Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






ТЕОРЕМА(1) Кронекера-Капелли



Определители. Вычисление определителей второго порядка. Вычисление определителей высших порядков с помощью теоремы Лапласа. Свойства определителей.

Квадратной матрице A порядка n можно сопоставить число det A, называемое ее определителем, следующим образом:

n=1, A=(a1); det A= a1;

1.

2.

Теорема Лапласа

Выделим в det A произвольные строки с номерами . Образуем всевозможные миноры k-го порядка с элементами из этих строк. Домножим эти миноры на их алгебраические дополнения в det A. Тогда величина det A равна сумме таких произведений по всем возможным выборкам k элементов.

 

Свойства определителя:

1. Определитель, содержащий (а) строку из нулей (б) две одинаковые строки (в) две пропорциональные строки – равен нулю

2. Определитель не изменится если к одной строке прибавить другую, умноженную на число.

3. Определитель не меняется при транспонировании => Все свойства, справедливые для строк, справедливы и для столбцов.

4. Постоянный множитель строки\столбца можно вынести за знак определителя.

 

 

(3)Системы линейных уравнений. Система n линейных уравнений с k неизвестными. Основные определения: системы совместные, определенные, однородные. Решение систем методом Крамера, методом Гаусса, матричным методом. Исследование систем n уравнений с k неизвестными с помощью метода Гаусса. Элементарные преобразования системы. Совместность системы, ее определенность. Ранг системы линейных уравнений. Два способа вычисления ранга системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. Неопределенные системы. Однородные системы и их исследование.

Системой линейных алгебраических уравнений, содержащей m уравнений и n неизвестных, называется система вида

Где числа aij называются коэффициентами системы, числа bij – свободными членами.

Система называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если она не имеет ни одного решения.

Совместная называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Если свободные члены всех уравнений равны нулю, то система называется однородной.

Метод Крамера

Метод Гауса

Приведение расширенной матрицы системы к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований и решение соответственной системы.

Матричный метод

Рангом(обозначается r,r(A),rang(A)) матрицы называется наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля.



<=>

Рангом матрицы называется число линейно независимых строк.

Способы нахождения ранга матрицы:

3. Нахождение наибольшего(базисного) минора матрицы.

4. Приведение к каноническому виду(с помощью элементарных преобразований).

ТЕОРЕМА(1) Кронекера-Капелли.

Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширенной матрицы системы равен рангу основной матрицы.

Теорема(2). Если ранг совместной системы равен числу неизвестных, то система имеет единственное решение.

Теорема(3). Если ранг совместной системы меньше числа неизвестных, то система имеет бесчисленное множество решений.

Исследование однородных систем:

Однородная система всегда совместна.

Теорема: Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы был меньше числа неизвестных.

Теорема: Для того чтобы система однородных уравнений имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

 

 

(4) Линейное пространство. Аксиомы линейного пространства. Линейная зависимость (линейная независимость) системы векторов. Два определения линейно независимой системы векторов и их эквивалентность. Связь между линейной зависимостью (линейной независимостью) системы и подсистемы векторов. Ранг системы векторов. Критерий линейной независимости системы векторов. Базис линейного пространства. Разложение вектора по базису. Координаты вектора в базисе. Размерность линейного пространства.

Множество называется линейным пространством, а его элементы – векторами, если:

1. Задан закон, по которому любым двум элементам (х и у) сопоставляется элемент, называемый их суммой, обозначаемый х+у.



2. Задан закон, по которому элементу х из множества и числу а сопоставляется элемент их множества, называемый произведением х на а и обозначаемый ах.

3. Для любых элементов x, y и z из множества для любых чисел a и b выполнены следующие требования:

· x+y=y+x

· (x+y)+z=x+(y+z)

· х+о=х

· Для каждого элемента х существует такой элемент –х, что х+(-х)=0

· а(х+у)=ах+ау

· (a+b)x=ax+bx

· a(bx)=(ab)

· Произведение любого элемента х на 1 равно х.

 

a1; a2; a3;...;an - линейно зависимы если их линейная комбинация может принимать любые значения хотя бы при одном a≠0.

<=>

a1; a2; a3;...;an - линейно зависимы если один из них является линейной комбинацией остальных.

a1; a2; a3;...;an – линейно независимы если:

Рангом системы векторов называется максимальное количество линейно независимых векторов системы.

Система векторов называется базисом линейного пространства если:

1. Она линейно независима

2. Любой вектор пространства x линейно выражается через вектора этой системы.

<=>

Система векторов называется базисом линейного пространства если:

1. Она линейно независима

2. Добавление еще одного вектора превращает систему в линейно зависимую.

Коэффициенты линейной комбинации называются компонентами или координатами вектора по базису.

Векторы базиса e1,…,en записываются в строку e=||e1,…,en||, а компоненты ξ1,… ,ξn вектора х по базису e – в столбец, который называется координатным столбцом вектора. Разложение вектора по базису: х=еξ.

Векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы их координатные столбцы.

Количество базисных векторов линейного пространства называется размерностью этого пространства.

(5) Евклидовы пространства. Скалярное произведение n-мерных векторов и его свойства. Вектора коллинеарные, ортогональные, нормированные. Понятие ортонормированного базиса. Переход к новому базису.

Пространство называется эвклидовым если для любых двух векторов этого пространства определенно скалярное произведение.

Скалярным произведением 2-х векторов называется число, удовлетворяющее:

1. (x,y)=(y,x) коммутат.

2. (x+y,z)=(x,z)+(y,z) дистриб.

3. (ax,y)=a(x,y) ассоциат.

4. (x,x)>0 при x<>0

Два вектора называются коллинеарными если существует прямая, которой они параллельны.

Два вектора называются ортогональными если между ними прямой угол.

Базис называется ортонормированным, если любые два вектора этого базиса ортогональны и каждый вектор нормирован.

Вектор называется нормированным или единичным, если его модуль равен 1.


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!