Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Устойчивость линейных импульсных систем



 

Устойчивость - свойство объекта или системы с течением времени приходить в равновесное состояние.

Равновесное состояние - такое состояние, в котором все величины неизменны.

Запишем исходную систему уравнений, описывающую объект управления:

- состояние равновесия.

- уравнение равновесия.

Введем новую переменную - отклонение от состояния равновесия и перепишем исходные уравнения в отклонениях от положения равновесия:

Последняя скобка равна нулю в состоянии равновесия, поэтому

 
 

 

 


Рис 1.18

Общее условие устойчивости

 

Чтобы линейная импульсная система была устойчивой достаточно чтобы модули собственных значений матрицы А были меньше единицы.

 

 

Доказательство

 

Будем искать частные решения разностного уравнения для объекта

в виде .

 

- корень характеристического уравнения

- соответствующий этому корню собственный вектор

Общее решение тогда можно записать как линейную комбинацию частных решений:

Подставим частное решение в исходное разностное уравнение:

Получаем систему уравнений для нахождения неизвестного собственного вектора gi

(*)

Обращаем внимание на то, что матрица в круглых скобках вырожденная, поэтому система вида (*) недоопределена, вектор gi имеет бесконечное множество значений. Для нахождения любого из них произвольно зададим одну из компонент этого вектора.

Из системы исходных уравнений исключают зависимое уравнение, остальные компоненты вектора gi находят по сформированной системе уравнений (n-1) порядка. Для нахождения неизвестных констант Сi используются начальные условия:

Это система из n уравнений для нахождения констант .

 


Геометрическая интерпретация общего условия устойчивости

 

 

 


Рис 1.19

Линейная импульсная система устойчива, если все корни лежат в круге единичного радиуса.

Процедура анализа устойчивости линейной импульсной системы:

1) Записать характеристическое уравнение линейной импульсной системы det(zI-A)=0

2) Найти корни .

3) Проанализировать по критерию | |<1,

 

Для анализа устойчивости были сформулированы критерии:

1) Шура

2) Шур-Кона

 


Билинейное преобразование

Для анализа устойчивости ЛИС можно воспользоваться уже известными критериями из теории линейных непрерывных систем. Для этого необходимо воспользоваться преобразованием отображающим круг единичного радиуса плоскости корней ЛИС в левую полуплоскость комплексной плоскости псевдокорней w (рис 1.20).



Рис. 1.20

Аналитически такое преобразование выглядит следующим образом:

Процедура использования билинейного преобразования

1) Записать характеристическое уравнение линейной импульсной системы:

.

 

2) Заменить в этом уравнении z на .

 

3) Привести это уравнение к общему знаменателю и приравнять числитель нулю

 

4) К полученному выражению применить критерий Гурвица.


Преобразование Тастина

Это преобразование позволяет получить дискретную передаточную функцию линейного объекта из его исходной непрерывной передаточной функции:

 

При малом шаге квантования справедлива следующая замена переменной:

 

 

Обоснования.

1.Запишем аналитическую выражение, связывающее операторы «p» и «z», а затем разложим логарифм в ряд Тейлора:

 

.

В последнем выражении отбросим все члены ряда кроме первого.

2. Воспользуемся методом трапеций для аппроксимации процедуры интегрирования (рис.1.21).

U

           
 
i
 
i+1
 
t

Рис. 1.21

 

Замечание

Преобразование Тастина можно использовать только для анализа процессов в разомкнутых ЛИС, так как при малых шагах квантования корни знаменателя воспроизводятся достаточно точно, а порядок числителя при этом переходе получается равным n вместо (n-1).

 

 


 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!