Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Т е м а 3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА



ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ

 

Методические указания

к практическим занятиям

 

Сыктывкар 1999


Методические указания по курсу электродинамики рассчитаны на студентов-физиков с учетом существующих программ по электродинамике. Предложенные задачи требуют соответствующей математической подготовки. Большинство из них решаются простыми математическими методами. Несколько задач выделяется по своей сложности и их решение связано с трудоемкими вычислениями. Эти задачи отмечены звездочкой.

В методических указаниях используется гауссова система единиц, так как она наиболее часто употребляется в физической литературе.


Т е м а 1, 2. ВЕКТОРНЫЙ АНАЛИЗ В КУРСЕ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ

 

Разложение вектора по ортам , , декартовой системы координат имеет вид:

.

Некоторые сведения из векторного анализа:

1. Скалярное произведение двух векторов и :

,

, — угол между и ;

2. Векторное произведение двух векторов и :

,

,

где — угол между и ;

3. Смешанное произведение:

;

4. Двойное векторное произведение:

.

5. .

 

Дифференциальные операции:

1. Дифференцирование вектора, зависящего от скалярного аргумента

,

где — единичный вектор по направлению .

2. Полная производная от по времени t

,

где — векторный дифференциальный оператор.

3. Пусть , где u — скалярный аргумент, зависящий от координат:

,

.

Задания.

1.1. С помощью оператора , пользуясь правилами дифференцирования и перемножения векторов, доказать тождества:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

1.2. Вычислить:

, ,

, .

1.3. Доказать тождества:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

1.4. В некоторых случаях бывает удобно вместо декартовых компонент вектора аx, ay, az рассматривать его циклические компоненты, определяемые формулами:

, .

Выразить скалярные и векторные произведения двух векторов через их циклические компоненты.

1.5. Записать циклические компоненты градиента в сферических координатах (см. задачу 1.4.).

1.6. Найти функцию , удовлетворяющую условию:

.

1.7. Найти дивергенции и вихри следующих векторов:

1.

2.

3.

4.

5. ,

где и — постоянные векторы.

1.8. Вычислить

, , ,

, ,

где .

 

Т е м а 3. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ. УРАВНЕНИЕ ПУАССОНА

 

3.1. Объемная плотность заряда полупространства имеет периодическую структуру , где постоянный вектор образует с осью z отличный от нуля угол. Найти потенциал электрического поля в каждой точке пространства.



Решение: Потенциал

(1)

является решением уравнений

, (где )

с дополнительными условиями

, (2)

, (3)

Последние два условия вытекают из того, что точечные и линейные заряды отсутствуют, а полный заряд равен нулю. Так как

,

задача допускает разделение переменных:

где последнее слагаемое потенциала является частным решением уравнения Пуассона. Функции и (i=1, 2) удовлетворяют одному и тому же уравнению:

,

в котором . Принимая во внимание условие (3), находим

.

Постоянные множители ai, bi (i=1, 2) определяются из граничных условий (2), так что

,

.

 

3.2. Вывести закон Ленгмюра для плоского вакуумного диода:

j=kU3/2,

где j — величина плотности тока, U — напряжение между анодом и катодом, k — коэффициент пропорциональности, зависящий от l — расстояния между катодом и анодом, e, m — заряда и массы электрона. Считать, что сила тока далека от насыщения. начальная скорость электронов равна нулю.

3.3. Определить потенциал и напряженность электрического поля на оси тонкого диска радиуса R, равномерно заряженного с поверхностной плотностью . Убедиться, что на большом расстоянии от диска найденный потенциал совпадает с кулоновским, а при переходе через поверхность диска напряженность электрического поля удовлетворяет необходимому граничному условию:

.

 

3.4. Вычислить напряженность поля и потенциал , создаваемый длинным прямым проводником радиуса а, равномерно заряженным с плотностью заряда .

 

3.5. Бесконечная плоская плита толщиной а равномерно заряжена с плотностью . Найти потенциал и напряженность электрического поля внутри и вне плиты. Задачу решить двумя способами:



а) используя теорему Гаусса;

б) используя общее решение уравнения Пуассона.

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!