Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Смысл этой формулы: энергия сигнала есть сумма энергий всех компонент, из которых складывается обобщённый ряд Фурье



 

3 Спектральная плотность и ее свойства. Теоремы о спектрах.

Как известно спектральная плотность и сигнал связаны между собой парой преобразований Фурье:

 

(2.1)

(2.2)

 

Все свойства спектральной плотности объединены в основных теоремах о спектрах.

I.Свойство линейности.

Если имеется некоторая совокупность сигналов причём ,…, то взвешенная сумма сигналов преобразуется по Фурье следующим образом:

(2.3)

Здесь - произвольные числовые коэффициенты.

 

II. Теорема о сдвигах.

Предположим, что для сигнала известно соответствие . Рассмотрим такой же сигнал, но возникающий на секунд позднее. Принимая точку за новое начало отсчёта времени, обозначим этот смещённый сигнал как . Введём замену переменной: . Тогда ,

(2.4)

Модуль комплексного числа при любых равен 1, поэтому амплитуды элементарных гармонических составляющих, из которых складывается сигнал, не зависят от его положения на оси времени. Информация об этой характеристике сигнала заключена фазовом спектре.

III. Теорема масштабов.

Предположим, что исходный сигнал подвергнут изменению масштаба времени. Это означает, что роль времени играет новая независимая переменная ( - некоторое вещественное число.) Если > 1, то происходит “ сжатие” исходного сигнала; если же 0< <1, то сигнал “растягивается” во времени. Если , то :

(2.5)

При сжатии сигнала в раз на временной оси во столько же раз расширяется его спектр на оси частот. Модуль спектральной плотности при этом уменьшается в раз.

Очевидно, что при растягивании сигнала во времени ( т.е. при <1) имеет место сужение спектра и увеличение модуля спектральной плотности.

IV.Теорема о спектре производной и неопределённого интеграла.

Пусть сигнал и его спектральная плоскость заданы. Будем изучать новый сигнал и поставим цель найти его спектральную плотность .

По определению:

Преобразование Фурье – линейная операция, значит, равенство (2.3) справедливо и по отношению к спектральным плотностям. Получаем по теореме о сдвигах:

находим

(2.7)

Итак, дифференцирование сигнала по времени эквивалентно простой алгебраической операции умножения спектральной плотности на множитель . Поэтому говорят, что мнимое число является оператором дифференцирования, действующим в частотной области.

Вторая часть теоремы. Рассмотренная функция является неопределённым интегралом по отношению к функции .



(2.8)

Таким образом, множитель служит оператором интегрирования в частотной области.

V. Теорема о свёртке.

Как известно, при суммировании сигналов их спектры складываются. Однако спектр произведения сигналов не равен произведению спектров, а выражается некоторым специальным интегральным соотношением между спектрами сомножителей.

Таким образом, спектральная плотность произведения двух сигналов с точностью до постоянного числового множителя равна свёртке спектральных плотностей сомножителей:

(2.11)

Операция свёртки коммутативна, т.е. допускает изменения порядка следования преобразуемых функций:

Теорема о свёртке может быть обращена: если спектральная плотность некоторого сигнала представляется в виде произведения , причём

и , то сигнал является свёрткой сигналов и , но уже не в частотной, а во временной области:

(2.12)

VI.Теорема Планшереля

Пусть два сигнала и , в общем случае комплексные, определены своими обратными преобразованиями Фурье:

 

(2.13)

Скалярное произведение двух сигналов с точностью до коэффициента пропорционально скалярному произведению их спектральных плотностей.

Функция и ее свойства.

Необходимо не только располагать информацией о мгновенном значении сигнала, но и знать его поведение на всей временной оси как «в прошлом», так и «в будущем».

Принцип динамического представления состоит в следующем. Реальный сигнал приближенно представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени.

Широкое применение нашли два способа динамического представления. Согласно первому из них в качестве элементарных сигналов используются ступенчатые функции, возникающие через равные промежутки времени ∆



Дельта- функция как раз и является математической моделью короткого внешнего воздействия с единичным импульсом (площадью).

Рассмотрим импульсный сигнал прямоугольной формы, заданный следующим образом:

где: - функция включения:

При любом выборе параметра ξ площадь этого

υ

0

где: - функция включения: νξ

При любом выборе параметра ξ площадь этого

импульса равна единице: t

t

Например, если υ – напряжение, то В·с.

Пусть теперь величина ξ стремится к нулю.

Импульс, сокращаясь по длительности, сохраняет

свою площадь, поэтому его высота должна δ (t-t0 )

неограниченно возрастать. Предел последовательности

таких функций при носит название дельта- функции

или функции Дирака : t

t0

Дельта-функция интересный математический Графическое изобра-

объект. Будучи равной нулю всюду, за исключением жение δ-функции

точки (принято говорить, что она сосредото-

чена в этой точке), δ- функция тем не менее обладает единичным интегралом:

Спектральная плотность постоянного по времени сигнала

 

Спектральная плотность комплексного экспоненциального сигнала

=2

Спектральная плотность гармонических колебаний:

,

,

Спектральная плотность произвольного периодического сигнала

 

Спектральная плотность функции включения

Спектральная плотность радиоимпульса

Применяя теорему о свертке и фильтрующее свойство δ-функции, получим:

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!