Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Спектр произведения сигналов. Построение спектров модулированных сигналов



Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.

Пусть и - два сигнала, для которых известны соответствия , .Образуем произведение этих сигналов: и вычислим его спектральную плотность. По общему правилу: (2.18)

Применив обратное преобразование Фурье, выразим сигнал через его спектральную плотность и подставим результат в (2.18):

Изменив порядок интегрирования, будем иметь:

откуда: (2.19)

Интеграл, стоящий в правой части называют свёрткой функций V и U. Символически операция свёртки обозначается как :

Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свёртке спектральных плотностей сомножителей: (2.20)

Операция свёртки коммутативна, т.е. допускает изменения порядка следования преобразуемых функций:

Теорема о свёртке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения , причём и , то сигнал является свёрткой сигналов и , но уже не в частной , а во временной области: (2.21)

Энергия сигнала. Равенство Парсеваля. Спектральная плотность мощности сигнала.

Автокорреляционная функция (АКФ) сигнала. Связь АКФ со спектральными характеристиками сигнала. Примеры АКФ различных сигналов.

Задача корреляционного анализа возникла из радиолокации, когда нужно было сравнить одинаковые сигналы, смещённые во времени.

Для количественного определения степени отличия сигнала U(t) и его смещённой во времени копии принято вводить автокорреляционную функцию (АКФ) сигнала U(t), равную скалярному произведению сигнала и его сдвинутой копии.

(4.8)

Свойства АКФ

1) При автокорреляционная функция становится равной энергии сигнала: (4.9)

2) АКФ – функция чётна (4.10)

3) Важное свойство автокорреляционной функции состоит в следующем: при любом значении временного сдвига модуль АКФ не превосходит энергии сигнала:

4) Обычно, АКФ представляется симметричной линей с центральным максимумом, который всегда положителен. При этом в зависимости от вида сигнала U(t) автокорреляционная функция может иметь как монотонно убывающей, так и колеблющийся характер.

Например:


АКФ прямоугольного

видеоимпульса

АКФ пачки из трёх прямоугольных видеоимпульсов, сдвинутых друг относительно друга на время T.




 


АКФ бесконечной периодической последовательности видеоимпульсов:

 

Существует тесная связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала.

В соответствии с формулой (4.8) АКФ есть скалярное произведение . Здесь символом обозначена смещённая во времени копия сигнала .


 

Обратившись к теореме Планшереля – можно записать равенство:

Спектральная плотность смещённого во времени сигнала , откуда . Таким образом приходим к результату (4.12)

Квадрат модуля спектральной плотности представляет собой энергетический спектр сигнала. Итак энергетический спектр и автокорреляционная функция связаны парой преобразований Фурье.

Ясно что имеется и обратное соотношение (4.13)

Эти результаты принципиально важны по двум причинам: во-первых оказывается возможным оценивать корреляционные свойства сигналов, исходя из распределения их энергии по спектру. Во-вторых, формулы (4.12), (4.13) указывают путь экспериментального определения энергетического спектра. Часто удобнее вначале получить АКФ, а затем, используя преобразование Фурье, найти энергетический спектр сигнала. Такой приём получил распространение при исследовании свойств сигналов с помощью быстродействующих ЭВМ в реальном масштабе времени.

Часто вводят удобный числовой параметр – интервал корреляции , представляющий собой оценку ширины основного лепестка АКФ.

Например:

В данном случае:

Отсюда: (4.14)

Интервал корреляции тем меньше, чем выше верхняя граничная частота спектра сигнала. (Чем шире полоса частот сигнала тем уже основной лепесток АКФ.)

 


 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!