Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 5. Дифференциальное исчисление функций одной и нескольких переменных



Производная и дифференциал. Геометрический, физический, экономический смысл производной. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Схема вычисления производной. Правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функций. Производная основных элементарных функций. Производные высших порядков. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и их приложения (теоремы Ферма, Ролля и Лагранжа, правило Лопиталя). Возрастание и убывание функций. Экстремум функции. Схема исследования функции на экстремум. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, заданной на отрезке. Выпуклость функции и точки перегиба. Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба. Асимптоты. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

Точечные множества в n-мерном пространстве. Понятие функции нескольких переменных. Примеры таких функций (линейная, квадратичная; в экономике – функция полезности, производственная функция). Область определения, линии уровня функций нескольких переменных. Функции полезности и кривые безразличия. Производственная функция. Предел и непрерывность функций нескольких переменных. Частные производные. Дифференциалы функций нескольких переменных. Производная по направлению, градиент. Экстремум, наибольшее и наименьшее значения функций многих переменных. Условный экстремум: метод подстановки и метод множителей Лагранжа. Метод наименьших квадратов.

 

Основные термины:производная, дифференциал, производные высшего порядка, экстремум, линии уровня, частные производные, производная по направлению, условный экстремум.

Контрольные вопросы по теме 5:

1. Найти производную следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) ;

д) ; е) ; ж) ; з) .

2. Составить уравнение касательной к графику функции :

а) в точке ; б) в точке пересечения с осью ординат.

3. Найти производную n-го порядка функций: а) ; б) .

4. Объём продукции (усл. ед.) цеха в течение рабочего дня представляет функцию , где – время (ч.) найти производительность труда через 2 часа после начала работы.

5. Применяя правило Лопиталя, найти:

а) ; б) ; в) .

6. Найти интервалы монотонности следующих функций:

а) ; б) .

7. Исследовать на экстремум следующие функции:

а) ; б) .

8. Найти наибольшее и наименьшее значения функций:

а) на отрезке ;

б) на промежутке .

9. Исследовать функции и построить их графики:

а) ; б) .



10.Расходы на рекламу влияют на валовой доход по полученному эмпирически закону , где – доход в отсутствие рекламы. При каких значениях оптимальные расходы на рекламу могут превысить весь доход в отсутствие рекламы?

11.Используя понятие дифференциала, вычислить: а) ; б) .

12. Определить области существования функций:

а) ; б) ; в) .

13. Построить линии уровня следующих функций:

а) ; б) ; в) ; г) .

14. Найти частные производные первого порядка и дифференциал от следующих функций: а) ; б) ; в) .

15. Найти производную по направлению функции в точке в направлении , образующим угол с осью абсцисс, если равен .

16. Найти критические точки функций и проверить в них выполнение достаточного условия экстремума:

а) ; б) ;

в) ; г) .

17. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на полукруге единичного радиуса с центром в начале координат и расположенном в правой полуплоскости.

18. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на треугольнике с вершинами в точках .

19. Методом наименьших квадратов найти эмпирическую формулу для функции, заданной следующей таблицей:

 

x –0,2 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
y 3,2 2,9 1,8 1,6 1,2 0,7

 

Изобразить графически таблично заданную и соответствующую линейную функции. По формуле вычислить значение переменной y при .

20. Определить оптимальное распределение ресурсов для функции выпуска , если затраты на факторы x и y линейны и задаются ценами .

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!