу А випущено на 57,14 т більше, ніж було замовлено. Таким чином, можна дати таку відповідь на питання про зміну запасу недефіцитного ресурсу «фарба А»: обов'язкове замовлення на виробництво фарби А можна збільшити на 57,14 т. Тобто замовляти до 257 т., І при цьому оптимальне рішення завдання не зміниться.

Якщо на ресурс накладено обмеження типу , то в стовпці «Разница» наведено кількість ресурсу, яке не використовується при реалізації оптимального рішення. Так, аналіз рядка 22 та 24 (див. рис. 12.6 ) звіту, вказує на те, що запаси Сировини 1 та 3 можна зменшити відповідно на 22,14 та 4,21 відповідно, і це не вплине на загальну прибуток.

Аналіз рядка 19 показує, що загальна кількість виробленої фарби становить 407,14 т., що менше можливої виробничої потужності на 92,86 т. та говорить про недовикористання можливих виробничих ресурсів. На підставі проведеного аналізу можна зробити висновок про те, що існують причини обмеження), що не дозволяють заводу випускати більшу кількість фарби і отримувати більший прибуток. Проаналізувати ці причини дозволяє звіт по стійкості .

 

2. «Отчет по устойчивости»

«Отчет по устойчивости» складається з 2 таблиць (рис. 11.5):

Рисунок 11.5 – Отчет по устойчивости

 

1 – изменяемые ячейки. Крім імені змінних і адрес комірок в ній присутні стовпці:

Результирующее значение – це оптимальний план.

Нормированная (редуцированная) стоимость – показує, на скільки зміниться цільова функція після примусового включення одиниці цієї продукції в оптимальний план. Якщо продукт рентабельний, то нормована вартість дорівнюватиме 0.У нашому випадку нормована вартість дорівнює нулю для обох видів фарб, так як продукція рентабельна. Окрім того, відповідно до умови задачі оптимальний план передбачає випуск обох видів фарб, тому їх нормована вартість дорівнює нулю. Якби оптимальне значення якої з невідомих було дорівнює нулю (xi = 0), а нормована вартість дорівнювала б, наприклад, -3, то примусовий випуск 2-х одиниць цієї змінної xi (тобто додавання нового обмеження xi ≥ 2 ) привів би до зміни (зменшення) цільової функції на 2 * (-3) = -6 одиниць. Зазначимо, що з рівності нулю оптимального значення невідомої не випливає, що її нормована вартість буде відмінна від нуля;

Целевой коэффициент – значення коефіцієнтів цільової функції – 2000 та 2500.

Допустимое увеличение, допустимое уменьшение – показує межі змін коефіцієнтів цільової функції, за умови, що знайдені значення змінних залишаться незмінними. Наприклад, прибуток по фарбі 1 можна збільшити на 187,5, а при цьому план виробництва фарб залишиться на змінним (значення цільової функції при цьому може змінитися). Допустиме збільшення по фарбі Б –необмежене.

2. Ограничения. Крім імені змінних і адрес комірок в ній присутні стовпці:

Результирующее значение – кількість фактично використаних ресурсів.

Теневая цена – зміна цільової функції при зміні дефіцитного ресурсу на 1 одиницю. Тіньова ціна недефіцитного ресурсу буде дорівнює 0. Наприклад, зміна кількості сировини 1 та 3 не вплине на значення цільової функції. Якщо ж збільшити кількість сировини 2 на 2 т., то цільова функція збільшиться на 2* 28571,42 і буде дорівнювати =28571,42*2+889285,714285714 = 946428,57

Ограничение Правая часть – запас ресурсів відповідно до умови задачі.

Допустимое увеличение, допустимое уменьшение - показує, на скільки можна змінити праву частину обмеження до того моменту поки це буде впливати на цільову функцію.

Аналізуючи звіт за результатами, ми встановили, що існують причини (обмеження), що не заводу випускати більшу, ніж в оптимальному рішенні, кількість фарби і одержувати більш високий прибуток. У розглянутій задачі такими обмеженнями є дефіцитні ресурси – Сировина 2. Оскільки знак обмежень цих запасів має вигляд , то виникає питання, на скільки максимально повинна зрости кількість запасів сировини 2, щоб забезпечити збільшення випуску продукції. Відповідь на це питання показаний в стовпці «Допустимое увеличение, допустимое уменьшение». Кількість сировини 2 необхідно збільшити на 6,5 т., що призвиде до нових оптимальним рішенням, яке підвищує прибуток. Подальше збільшення запасів сировини 2 понад зазначені межі не буде більше покращувати рішення, тому що вже інші ресурси стануть зв'язуючими. Тобто, збільшення запасу сировини більше, ніж на 6,5 т. вже не впливатиме на цільову функцію.

Підкреслимо, що найбільш важливими даними для аналізу чутливості в цьому звіті є нормовані вартості і тіньові ціни. Важливо відзначити, що значення тіньових цін підраховані в припущенні, що змінюється значення правій частині тільки одного обмеження за умови сталості всіх інших параметрів моделі.

Якщо в параметрах «Поиска решения» не вказувати - Лінійна модель, звіт по стійкості буде мати вигляд:

Нормированный градиент - показує, на скільки зміниться значення; цільової комірки при збільшенні значення змінної на одну одиницю.

Лагранжа множитель - показує, на скільки зміниться значення в цільової функції при збільшенні запасу деякого ресурсу на одну одиницю.

 

Отчет по пределам

У звіті «отчет по пределам» показано, в яких межах з врахуванням всіх обмежень можуть змінюватися змінні (значення в стовпцях Верхний предел та Нижний предел) та які при цьому значення буде приймати цільова функція (значення в стовпці Целевой результат). Відмітимо, що якщо на значення зміної не накладаються явні обмеження, які задають її верхню чи нижню границю, то в стовпцях Верхний предел і Целевой результат (або Нижний предел та Целевой результат) для цієї змінної буде стояти значення помилки #Н/Д.

«Отчет по пределам» містить 2 таблиці (рис. 11.6).

1 таблиця містить оптимальне значення цільової функції.

2 – оптимальне значення змінних з їх відповідно верхніми та нижніми межами і відповідними цільовими результатами.

Нижний предел, верхний предел - найменше значення, яке може мати змінна х1 за умови, що обмеження ще виконуються, а значення інших змінюваних комірок - фіксовані (дорівнюють оптимальним). Нижня межа фарби Б має значення 0, оскільки ми в параметрах пошуку рішень відзначили невід'ємні значення), нижня межа фарби А – 200, відповідно до уведеної системи обмежень;

Целевой результат - це значення цільової комірки, коли значення змінюваної комірки дорівнює її нижній чи верхній межі. Наприклад, якщо при випуску 200 т. фарби А у розмірі 200 т за умов не змінної кількості випущеної фарби Б – 150 т., прибуток (цільова функція) буде дорівнювати 775000.

Рисунок 11.6 – Отчет по пределам

 

Висновки по задачі:

Дослідження обмежень щодо обсягів виробництва вказує на те, що виробничий план потужності заводу задіяний не повною мірою. Аналіз обмежень дозволяє визначити ті, що стримують обсяги виробництва – друге маркетингове обмеження та обмеження по сировині 2 (на це вказує звіт за результатами і ненульові значення тіньових цін для цих обмежень у звіті щодо стійкості). За умов задачі маркетингове обмеження повинне залишитись на змінним, оскільки завантажити потужності виробництва, необхідно запланувати ще 93 тонни фарби, а на таке збільшення виробництва фарби типу Б завод не піде, оскільки навіть обсяг в 150 т. важко продати. Дослідження обмеження на обсяги сировини 2, (дослідження цінової ціни обмеження - 28 571,43) вказує, що зміна величини запасу сировини 2 на 1 тонну призведе до зміни на 28 571,43 грн. величини прибутку (значення цільової функції). Очевидно, що в даному випадку при збільшенні значення правій частині обмеження значення цільової функції буде зростати, а при зменшенні - спадати.

У стовпці «Допустимое увеличение» для цього обмеження вказане значення 6,5, тобто збільшуючи значення правій частині обмеження до величини 36,5, ми залишаємося в рамках колишнього розв’язку - значення змінних і цільової функції, звичайно, будуть змінюватися. Якщо ж значення правій частині обмеження дорівнюватиме або перевищить величину 36,5, то в якості обмеження що вплине на подальшу зміну прибутку виступить інше обмеження, яке на даний момент не є лімітуючим. Щоб дізнатися, що ж вийде при зміні правій частині п'ятого обмеження до величини 36,5, треба знову запускати «Поиск решения», внести відповідні значення у комірку С21 та натиснути «Выполнить». Новий розв’язок показано на рис. 11.7. У цьому розв’язку х1 = 350, х2 = 150 і z = 1075000. Новим лімітуючи обмеженням стало перше обмеження, що задає граничний обсяг виробництва, при цьому виробничі потужності – задіяні повністю – значення правого стовпчику системи дорівнює значенню лівого стовпчика щодо витраченої сировини.

А тому оптимальним виробничим планом буде виробництво 350 тонн фарби типу А і 150 тонн фарби типу Б. Однак, щоб виконати такий план, треба збільшити місячні запаси сировини 2 на 6,5 тонн, а місячні запаси сировини 1 і сировини 3 можна зменшити на 17,5 і 0,5 тонн відповідно.

Рисунок 11.7 – Новий розвязок задачі

 

Питання для самоконтролю:

1. Які види звітів використовуються для аналізу на чутливість у MS Excel?

2. Що дозволяє визначити «Отчет по результатам»?

 

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 12


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!