Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






ПРИМЕНЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ПРИБЛИЖЕННЫМ ВЫЧИСЛЕНИЯМ



Пусть нам известно значение функции y0=f(x0) и ее производной y0' = f '(x0) в точке x0. Покажем, как найти значение функции в некоторой близкой точке x.

Как мы уже выяснили приращение функции Δy можно представить в виде суммы Δy=dy+α·Δx, т.е. приращение функции отличается от дифференциала на величину бесконечно малую. Поэтому, пренебрегая при малых Δx вторым слагаемым в приближенных вычислениях, иногда пользуются приближенным равенством Δy≈dy или Δy≈f'(x0)·Δx.

Т.к., по определению, Δy = f(x) – f(x0), то f(x) – f(x0)≈f'(x0)·Δx.

Откуда f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)·Δx

Инвариантная форма первого дифференциала.

df(x)=f’(x)dx

Доказательство:

1)

2)

 

(9)

Основные теоремы о дифференцируемых функциях. Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции. Теорема Ферма. Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши и их следствия. Геометрический смысл теорем Ферма, Ролля и Лагранжа.

Правило Лопиталя. Раскрытие неопределенностей вида ....... с помощью правила Лопиталя.

Формулы Тейлора и Маклорена. Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано и Лагранжа. Разложения по формуле Тейлора функций , , , , , в окрестности точки . Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора.

· Функция дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда у неё существует конечная производная. Более того

· Дифференциал функции (соответственно производная) определяется единственным образом.

· Функция, дифференцируемая в какой-либо точке, непрерывна в ней же, то есть Обратное утверждение неверно.

Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции

Теорема (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция дифференцируема в точке, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Пусть функция у=f(x) дифференцируема в точке х0. Дадим в этой точке аргументу приращение Dх. Функция получит приращение Dу. Найдем .

.

Следовательно, у=f(x) непрерывна в точке х0.

Следствие. Если х0 – точка разрыва функции, то в ней функция не дифференцируема.

Теорема Ферма

Если f(x) дифференцируема в точке x0 и принимает в этой точке наибольшее или наименьшее значение для некоторой окрестности точки x0, то f’(x)=0.

Доказательство:

пусть f(x0) – наибольшая.

 

Теорема(Ролля) Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке , дифференцируема на интервале (a, b) и f(a) = f(b). Тогда существует число такое, что f ' (c) = 0.



Доказательство. Так как функция y = f(x) непрерывна на отрезке , то она на этом отрезке достигает своего наибольшего и своего наименьшего значения.

Обозначим

Если M = m, то f(x) = const . Следовательно, f '(x) = 0 для любого , и теорема для данного случая верна. Пусть теперь M≠m. Пусть M>f(a)=f(b). Тогда найдется число такое, что f(c)=M. При этом имеют место неравенства

Переходя к пределу, получаем

Если при M ≠ m выполнены равенства M = f(a) = f(b), тогда m < f(a) = f(b).

Рассмотрим функцию y = g(x) = - f(x).

Для этой функции и - m > g(a) = g(b).

Из доказанного выше следует, что существует число такое, что g ' (c) = 0. Так как g ' (c) = - f(c), то f(c) = 0 . Теорема доказана.

Теорема Коши(об отношении приращения двух функций)

Пусть функции y = f(x), y = g(x) непрерывны на отрезке и дифференцируемы на интервале (a, b), причем g ' (x) ≠ 0 на (a, b).

Тогда существует число такое, что

Доказательство. Заметим, что g(b) ≠ g(a). (Если g(b) = g(a), то, по теореме Ролля, существует число такое, что g ' (c) = 0.)

Введем обозначение: .

Рассмотрим функцию , которая непрерывна на , дифференцируема на (a, b) и F(a) = F(b) = 0, т.е. функция F удовлетворяет условиям теоремы Ролля.

Следовательно, существует число такое, что F ' (c) = 0.

Так как . Теорема доказана.

Теорема Лагранжа(о конечных приращениях)

Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема на интервале (a, b).

Тогда существует число , такое, что .

Доказательство. Необходимо положить g(x) = x и применить теорему Коши. Теорема доказана.

Теорема (правило Лопиталя). Пусть функции f(x) и g(x) дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, за исключением, быть может, самой точки a, и пусть или . Тогда, если существует предел отношения производных этих функций , то существует и предел отношения самих функций f(x)/g(x) при x→а, причем



Таким образом, коротко правило Лопиталя можно сформулировать следующим образом: предел отношения двух бесконечно малых или двух бесконечно больших величин равен пределу отношения их производных.

Замечание. Отметим, что формула справедлива только в том случае, если предел, стоящий справа, существует. Может случиться, что предел, стоящий слева существует, в то время как предел, стоящий в правой части равенства, не существует.

ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА

Пусть функция y= f(x) задана на (a, b) и x0 Î (a, b). Поставим следующую задачу: найти многочлен P(x), значения которого в окрестности точки x0 приближенно совпадали бы со значениями функции f(x) в соответствующих точках. Тогда можно будет считать, что f(x)≈P(x) и задачу вычисления значений f(x) в окрестности точки x0 можно заменить более легкой задачей вычисления значений P(x).

Пусть искомый многочлен имеет степень n P(x) = Pn(x). Будем искать его в виде (1)

В этом равенстве нам нужно найти коэффициенты .

Для того чтобы этот многочлен был "близок" к функции f(x) потребуем выполнения следующих равенств:

Пусть функция y= f(x) имеет производные до n-ого порядка. Найдем коэффициенты многочлена Pn(x) исходя из условия равенства производных.

Введем обозначение n! = 1·2·3…n, 0! = 1, 1! = 1.

Подставим в (1) x = x0 и найдем , но с другой стороны . Поэтому

Далее найдем производную и вычислим Следовательно, .

Учитывая третье условие и то, что ,

получим , т.е. .

Далее . Значит, , т.е. .

Очевидно, что и для всех последующих коэффициентов будет верна формула

Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим искомый многочлен:

Обозначим и назовем эту разность n-ым остаточным членом функции f(x) в точке x0. Отсюда и, следовательно, если остаточный член будет мал.

Оказывается, что если x0 Î (a, b) при всех x Î (a, b) существует производная f (n+1)(x), то для произвольной точки x Î (a, b) существует точка, лежащая между x0 и x такая, что остаток можно представить в виде:

Это так называемая формула Лагранжа для остаточного члена.

Формула

где x Î (x0, x) называется формулой Тейлора.

Если в этой формуле положить x0 = 0, то она запишется в виде

где x Î ( x0, x). Этот частный случай формулы Тейлора называют формулой МакЛорена.

; ; ; ; ; ; ;

(10)


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!