Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Рассмотрим интеграл . Если функция задана параметрически



, то переход к переменной t равносилен замене переменной в определенном интеграле:

 

Пример: найти площадь эллипса

Перейдем к параметрическим уравнениям эллипса x=acost, y=bsint. Учитывая симметрию эллипса, найдем (в первой четверти). В этом случае .

.

 

Определенный интеграл для функций, заданных в полярной системе координат.

 

1. Площадь сектора.

Рассмотрим фигуру, заданную в полярной системе координат уравнениями

 



 

 

 

Воспользуемся формулой площади кругового сектора . Разобькем рассматриваемый сектор лучами на элементарные секторы. В первом приближении можно считать элементарный сектор с углом круговым, и его площадь равна . Площадь всего сектора приближенно равна . Приближенное равенство тем точнее, чем мельче разбиение . Переходя к пределу, получим точное значение площади:

Так как под знаком предела интегральная сумма, то площадь сектора можно выразить через определенный интеграл:

2. Длина дуги в полярной системе координат.

Рассмотрим дифференциал дуги в для полярной системы координат зависимость и декартовой системы координат (х,у) выражается формулами:

или

Отсюда имеем:

Таким образом дифференциал дуги в полярной системе координат имеет вид:

Отсюда имеем формулу для вычисления длины дуги :

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ.

 

Ранее говоря об определенных интегралах мы подразумевали, что интервал интегрирования конечен и подинтегральная функция на нем непрерывна. Однако, в прикладных задачах электродинамики, механики, теории вероятностей и т. д. часто возникает необходимость распространения понятия определенного интеграла на случаи бесконечного интервала интегрирования и разрывной подинтегральной функции. Такие интегралы называются несобственными интегралами I и II рода соответственно.

 

Несобственные интегралы I рода.

 

Пусть функция f(x) непрерывна на луче . По определению положим:

Если этот предел существует и конечен, будем говорить, что несобственный интеграл I рода существует или сходится. Если же указанный предел не существует или является бесконечным, то будем говорить, что несобственный интеграл I рода не существует или расходится. Подобным образом определяются и другие аналогичные несобственные интегралы:



где а и b изменяются одновременно и независимо друг от друга. Очевидно, что для существования последнего интеграла необходимо и достаточно, чтобы сходились интегралы при произвольном выборе т. с.

Пример: исследовать на сходимость интеграл , где р>0.

Решение: пусть , тогда

Если p<1, то

т. е. интеграл расходится.

Если p>1, то

т. е. интеграл сходится.

Если p=1, то

интеграл расходится.

Выяснение вопроса о сходимости несобственных интегралов значительно усложняется, если первообразная функция неизвестна. В таких случаях иногда удается установить, сходится или расходится интеграл, пользуясь специальными признаками сходимости, не требующими знания первообразной. Рассмотрим некоторые из них.

Пусть дан несобственный интеграл , где при . Если при существуют такие числа М>0 и p>1, что , то сходится.

Если же при существуют такие M> и , что , то расходится.

Пример 1: сходится т. к. на .

 

Пример 2: расходится т.к. .

Мы рассмотрели случай, когда f(x) на промежутке неотрицательна. Если же f(x) знакопеременна на , применяется следующий признак сравнимости:

Если сходится, то также сходится, при этом говорят, что сходится абсолютно. Однако, этот признак не является необходимым : если расходится, то может как расходится, так и сходится, в последнем случае говорят, что он сходится условно.

Пример 3: сходится абсолютно, т. к. сходится , последнее следует из того, что при .

Несобственные интегралы II рода.

 

Если в интервале [a;b] f(x) имеет точки разрыва первого рода, то интеграл для такой функции есть просто сумма обыкновенных интегралов, взятых по частичным интервалам, на которые разбивается [a;b] точками разрыва функции:

где - точки разрыва I рода.



Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b]. Если , то по определению положим

В случае, если этот предел существует и конечен, будем говорить, что несобственный интеграл II рода существует или сходится. Если же указанный предел не существует или бесконечен, то несобственный интеграл не существует или расходится. Подобным образом определяются и другие несобственные интегралы II рода:

(с – точка разрыва II рода).

Пример: исследовать на сходимость интеграл (a<b, p>0)

Решение: функция непрерывна на (a;b] , при х=а она претерпевает бесконечный разрыв.

Пусть

Если p<1, то

т.е. интеграл сходится.

 

Если p>1, то

т.е. интеграл расходится.

Если p=1, то

интеграл расходится.

 

Признаки сходимости.

 

Пусть дан несобственный интеграл , где f(x) непрерывна на [a;b), а в т. b имеет бесконечный разрыв. Если при существуют такие постоянные числа M>0 и 0<p<1 , что , то сходится.

Если при существуют такие постоянные числа M>0 и , что , то расходится.

Пример: сходится т. к. на [0;1).

Пример: расходится, т. к. на [1;2).

Выше рассмотренный признак справедлив если f(x) на [a;b) неотрицательна, если же f(x) знакопеременна на [a;b), употребляют достаточный признак сходимости:

Если сходится, то также сходится, при этом говорят что сходится абсолютно.

Пример: сходится так как сходится интеграл поскольку на [0;1).

 

 

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!