Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Температурные напряжения при нагреве



При значительных скоростях нагрева в пластине могут возникать термиче­ские напряжения, превышающие допустимые для данного материала, приводящие в некоторых случаях даже к разрушению пластины.

В этом разделе получим формулы для расчета термических напряжений, возникающих при нагреве.

Согласно литературным данным, например [9], для определения темпера­турных напряжений в бесконечно большой пластине толщиной 2d при симмет­ричном распределении температур можно воспользоваться следующим выраже­нием:

, (74)

 

где sу(х,t) и sz(х,t) – нормальные составляющие напряжения, параллельные осям y, z, Па;

b - линейный коэффициент температурного расширения, 1/К;

Е – модуль упругости на растяжение и сжатие, Па;

v - коэффициент Пуассона;

t(x) – текущая температура, определенная выше решением (8).

Подставляя температурное поле (8) в уравнение (43) и полагая теплофизические и упругие константы независящими от температуры, после преобразований получим:

, (75)

где - безразмерные термические напряжения,

s0 = bЕDt0 / (1-n) – максимально возможные термические напряжения, Па;

ср(Fo) – среднемассовая температура пластины (уравнение (11) или (27)).

При Х=1 из уравнения (44) получим напряжение на поверхности

, (76)

а при Х=0 – в центре пластины

. (77)

Исследование полученных решений позволяет сделать следующие выводы:

1) При нагреве на поверхности пластины возникают сжимающие (отрица­тельные) напряжения, а в середине растягивающие (положительные); в случае процесса охлаждения знаки поменяются;

2) Нейтральные слои расположены несколько ближе к поверхности;

3) Наибольшее значение по абсолютной величине имеют напряжения на поверхности;

4) Динамика изменения напряжения во времени аналогична изменению температурной разности, т.е. резко возрастают, достигая максимального значения при числах Фурье Fomax­=0,05…0,30, а затем постепенно падают.

Пропорциональность напряжений температурной разности дает возмож­ность записать приближенную, упрощенную формулу для расчета средних терми­ческих напряжений. Согласно данным Н. Ю. Тайца [28]:

, (78)

где А – эмпирический коэффициент, А = 2/3 – для пластины и А = 0,5 – для цилиндра;

Dt(t) = tn(t) - tц(t) – температурная разность, которую можно определить из об­щего решения (8) или из уравнения (53) для регулярного режима, либо с использованием уравнения (29) для инерционного периода нагрева

Dq = j(у) – 1. (79)



Решая совместно уравнения (45) и (46), можно получить

. (80)

Так как термические напряжения в центре пластины примерно на порядок меньше напряжений на поверхности, то из уравнения (80) вытекает, что и это доказывает справедливость эмпирической формулы (78).

Иногда важнее знать не всю динамику изменений напряжений во времени, а только их максимально возможную величину, которая достигается, когда Dt ста­новится равной Dtmax в момент времени tmax. Тогда формула (78) перепишется в виде:

smax = AbEDtmax / (1-n). (78a)

или в безразмерной форме

. (81)

Если расчеты покажут, что максимальные напряжения окажутся больше допустимых, т.е.

smax ³ sдоп, (82)

то следует изменить режим или условия нагрева во избежание появления трещин, снижения качества заготовки и т.д.

Определение максимальной температурной разности наталкивается на трудности математического характера, т.к. Dqmax = f1 (Fоmax) находится из условия равенства нулю производной по числу Фурье в урав­нении (20). А из-за малости числа max приходится учитывать много членов ряда (20) и затем решать трансцендентные уравнения. Аналогичная ситуация возни­кает при определении по уравнению (80). См. рис. 4.4.

Выведем приближенную аналитическую формулу для расчетов Fomax. Дифференцируя уравнение (20) по времени, приравнивая производную нулю, используя два члена разложения в сумме ряда, получим:

, (83)

где .

В двух предельных случаях (малые и большие числа Био) уравнение (83) упрощается.

 

 

 

Рис. 4.1.- Динамика изменения безразмерной температуры в центре, среднемассовой, на поверхности и их разности во времени

Малые числа Био.

Согласно уравнению (41) , а из уравнения (15) с учетом того, что при малых аргументах и второй корень уравнения (9) . Тогда разность квадратов корней .



Коэффициенты Р при Bi2 = 0: .

Тригонометрические функции: (см.уравнение (84)); . Тогда .

Окончательно, после подстановки и в уравнение (83), получим время наступления максимальной разности температур при малых числах Био:

. (84)

Уравнением (84) с погрешностью менее 5% можно пользоваться при числах получая чуть заниженные результаты по сравнению с расчетом по (83).

В пределе, если , время , однако число Тихонова

(85)

стремится к нулю. В этом можно убедиться, раскрыв неопределенность типа 0/0 по известному правилу Лопиталя.

При больших числах Фурье для расчета максимальной температурной разности по уравнению (20) можно ограничиться одним членом ряда

. (86)

Большие числа Био.

Согласно уравнению (16) и .

Коэффициенты , ,

, .

Тогда коэффициент b=1/3 и время наступления максимальной температурной разности при больших числах Био:

, (87)

где - время максимума, которое получается в случае .

Относительная погрешность уравнения (87) при числах не превышает 8,6% хотя абсолютные значения времени отличаются в третьем знаке после запятой.

В пределе, если , время максимума , а точнее , так как уравнения (83) и (87) получены с использованием всего двух членов ряда (20), однако максимальное число Тихонова

, (88)

где , с ростом числа Био стремится к бесконечности.

При малых числах Фурье , как уже отличалось ранее, ряды (8), (11), (39) и (20) плохо сходятся. В этом случае следует использовать уравнения (29) и (79), которые описывают начальную стадию нагрева. Тогда максимальная разность температур при и с учетом разложения функции при y>>1:

, (89)

где .

При промежуточных числах Био следует пользоваться более сложной, но точной формулой (83).

При известном Fomax максимальную разность температур можно определить по уравнению (20) или (79), а температуру на поверхности по формуле (18) или (29). См. рис. 4.2…4.7.

 

Рис. 4.2. Зависимость максимальных значений Fomax , , , , от числа Био

 

Рис. 4.3. Зависимость времени нагрева тела до заданных температур поверхности, среднемассовой и центра от числа Био

 

 

 

Рис. 4.4. Зависимость безрозмерных термических напряжений на поверхности ( ), в центре ( ) и температурной разности ( )

 

 

Рис. 4.5. Зависимость максимальних термических напряжений на поверхности ( ) и в центре ( )

 

 

Рис. 4.6. Зависимость времени наступления максимальных напряжений

Fom, Fomax , Fom.n от числа Био

 

Рис. 4.7. Зависимость коэффициентов усреднения от времени и числа Био


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!