Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема. Матриці та визначники. Системи лінійних рівнянь



ВСТУП

 

Навчальна дисципліна «Економіко-математичні методи і моделі (оптимізаційні методи і моделі)» призначена для засвоєння студентами концептуальних аспектів економіко-математичного моделювання, принципів та етапів побудови моделей, набуття практичних навичок розв’язування оптимізаційних економіко-математичних моделей, зокрема задач лінійного та нелінійного програмування.

Предметом навчальної дисципліни є методологія та інструментарій побудови і розв’язування оптимізаційних задач.

Метою вивчення навчальної дисципліни «Економіко-математичні методи і моделі (Оптимізаційні методи і моделі)» є формування системи знань з методології та інструментарію побудови й використання різних типів економіко-математичних моделей.

Після опанування дисципліни студент повинен вміти на практиці: застосовувати методи розв’язування оптимізаційних задач; використовувати математичні методи дослідження економічних показників; готувати вхiднi данi для практичних розрахункiв на основi реальних ситуацiй; оцінити якість самої моделі; надавати економіко-статистичне тлумачення одержаних результатів; коректно й зрозумiло оформляти розв'зок задач; аналiзувати отриманий розв'язок математичних моделей задач економіки; використовувати прикладні програми при проведенні розрахунків на персональному комп’ютері та розробці практичних рекомендацій з прийняття управлінських рішень.

У методичних рекомендаціях неведено теоретичні відомості з теми, практичні завдання та методичні рекомендації для їх виконання.

Крім того, студентам запропоновано завдання для самостійної роботи, виконання яких сприятиме підвищенню рівня сформованості у майбутніх викладачів вищих навчальних закладів аналітичних та дослідницьких умінь, як важливої компоненти їх професійної підготовки.


МОДУЛЬ 1. ОСНОВИ ОПТИМІЗАЦІЙНОГО МОДЕЛЮВАННЯ В ЕКОНОМІЦІ

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 1

Тема. Матриці та визначники. Системи лінійних рівнянь

 

Мета:набути практичних навичок використання функцій MS Excel при роботі з матрицями та розв’язуванні систем лінійних рівнянь.

 

Завдання:

Задача 1. Для матриці А = ,

виконати наступні дії:

1) обчислити матрицю В=10*А;

2) обчислити А+В та В-А;

3) знайти А-1 та АТ;

 

Задача 2. Обчислити матрицю С за формулою C=A2+2AB, де

; .

Задача 3. Знайти розв`язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь

 



Завдання для самостійної роботи:

 

1. Відповідно до варіанту виконати арифметичні дії з матрицями.

Варіант №1 , де ,
Варіант №2 , де ,
Варіант №3 де ,
Варіант №4 де ,
Варіант №5 де ,
Варіант №6 де ,
Варіант №7 , де ,
Варіант №8 , де ,
Варіант №9 , де ,  
Варіант №10 , де ,

2. Розвязати систему лінійних алгебраїчних рівнянь:

Вариант №1      
Вариант №2  
Вариант №3  
Вариант №4    
Вариант №5    
Вариант №6  
Вариант №7  
Вариант №8  
Вариант №9  
Вариант №10  

 

Література: 5, 6, 7, 10, 11, 16.

 

Основні теоретичні відомості:

Система m лінійних рівнянь з n невідомими має вигляд:

 

(1)

 

де - матриця коефіцієнтів при змінних (матриця системи);

- матриця-стовпець (вектор) вільних членів;

- матриця-стовпець (вектор) невідомих.

Систему лінійних рівнянь можна записати у матричному вигляді, як

(2)

Якщо виконується умова , то система має один розв`язок.

При розв’язуванні системи лінійних рівнянь можливі три випадки:

a) m<n. При m<n, якщо система m лінійних рівнянь з n невідомими є сумісною, то вона не визначена і має нескінченну кількість розв’язків.

б) m=n. При m=n, система (1) буде мати n лінійних рівнянь з n невідомими. Тоді розв’язок системи можна отримати методом оберненої матриці чи методом Крамера.

Метод оберненої матриці розв’язування системи лінійних рівнянь.

Помножимо ліву і праву частину (2) на обернену матрицю , тоді , де (одинична матриця).



Після необхідних перетворень розв`язок лінійної системи методом оберненої матриці матиме вигляд

 

Метод Крамера розв’язування системи лінійних рівнянь.

Цей метод базується на формулі

 

Xi=|∆i|/|A| ,

де |∆i| - визначник матриці , одержаної з матриці А заміною і –го стовпця на стовпець вільних членів В;

|A| - визначник матриці А.

b) m>n. У випадку, якщо m>n і система є сумісною, то матриця А має принаймні m-n лінійно незалежних рядків. Тут розв’язок може бути отримано добором n будь-яких лінійно незалежних рівнянь і застосуванням формули (3).

Однак із застосуванням комп'ютера зручніше використовувати більш загальний підхід – метод найменших квадратів:

 

Х=(АТА)-1 *АТВ

Дане матричне рівняння є розв’язком системи m лінійних рівнянь з n невідомими при m>n.

 

Методичні рекомендації до виконання завдань:

 

Задача 1.Для множення матриці на число виконують наступну послідовність дій:

1) до комірок В2:Е5 увести елементи матриці А (рис. 1.1).

2) виділити діапазон комірок В9:Е12, в якому буде знаходитись матриця В, та ввести формулу:

В2:Е5*10

3) для отримання кінцевого результати натиснути комбінацію клавіш Ctrl+Shift+Enter.

Результат виконання зазначеної послідовності дій представлений на рис. 1.1.

 

Рисунок 1.1 – Множення матриці на число

 

Операції додаванняматриці в MS Excel реалізовують одним із наступних способів, які зводяться до використання функції СУММ:

1) на робочому аркуші необхідно обрати порожню комірку та викликати функцію «СУММ» (ВставкаФункція). У вікні «Аргументи функции» з шаблоном для заповнення необхідно у порожніх полях необхідно вказати перші елементи відповідних матриць (рис. 1.2). Результуючу матрицю отримують навівши курсор миші на правий нижній кут активної комірки (при цьому значок курсора матиме вигляд – «+») та «розтягнувши» її до вправо до комірки К 4 та вниз до комірки Н 7.

 

Рисунок 1.2 – Використання функції СУММ для додавання елементів матриць

 

2) на робочому аркуші необхідно вибрати вільну комірку, в яку слід записати формулу, що яляє собою суму двох перших комірок матриці (рис. 1.3):

В2:Е5*10

Результуючи матрицю отримують аналогічно до першого способу;

 

 

Рисунок 1.3 – Додавання матриць через рядок формул

 

3) на паналі інструментів «Стандартная» необхідно обрати команду на панелі інструментів

4) виділити діапазон комірок, в який буде отримано результат та ввести формулу. Введення формули завершити натисненням комбінації клавіш Ctrl+Shift+Enter.

Для обчислення матриці А+В в діапазоні В16:Е19 використати формулу {=B2:E5+B9:E12}.

Для обчислення матриці В-A в діапазоні В23:Е26 використати формулу {=B9:E12-B2:E5}.

Результат виконання представлений на рис. 1.4.

Для знаходження оберненої матриці використовують функціюМОБР() з категорії Математическая (Вставка – Функція) (рис. 1.5).

 

 

Рисунок 1.4 – Результат виконання дій над матрицями А+В

та В-А.

 

 

Рисунок 1.5 – Використання функції МОБР() для знаходження оберненої матриці

 

Транспонування матриц. Для транспонування матриці необхідно виділити масив і скопіювати його в буфер обміну. Для отримання результуючого масиву в контекстному меню необхідно обрати команду «Специальная вставка», попередньо вказавши вільну комірку. У вікні, що з’явилося необхідно поставити прапорець навпроти пункту транспонувати і натиснути кнопку «Ок» (рис. 1.6).

 

Рисунок 1.6 – Транспонована матриця

 

Задача 2.Для обчислення матриці С за формулою: =A2+2AB, введемо вхідні данні значень матриці А та В у відповідні комірки робочого аркушу (рис. 1.7). Подальші обчислення виконуються відповідно наступної послідовності арифметичних дій:

 

Рисунок 1.7 – Введення вхідних даних

 

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

 

Для множення матриць використовується функція МУМНОЖ() (рис. 1.8), для якої обов’язковою умовою є збереження порядку виділення елементів матриць – зліва направо.

 

Рисунок 1.8 – Функція МУМНОЖ ()

 

Так, для множення матриці А на матрицу В, виделимо диапазон в поле Масив 1 всі елементи матриці А, а в поле Масив 2 – всі елементи матриці В. Для отримання остаточного результату необхідно натиснути комбінацію клавіш Ctrl+Shift+Enter.

 

Задача 3.Для знаходження розвязку системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом оберненої матриці необхідно виконати наступну послідовність дій:

1. Ввести вхідні дані та оформити їх наступним чином (рис. 1.9):

 

Рисунок 1.9 – Оформлення аркуша для знаходження розвязку системи лінійних рівнянь

 

2. Знайти розв`язок лінійної системи методом оберненої матриці, використовуючи формулу:

Для цього необхідно обчислити обернену матрицюдо матриці А:

· виділити блок ячеек В8:С9;

· натиснути на кнопку «Мастер функций» або скористатись командою «Вставка→Функция»;

· вибрати у діалоговому вікні Мастер функций: «Категория – Математические»,функція – МОБР (),натиснути на кнопку ОК;

· у наступному діалоговому вікнівстановити курсорв рядку «Массив» та безпосередньо на робочому листку виділити діапазон ячеек початкової матриці В4:С5, натиснути на кнопку ОК;

· встановити курсор у рядок формул та натиснути на клавіші Ctrl+Shift+Enter.

Для того, щоб знайти розв’язок системи неохідно:

· виділити блок ячеек F13:F14;

· вибрати у діалоговому вікні «Мастер функций»: функцію – МУМНОЖ(),натиснути на кнопку «ОК»;

· у діалоговому вікніфункціївстановити курсорв рядку «Массив1» вказати діапазон ячеек оберненої матриці В8:С9, а в рядку «Массив2» вказати діапазон ячеек F4:F5.

· натиснути на клавіші Ctrl+Shift+Enter.

· у комірках F13:F14 отримати розв’язок системи.

 

Для знаходження розвязку системи ліійних алгебраїчних рівнянь методом Крамера необхідно виконати наступну послідовність дій:

1. Побудувати електронну таблицю та оформити її наступним чином (рис. 1.10):

2. Знайти визначник для матриці коефіцієнтів:

· в комірку В28 за допомогою «Мастер функций»: (Категорія – «Математические»),задатифункцію МОПРЕД (),натиснути на кнопку «ОК»;

· у діалоговому вікніфункціївстановити курсорв рядку «Массив» де вказати діапазон клітин матриці коефіцієнтів A, натиснути Ctrl+Shift+Enter.

3. Знайти визначник для матриці 1, яка одержана із матриці А заміною першого стовпця на стовпець вільних членів. Аналогічно п. 2.

 

Рисунок 1.10 – Оформлення аркуша для знаходження розвязку системи лінійних рівнянь методом Крамера

 

4. Отримати значення визначника матриці 2.

5. Знайти розв’язок системи.

· до комірки В41 ввести формулу = С33/В28;

· до комірки В42 ввести формулу = С38/В28;

Для знаходження розвязку системи лінійних алгебраїчних рівнянь методом найменших квадратів необхідно виконати наступну послідовність дій:

 

1. Побудувати електронну таблицю та оформити її відповідно до зразка (рис. 1.11):

 

Рисунок 1.11 – Оформлення аркуша для знаходження розвязку системи лінійних рівнянь методом найменших квадратів

 

2. Знайти транспоновану матрицю до матриці коефіцієнтів.

· виділити блок комірок В54:С55;

· вибрати у діалоговому вікні «Мастер функций»: Категорія – «Ссылки и массивы»,Функція –ТРАНСП (),натиснути на кнопку «ОК»;

· у діалоговому вікніфункціївстановити курсорв рядку «Массив» виділити діапазон ячеек початкової матриці А В48:С49, натиснути на клавіші Ctrl+Shift+Enter.

3. Знайти добуток матриці коефіцієнтів на транспоновану матрицю за допомгогою фінкції МУМНОЖ ().

4. Знайти обернену матрицю до матриці одержаної в п. 3 матрицю за допомгогою фінкції МОБР ().

5. Знайти добуток транспонованої матриці на матрицю B(матрицю вільних членів).

6. Знайти розв’язок системи множенням матриць отриманних в п. 5 і п. 6 (рис. 1.12).

7. Порівняти розв’язки отримані різними методами.

 

Рисунок 1.12 – Розв’язок системи лінійних алгебраїчних рівнянь

 

Питання для самоконтролю:

1. Дайте визначення поняттю «матриця».

2. Які функції використовує MS Excel для роботи з матрицями.

3. Що називають визначником матриці?

4. Яка матриця називається одиничною? Які її властивості

5. Що називають розвязком системи лінійних алгебраїчних рівнянь?

6. Які методи використовують для знаходження розвязку системи лінійних алгебраїчих рівнянь?

 

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 2

Тема. Балансові моделі.

Мета роботи: Набути навичок розв'язку задач балансовим методом із використанням табличного процесору Excel.

 

Завдання:

 

Задача 1.Фабрика-кулінарія має 3 цехи, кожний з яких виробляє один вид продукції. Нижче наведені матриці прямих витрат А1, А2, А3. Визначити матриці повних витрат P1, P2, P3.

Задача 2. Консервний завод має три цехи. У табл. 2.1 наведені матриці прямих витрат А, а також матриці кінцевого продукту Y. Визначити матриці повних витрат Pта валовий випуск продукції для кожного цеху X.

 

Таблиця 2.1 – Балансовий звіт

Продукція Прямі витрати (А) Кінцевий продукт (Y)
І ІІ ІІІ
Продукція І-го цеху 0,3 0,2 0,4
Продукція ІI-го цеху 0,1 0,2 0,1
Продукція ІІІ-го цеху 0,1 0,1

 

 

Завдання для самостійної роботи:

Задача 1.У задачах вказані структурні матриці А (прямих витрати) і матриці валової продукції кожного із трьох підрозділів Х. Знайти матрицю кінцевого продукту Y.

Варіант .

Варіант .

Варіант .

Варіант .

Варіант .

Варіант .

Варіант .

Варіант .

Варіант .

Варіант .

 

Задача 2.Консервний завод має три цехи. В наступних таблицях (2.2-2.11) наведені матриці прямих витрат, а також вказана величина кінцевого продукту Y. Знайти коефіцієнти повних витрат та валовий випуск продукції для кожного цеху.

 

Таблиця 2.2 –Балансовий звіт (Варіант 1)

Продукція Прямі витрати Кінцевий продукт
І ІІ ІІІ
Продукція 1-го цеху 0,3 0,2 0,4
Продукція 2-го цеху 0,1 0,2 0,1
Продукція 3-го цеху 0,1 0,1

 

Таблиця 2.3 –Балансовий звіт (Варіант 2)

Продукція Прямі витрати Кінцевий продукт
І ІІ ІІІ
Продукція 1-го цеху 0,2
Продукція 2-го цеху 0,2 0,1
Продукція 3-го цеху 0,1 0,2

 

Таблиця 2.4Балансовий звіт (Варіант 3)

Продукція Прямі витрати Кінцевий продукт
І ІІ ІІІ
Продукція 1-го цеху 0,1 0,05 0,2
Продукція 2-го цеху 0,3 0,15
Продукція 3-го цеху 0,2 0,4

 

Таблиця 2.5 –Балансовий звіт (Варіант 4)

Продукція Прямі витрати Кінцевий продукт
І ІІ ІІІ
Продукція 1-го цеху 0,1 0,3 0,2
Продукція 2-го цеху 0,3 0,1
Продукція 3-го цеху 0,4 0,2

 

 

Таблиця 2.6 – Балансовий звіт (Варіант 5)

Продукція Прямі витрати Кінцевий продукт
І ІІ ІІІ
Продукція 1-го цеху 0,4 0,2
Продукція 2-го цеху 0,3 0,3 0,2
Продукція 3-го цеху 0,1 0,2 0,2

 

 

Таблиця 2.7 – Балансовий звіт (Варіант 6)

Продукція Прямі витрати Кінцевий продукт
І ІІ ІІІ
Продукція 1-го цеху 0,2 0,1 0,3
Продукція 2-го цеху 0,2 0,1
Продукція 3-го цеху 0,3 0,2

 

 

Таблиця 2.8 – Балансовий звіт (Варіант 7)

Продукція Прямі витрати Кінцевий продукт
І ІІ ІІІ
Продукція 1-го цеху 0,4 0,2
Продукція 2-го цеху 0,3 0,3 0,2
Продукція 3-го цеху 0,1 0,2 0,2

 

 

Таблиця 2.9 – Балансовий звіт (Варіант 8)

Продукція Прямі витрати Кінцевий продукт
І ІІ ІІІ
Продукція 1-го цеху 0,1 0,1 0,2
Продукція 2-го цеху 0,3 0,3
Продукція 3-го цеху 0,2 0,1 0,2

 

Таблиця 2.10 – Балансовий звіт (Варіант 9)

Продукція Прямі витрати Кінцевий продукт
І ІІ ІІІ
Продукція 1-го цеху 0,2
Продукція 2-го цеху 0,2 0,1
Продукція 3-го цеху 0,4 0,2

 

 

Таблиця 2.11 –Балансовий звіт (Варіант 10)

Продукція Прямі витрати Кінцевий продукт
І ІІ ІІІ
Продукція 1-го цеху 0,1 0,3
Продукція 2-го цеху 0,3 0,2 0,2
Продукція 3-го цеху 0,4 0,1

Література: 5, 6, 7, 10, 11, 16.

 

Теоретичні відомості:

Балансова модель – система рівнянь, кожне з яких виражає вимогу балансу між виробленою окремими економічними об’єктами кількістю продукції та сукупною потребою в цій продукції. Якщо замість поняття п р о д у к т ввести більш загальне поняття р е с у р с, то під балансовою моделлю потрібно розуміти систему рівнянь, які задовольняють вимоги відповідності наявності ресурсу та його використання.

Введемо наступні позначення

- хij – кількість продукції і-ї галузі, яка витрачається в j-ій галузі;

- Хi – обсяг виробництва і-ї галузі за певний проміжок часу, валовий випуск продукції;

- Yi – обсяг споживання продукції і-ї галузі в невиробничій сфері, обсяг кінцевого споживання;

- Vj – умовно чиста продукція j-ї галузі, включаючи оплату праці, чистий дохід та амортизацію.

Основні показники визначаються за наступними формулами:

1. Валова продукція: , де n – кількість галузей.

2. Коефіцієнти прямих матеріальних витрат: – показують витрати одного продукту на виробництво одиниці іншого продукту.

3. Величина чистої продукції по галузях: .

4. Матриця коефіцієнтів повних матеріальних витрат: ,

де Е – одинична матриця.

Методичні рекомендації до виконання завдань:

Задача 1.Матрицю повних витрат розраховують за формулою: для кожної матриці прямих витрат А1, А2, А3, де E - одинична матриця.

Для знаходження Р1 необхідно:

1) обчислити E - A1:

2) знайти обернену матрицю , використовуючи функцію МОБР().

.

 

Аналогічно обчислюються матриці Р2 і Р3.

Задача 2. Для визначення матриці повних витрат Р та валового випуску продукції по кожному цеху виконують наступну послідовність дій:

а) занести до комірок вхідні значення матриць E та A;

б) обчислити E – A;

в) знайти матрицю повних витрат P за допомогою функції МОБР();

г) обчислити значення матриці Х за формулою X=PY за допомогою функціїМУМНОЖ().

5. Написати висновок.

 

Питання для самоконтролю:

1. Запишіть модель міжгалузевого балансу в матричній формі.

2. Що означають коефіцієнти прямих витрат?

3. Що означають коефіцієнти повних витрат?

 

ПРАКТИЧНЕ ЗАНЯТТЯ 3


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!