Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Ряд Фурье для гармонических сигналов



Ряд вида называется рядом Фурье данного сигнала. Введем основную частоту ω1=2π/T последовательности, образующей периодический сигнал. Вычисляя коэффициенты разложения запишем ряд Фурье для периодического сигнала с коэф-тами

Итак, в общем случае периодический сигнал содержит не зависящую от времени постоянную составляющую и бесконечный набор гармонических колебаний, так называемых гармоник с частотами ωn = nω1 (n = 1, 2, 3, ...), кратными основной частоте последовательности. Каждую гармонику можно описать ее амплитудой An и начальной фазой φn. Для этого коэффициенты ряда Фурье следует записать в виде: an=Ancosφn, bn=Ansinφn так, что , tgφn=bn/an.

Другая, эквивалентная форма ряда Фурье:

Спектральная диаграмма периодического сигнала - графическое изображение коэффициентов ряда Фурье для конкретного сигнала. Различают амплитудные и фазовые спектральные диаграммы (рис. 3.2). Здесь по горизонтальной оси в некотором масштабе отложены частоты гармоник, а по вертикальной оси представлены их амплитуды и начальные фазы.

Рис.3. 2. Спектральные диаграммы некоторого периодического сигнала: а — амплитудная; б — фазовая

Особо интересуются амплитудной диаграммой, которая позволяет судить о процентном содержании тех или иных гармоник в спектре периодического сигнала. Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом Т и ортонормированы на отрезке времени [—Т/2, Т/2], так как

Комплексная форма ряда Фурье

Спектральное разложение периодического сигнала можно выполнить, используя систему базисных функций, состоящую из экспонент с мнимыми показателями:

Легко видеть, что функции этой системы периодичны с периодом Т и ортонормированы на отрезке времени [—Т/2, Т/2], так как

Ряд Фурье произвольного периодического сигнала в дан­ном случае принимает вид

(1)

 

Выражение (1) представляет собой ряд Фурье в комплекс­ной форме.

 

 

Спектральный анализ непер-х сигналов. Преобразование Фурье. Понятие спектральной плотности. Обратное преобразование Фурье. Условие существования спектральной плотности сигнала. Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса. Спектральная плотность дельта функции. Связь между длительностью импульса и шириной его спектра.



Дан s (t) - одиночный импульсный сигнал конечной длительности. Дополняем его такими же сигналами, периодически следую­щими через некоторый интервал времени T, получим периодическую последовательность Sпер (t), которая может быть представлена в виде комплексного ряда Фурье (1)

с коэффициентами (2)

Для того чтобы вернуться к одиночному импульсному сигналу, устремим к бесконечности период повторения Т. При этом, очевидно:

1. Частоты соседних гармоник nω1 и (n + l)ω1 окажутся сколь угодно близкими, так что в формулах (1) и (2) дискретную переменную nω1 можно заменить непрерывной переменной ω — текущей частотой.

2. Амплитудные коэффициенты Сn станут неограниченными малыми из-за наличия величины Т в знаменателе формулы (2).

Задача состоит в нахождении предельного вида формулы (1) при T→∞.

Воспользуемся тем, что коэффициенты ряда Фурье образуют комплексно-сопряженные пары. Каждой такой паре отвечает гармоническое колебание с комплексной амплитудой (3)

Рассмотрим малый интервал частот Δω, образующий окрестность некоторого выбранного значения частоты ω0. В пределах этого интервала будет содержаться N=Δω/ω1=ΔωT/(2π) отдельных пар спектральных составляющих, частоты которых отличаются мало.Поэтому составляющие можно складывать так, как будто все они имеют одну и ту же частоту и характеризуются одинаковыми комплексными амплитудами

В результате находим комплексную амплитуду эквивалентного гармонического сигнала, отображающего вклад всех спектральных составляющих, содержащихся внутри интервала Δω:

. (4)

Функция (5)

носит название спектральной плотности сигнала s (t). Формула (5) осуществляет преобразование Фурье данного сигнала.



Решим обратную задачу спектральной теории сигналов: найдем сигнал по его спектральной плотности, которую будем считать заданной.

.

Поскольку в пределе частотные интервалы между соседними гармониками неограниченно сокращаются, последнюю сумму следует заменить интегралом Эта важная формула называется обратным преобразованием Фурье для сигнала s(t).

Сформулируем окончательно фундаментальный результат: сигнал s(t) и его спектральная плотность S(ω) взаимно однозначно связаны прямым и обратным преобразованиями Фурье^

Спектральное представление сигналов открывает прямой путь к анализу прохождения сигналов через широкий класс радиотехнических цепей, устройств и систем. Сигналу s(t) можно сопоставить его спектральную плотность s(ω) в том случае, если этот сигнал абсолютно интегрируем, т. е. существует интеграл .

Подобное условие значительно сужает класс допустимых сигналов. Так, в указанном классическом смысле невозможно говорить о спектральной плотности гармонического сигнала и (t) =Umcosω0t , существующего на всей бесконечной оси времени.

Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса.

Спектральная плотность этого сигнала есть вещественная функция частоты. Удобно ввести безразмерную переменную и тогда Значение спектральной плотности на нулевой частоте равно площади импульса S(0)=Utu

Спектральная плотность дельта функции.

s(t) представ.короткий импульс имеющий площадь А и сосредоточенный в момент времени t=0.Математич. модель сигнала s(t)=Aδ(t).Спектральна плотность этого сигнала . На основании фильтрующего свойства дельта функции входящий сигнал численно равен значению классической функции в точке, где сосредоточена обобщенная функция. Поэтому S(w)=A=const.Дельта импульс имеет равномерный спектр на всех частотах


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!