Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 7. Элементы комбинаторики и теории вероятностей



 

Комбинаторика. Комбинаторные задачи и правила их решения. Понятие факториала. Перестановки, размещения и сочетания без повторений. Свойства сочетаний. Арифметический треугольник Паскаля, связь с биномиальными коэффициентами. Классификация событий. Основные определения и классификация событий. Понятие вероятности случайного события. Классическое определение и свойства вероятности. Вероятность достоверного и невозможного событий. Теорема умножения вероятностей независимых событий. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Теорема сложения вероятностей совместных событий. Теорема умножения вероятностей зависимых событий. Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Формула полной вероятности. Схема испытаний Бернулли.

Основные термины: Факториал, перестановки, размещение, сочетания без повторений, биномиальные коэффициенты, треугольник Паскаля. Достоверные, невозможные и случайные события; элементарный исход; события несовместные, равновозможные, единственновозможные, зависимые, независимые. Вероятность случайного события, вероятность достоверного события, вероятность невозможного события. Противоположные события, произведение событий, сумма событий.

 

Контрольные вопросы по теме 7:

1. Что изучает комбинаторика?

2. Сформулируйте правила суммы и произведения.

3. Запишите формулы для числа различных размещений , перестановок , число сочетаний из n элементов по k.

4. Что понимается под элементарным событием?

5. Дайте определения достоверных, невозможных и случайных событий; элементарного исхода; событий несовместных, равновозможных, единствен-новозможных, зависимых, независимых.

6. Введите понятие вероятности события.

7. Сформулируйте определение классической вероятности.

8. Какими простейшими свойствами обладает вероятность?

9. Если Y является m-подмножеством в n-множестве X и из X выбирают k-подмножеств А, то чему равна вероятность того, что среди выбранных элементов содержится ровно r элементов из Y?

ПЛАНЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

Практическое занятие 1 по теме: «Системы линейных уравнений. Теория определителей. Алгебра матриц»

План:

1. Рассмотрение понятий линейного уравнения, системы линейных уравнений, решения системы линейных уравнений.

2. Рассмотрение понятий совместной и несовместной системы, определённой и неопределенной системы.

3. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.



4. Определители второго и третьего порядка.

5. Свойства определителей.

6. Методы вычисления определителей произвольного порядка.

7. Сумма, разность, произведение матриц.

8. Умножение матриц и умножение матрицы на число.

9. Нахождение обратной матрицы.

11. Решение систем с помощью обратной матрицы.

12. Решение задач.

 

 

Контрольные вопросы и задачи

1. Решите системы уравнений:

а) б)

в) г)

2. Вычислите определители:

а) ; б) ; в) .

3. Вычислите матрицу , где

; ; .

4. Вычислите матрицу , где E – единичная матрица;

; ; .

5. Определите, имеет ли матрица A обратную, и если имеет, то вычислить её:

.

6. Решить матричные уравнения:

а) ; б) .

 

Литература

Основная:

1. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2002. С. 9–53.

2. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. М.: Проспект, 2009. С. 47–68.

3. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. М.: ИНФРА-М, 1999. С. 338–371.

 

Дополнительная:

1. Кириллов А.Л. Математика для управленцев. Курс лекций. Спб.: издательство СЗАГС; издательство «Образование–Культура», 1999. С. 125–157.

2. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. Пособие. М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. С. 100–115.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2004. С. 43–49, 50–62, 87–92.

4. Коваленко, Н.С. Высшая математика. Линейная алгебра. Векторная алгебра. Аналитическая геометрия : учебное пособие / Н.С. Коваленко, Т.И. Чепелева. - Минск : Юнипресс, 2006. 208 с. (ЭБФ).

5. Малугин, В.А. Математика для экономистов. Линейная алгебра : курс лекций / В.А. Малугин. М. : Эксмо, 2006. 224 с. (ЭБФ).



 

Практическое занятие 2 по теме «Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных.

План:

1. Правила дифференцирования и таблица производных функции одного переменного.

2. Функции многих переменных, область определения, график, линии уровня.

3. Дифференцируемость функции многих переменных, дифференциал, частные производные.

4. Локальный экстремум функции многих переменных.

5. Решение задач.

 

Контрольные вопросы и задачи

1. Найдите производные следующих функций:

а) ; б) ; в) ;

г) ; д) ; е) ;

ж) ; з) ; д) .

2. Определить области существования функций:

а) ; б) ; в) .

3. Построить линии уровня следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

4. Найти частные производные первого порядка и дифференциал от следующих функций:

а) ; б) ; в) .

5. Найти критические точки функций и проверить в них выполнение достаточного условия экстремума:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Литература

Основная:

1. Баврин И.И. Математика для гуманитариев: учебник для студентов учреждений высш. проф. образования гуманитарных направлений. М.: Издательский центр «Академия», 2011. С. 80–117, 143–155.

2. Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2002. С. 176–208, 397–437.

3. Ганичева А.В. Краткий курс математического анализа: Учебное пособие. Тверь, 2002. С. 33–57, 84–101.

4. Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов: Учебное пособие. М.: ИНФРА-М, 2001. С. 61–147.

5. Красс М.С. Математика для экономических специальностей: Учебник. М.: ИНФРА-М, 1999. С. 81–133, 230–300.

 

Дополнительная:

1. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: учеб. М.: Проспект, 2009. С. 226–291, 366–426.

2. Кремер Н.Ш. Математика для экономистов: от Арифметики до Эконометрики: учеб.-справоч. Пособие. М.: Издательство Юрайт; ИД Юрайт, 2011. С. 159–195.

3. Сборник задач по высшей математике для экономистов: Учебное пособие/ Под ред. В.И. Ермакова. М.: ИНФРА-М, 2004. С. 149–196.

4. Практикум по математике: пособие для студентов 1 курса / сост. А.Л.Кириллов, В.И.Клоков, С.В.Полянская. Спб.: Изд-во СЗАГС, 2009. С. 4–21.

 

Практическое занятие 3 по теме: «Элементы комбинаторики и теории вероятностей»

План:

1. Комбинаторика. Комбинаторные задачи и правила их решения.

2. Понятие факториала.

3. Перестановки, размещения и сочетания без повторений.

4. Понятие вероятности события. Классическое определение вероятности. Приложение комбинаторики к вычислению вероятностей.

5. Теоремы о сумме и произведении вероятностей. Условная вероятность.

 

Контрольные вопросы и задачи

1. Вычислите: 7! + 8!; ; ; ; .

2. Сколькими способами можно обить 6 стульев тканью, если имеются ткани шести различных цветов и все стулья должны быть разного цвета?

3. Сколькими способами могут расположиться в турнирной таблице 10 футбольных команд, если известно, что никакие две команды не набрали поровну очков?

4. Вычислите ; .

5. Сколькими способами можно выбрать 5 делегатов из состава конференции, на которой присутствуют 15 человек?

6. У лесника 3 собаки: Астра, Вега и Гриф. На охоту лесник решил пойти с двумя собаками. Перечислить все варианты выбора лесником пары собак.

7. Сколькими способами можно составить разведывательную группу из трех солдат и одного командира, если имеется 12 солдат и 3 командира.

8. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях - четная, причем на грани хотя бы одной из костей появится шестерка.

9. При перевозке ящика, в котором содержались 21 стандартная и 10 нестандартных деталей, утеряна одна деталь, причем неизвестно какая. Наудачу извлеченная (после перевозки) из ящика деталь оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что была утеряна: а) стандартная деталь; б) нестандартная деталь.

10. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна семи.

11. Брошены две игральные кости. Найдите вероятности следующих событий: а) сумма выпавших очков равна восьми, а разность — четырем; б) сумма выпавших очков равна восьми, если известно, что их разность равна четырем.

12. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что сумма очков на выпавших гранях равна пяти, произведение — четырем.

13. Монета брошена два раза. Найдите вероятность того, что хотя бы один раз появится «герб».

14. В первой урне 7 белых и 3 черных шара, во второй – 8 белых и 2 черных. При перевозке из первой урны во вторую урну перекатились два шара. После того, как шары во второй урне перемешались, из неё выкатился шар. Найти вероятность того, что выкатившийся из второй урны шар белый.

15. В условие задачи №41 внесем изменение. Пусть после того, как из первой урны во вторую перекатились два шара и шары во второй урне перемешались, из неё выкатился белый шар. Найти вероятность того, что из первой урны во вторую перекатились разноцветные шары.

16. Сообщение со спутника на землю передаётся в виде бинарного кода, то есть как упорядоченного набора нулей и единиц. Предположим, что послание на 70% состоит из нулей. Помехи приводят к тому, что только 80% нулей и единиц правильно распознаются приёмником. Если принят сигнал “1”, то какова вероятность того, что отправлен сигнал “0”?

Литература

Основная:

1. Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятностей и математической статистике: учеб. пособие. М.: Юрайт; ИД Юрайт, 2010. С. 8–37.

2. Кириллов А.Л. Математика для управленцев. Курс лекций. Спб.: издательство СЗАГС, 1999. С. 12–18.

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2004. С. 18–70.

4. Курзенев В.А. Основы математической статистики для управленцев: Учебное пособие. Спб.: издательство СЗАГС, 2005. С. 7–30.

 

Дополнительная:

1. Баврин И.И. Математика для гуманитариев: Учебник для студентов учреждений высш. Проф. Образования гуманитарных направлений. М.:Издательский центр «Академия», 2011. С. 195–209, 275–279.

2. Данчул А.Н., Митини А.И., Сафонова Т.Е., Симонов В.А. Математика: Математический анализ. Дифференциальные уравнения. Теория вероятностей. Математическая статистика. Учебно-методическое пособие/ Под ред. А.Н.Данчула. М., 2004. С. 95–103.

3. Ильин В.А., Куркина А.В. Высшая математика: Учеб. М.: Проспект, 2009. С. 25–28.

4. Колемаев В.А., Калинин В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник/ Под ред. В.А.Колемаева. М.:ИНФРА-М, 1997. С. 10–36.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

Темы, формы контроля и объём часов на самостоятельную работу

 

Наименование работы Кол-во часов Форма контроля
        Подготовка к семинарским занятиям. Выполнение индивидуальных заданий (решение задач) Изучение тем теоретической части курса в процессе самостоятельной проработки материала: 1. Системы линейных уравнений. Теория определителей. Алгебра матриц. 2. Арифметические пространства. 3. Комплексные числа. Алгебраические многочлены. 4. Введение в математический анализ. Предел и непрерывность функции. 5. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных. 6. Интегральное исчисление. 7. Элементы комбинаторики и теории вероятностей Подготовка к экзамену   ИТОГО         Опрос Контрольные работы Тесты     Экзамен  

ВОПРОСЫ ДЛЯ ПОДГОТОВКИ К ЭКЗАМЕНУ

1. Метод Гаусса. Общее и частное решение.

2. Понятие определителя, его свойства.

3. Миноры и алгебраические дополнения. Разложение определителя.

4. Теорема Крамера.

5. Понятие арифметического пространства, определения линейно зависимой и независимой системы векторов. Критерий линейной зависимости.

6. Базис и ранг системы векторов.

7. Теорема о ранге матрицы.

8. Равенство рангов системы строк и столбцов матрицы. Неизменность ранга при элементарных преобразованиях матрицы. Перечисление базисов системы векторов.

9. Система линейных однородных уравнений. Ранг и базис множества решений.

10. Системы неоднородных линейных уравнений: теорема Кронекера-Капелли; связь с соответствующей системой линейных однородных уравнений.

11. Комплексные числа. Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия с комплексными числами в этой форме. Формула Муавра. Свойства модуля комплексного числа.

12. Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа в тригонометрической форме. Расположение корней на плоскости.

13. Действия с матрицами. Определитель произведения матриц.

14. Критерий обратимости квадратной матрицы. Построение обратной матрицы способом, связанным с алгебраическими дополнениями.

15. Критерий обратимости квадратной матрицы. Способ построения обратной матрицы, связанный с приписыванием единичной матрицы.

16. Алгебраические многочлены. Теорема о делении с остатком для многочленов.

17. Схема Горнера. Теорема Безу. Теорема о числе корней. Достаточные условия совпадения двух определений многочлена.

18. Наибольший общий делитель двух многочленов. Алгоритм Евклида.

19. Формулировка основной теоремы алгебры комплексных чисел. Вид неприводимых многочленов над полями комплексных и действительных чисел.

20. Понятие множества. Операции над множествами. Функциональная зависимость. Способы задания функций. Сложная функция.

21. Классификация функций: чётные и нечётные, периодические и непериодические. Ограниченные функции. Наибольшее и наименьшее значения функции. Монотонность функций. Обратная функция.

22. Графики основных элементарных функций (линейной, модуля, квадратичной, степенной, показательной, логарифмической, тригонометрических, обратных тригонометрических функций). Функции полезности, спроса и предложения.

23. Числовые последовательности. Ограниченные и неограниченные последовательности. Предел числовой последовательности. Арифметические операции над пределами.

24. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Монотонные последовательности. Число . Задача о непрерывном начислении процентов.

25. Предел функции в точке. Два замечательных предела.

26. Непрерывность функции в точке. Арифметические действия над непрерывными функциями.

27. Непрерывность функции на множестве. Непрерывность некоторых элементарных функций. Точки разрыва функций, их классификация.

28. Глобальные свойства непрерывных функций: теорема об ограниченности функции, заданной и непрерывной на отрезке, теорема о достижении функцией, непрерывной на отрезке, своих наибольшего и наименьшего значений.

29. Производная и дифференциал. Геометрический, физический, экономический смысл производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Производные высших порядков.

30. Схема вычисления производной. Правила дифференцирования. Производная основных элементарных функций.

31. Производная сложной и обратной функций.

32. Основные теоремы о дифференцируемых функциях (теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа, правило Лопиталя).

33. Возрастание и убывание функций. Экстремум функции. Схема исследования функции на экстремум. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке.

34. Выпуклость функции и точки перегиба. Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба.

35. Асимптоты. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

36. Первообразная функция и неопределенный интеграл. Свойства неопределённого интеграла. Неопределённый интеграл от основных элементарных функций.

37. Интегрирование заменой переменного и по частям. Интегрирование рациональных функций.

38. Интегрирование некоторых иррациональных функций и тригонометрических выражений.

39. Понятие определённого интеграла, его геометрический и экономический смысл. Свойства определённого интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.

40. Замена переменного и формула интегрирования по частям в определённом интеграле.

41. Несобственные интегралы.

42. Понятие функции нескольких переменных. Область определения, линии уровня. Функции полезности и кривые безразличия. Производственная функция и изокванты.

43. Предел и непрерывность функций нескольких переменных.

44. Частные производные. Дифференциалы функций нескольких переменных. Производная по направлению, градиент.

45. Локальный экстремум, наибольшее и наименьшее значения функций многих переменных.

46. Условный экстремум: метод подстановки и метод множителей Лагранжа.

47. Метод наименьших квадратов.

48. Основные законы комбинаторики. Правило суммы. Правило произведения.

49. Основные формулы комбинаторики. Перестановки, сочетания и размещения без повторений.

50. Основные понятия теории вероятностей: испытания и события, виды случайных событий.

51. Классическое определение вероятности, примеры непосредственного вычисления вероятностей.

52. Относительная частота. Устойчивость относительной частоты. Статистическая вероятность.

53. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Полная группа событий. Противоположные события.

54. Теорема умножения вероятностей. Независимые и зависимые события. Теорема умножения вероятностей независимых событий.

55. Вероятность появления хотя бы одного события.

56. Условная вероятность.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!