Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Счетность множества целых чисел



Целые числа расположим следующим образом 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …., n, -n, …

Тогда каждому числу можно поставить в соответствие натуральное число

0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, …. , n, -n, …

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,…., 2n-1, 2n, …

Таким образом доказано, что множество Z равномощно множеству N, а значит оно счетно.

Для доказательства эффективной перечислимости множества Z необходимо установить тот факт, что все элементы множества Z могут быть перебраны по алгоритму и должны получить в результате такого перебора порядковые номера, причем без пропусков и повторений. Позже для некоторых случаев оговорка «без пропусков и повторений» будет снята, однако важным остается факт перечисления ПО АЛГОРИТМУ, т.е. неким регулярным образом.

Счетность множества рациональных чисел

Определим рациональное число как q=n/m, где n и m – целые числа, причем m не равно 0.

Рассмотрим сначала положительные рациональные числа и запишем их в виде бесконечнойматрицы, строки и столбцы которой пронумерованы натуральными числами начиная с 1. Элемент стоящий на пересечении i-ой строки и j-ого столбца получит наименование qij

Используя диагональный метод, перечислим их (пронумеруем натуральными числами):

q11 q21 q12 q13 q22 q31 q41 q32 q23 q14 q15 q24 q33

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Т.о. каждое рациональное число получит соответствующий номер, что означает счетность множества рациональных чисел. Факт эффективной перечислимости множества Z напрямую следует из приведенного способа нумерации элементов натуральными числами.

Примеры несчетных множеств:

Множество вещественных чисел.

Множество всех отображений, целых чисел в целые.

Множество всех подмножеств множества положительных

Целых чисел.

(3) Числовая последовательность. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности, связь между ними. Основные теоремы о бесконечно малых последовательностях. Шкала бесконечно малых. –символика.

Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, … , n –1, n, … .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом un , следуя некоторому закону, то мы получим новый ряд чисел:

u1 , u2 , u3 , …, un - 1 , un , …, кратко обозначаемый { un }

и называемый числовой последовательностью. Величина un называется общим членом последовательности. Обычно числовая последовательность задаётся некоторой формулой un = f(n), позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задаётся путём описания её членов



Удобным инструментом при изучении предельных переходов является понятие бесконечно малой последовательности. Последовательность { n } называется бесконечно малой, если n 0 при n . Основные свойства бесконечно малых последовательностей:

1. Сумма и разность бесконечно малых последовательностей { n } и { n } есть бесконечно малая последовательность.

2. Б\м последовательность – ограниченна.

3. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность есть бесконечно малая последовательность.

4. Для того, чтобы последовательность { xn } сходилась к некоторому числу а необходимо и достаточно, чтобы существовала бесконечно малая последовательность { an }, такая, что для всех n выполнялось xn = а + an

(4) Сходящиеся последовательности. Предел последовательности, геометрический смысл. Основные теоремы о сходящихся последовательностях. Предельный переход в неравенствах. Ограниченные числовые последовательности. Верхняя и нижняя грани числовой последовательности. Точные верхняя и нижняя грани числовой последовательности. Монотонные последовательности. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Сходимость последовательности при .

Если существует конечный предел , то последовательность {xn} называется сходящейся.

Число a называется пределом последовательности {xn}, если для каждого ε > 0 существует такой номер Nε, что для всех n ≥ Nε выполняется неравенство |xn – a| < ε,

т. е. При этом пишут, что или при n → ∞. Кратко это определение можно записать так:



Интервал (a – ε; a + ε) называют ε-окрестностью точки a. ε-окрестность точки a. Проще говоря, число a называется пределом последовательности {xn}, если в любой ε-окрестности точки a лежат все члены последовательности {xn}, за исключением, может быть, конечного их числа. Отсюда легко заметить, что изменение конечного числа членов последовательности не влияет ни на факт существования предела, ни на величину последнего.

Теорема Вейерштрасса. Если последовательность монотонна и ограничена, то она имеет предел.

Д о к а з а т е л ь с т в о:

Пусть для определенности - возрастающая и ограничена сверху. Зафиксируем , а так как ограничена, то и . Тогда в силу монотонности заданной последовательности в силу (1.2.1) .

Поэтому , что означает .

Аналогично теорема доказывается для случая, когда - убывающая и ограничена снизу.

Следствие.

Для того, чтобы монотонно возрастающая (убывающая) последовательность сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была ограничена сверху (снизу). Это следует из утверждения, что если последовательность имеет предел, то она ограничена , и из теоремы Вейерштрасса.

Теорема 2.2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена.

Доказательство:Пусть , а Пусть - наибольшее из чисел , т.е. . По определению, - ограничена.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!