Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 6. Теорія нечітких підмножин



Будь-які соціальні процеси за своєю природою є нечіткими і, зокрема процеси соціально-економічні. У цій сфері певні механізми діють так, що майже все залежить майже від усього, де найдрібніший елемент відіграє свою роль, де все ґрунтується на інформації та залежить від способу обробки повідомлень. Усі формальні моделі сьогодення ґрунтуються на певних обмеженнях, зокрема, макроекономічні моделі — на допущеннях про важливість тих чи інших параметрів. Але в житті значення різних факторів іноді може змінюватися з часом досить стрімко.

Однією зі спроб розібратись у подібних проблемах (з якими стикаються різні фахівці: економісти, лінгвісти, фахівці з теорії інформації, біологи, психологи, соціологи тощо) було створення теорії нечітких підмножин. Ця теорія дає змогу до певної міри формалізувати процеси, які за своєю природою є нечіткими, невизначеними, а таких процесів більшість у реаль­ному світі. Завдяки цьому вона сприятиме розширенню застосування обчислювальної техніки та вирішенню нових, складніших завдань.

Розкриємо деякі основні поняття теорії нечітких підмножин. Термін «нечітка підмножина» методологічно є точнішим, ніж термін «нечітка множина», бо область визначення нечіткої під-
множини — завжди звичайна, або чітка підмножина, але в спеціальній літературі часто зустрічається і другий термін).

Для того, щоб виразити належність елемента х деякій множині А, введемо поняття характеристичної функції mА(х), значення якої вказують, належить елемент х множині А чи ні:

Для множин А È B та A Ç B характеристичні функції задовольняють властивості mАÈB(x) = mA(x) + mB(x) та mAÇB(x) = mA(x) + mB(x). (Операції додавання та множення є бінарними.)

Нехай Е — множина та х — елемент Е. Нечіткою підмножиною А множини Е називається множина впорядкованих пар:

{(x|m (x))}, "х Î Е,

де m (x) — рівень належності х А. Отже, якщо m (x) набуває своїх значень на множині М — значень функції належності або, інакше, на множині належностей, то можна казати, що х набуває значень у М через функцію m (x). Отже:

.

Ця функція також називається функцією належності.

Оскільки далі розглядатимуться булеві бінарні функції як частковий випадок таких функцій належності, то замінимо наведене вище означення загальнішим.

Нехай Е — множина та х — елемент Е. Нечіткою підмножиною [1] множини Е називається множина впорядкованих пар

{(x|m (x))}, "хÎЕ,



де m (x) — характеристична функція належності, що набуває значень на досить впорядкованій множині М та показує рівень належності елемента х підмножині . Множина М називається множиною належності.

Якщо М = {0, 1}, то «нечітка підмножина» А буде розглядатись як «чітка» або «звичайна» множина. Наведемо приклади нечітких підмножин:

1) підмножина чисел, приблизно рівних дійсному числу n, де n Î R (R — множина дійсних чисел);

2) підмножина дійсних чисел, дуже близьких до 0;

3) підмножина дуже високих людей;

4) підмножина найнадійніших дебіторів.

Розглянемо основні операції над нечіткими підмножинами.

Входження. Нехай Е — множина, М — множина належностей і та — дві нечіткі підмножини Е; будемо казати, що міститься в , якщо:

(1)

та позначати:

Ì

або, якщо треба уникнути непорозумінь:

.

Строге включення відповідає випадку, коли хоча б одна з нерівностей (1) строга.

Рівність. Нехай Е — множина, М — множина належностей і та — дві нечіткі підмножини Е. Кажуть, що А та В рівні, якщо:

(2)

та позначають:

= .

Якщо знайдеться хоча б один такий елемент х із Е, що рівність (2) не виконується, то кажуть, що та не рівні і позначають:

¹

Доповнення. Нехай Е — множина, М = [0, 1] — множина належностей і та — дві нечіткі підмножини Е. Кажуть, що та доповнюють одна одну, якщо:

. (3)

Це позначається так:

= або = .

Очевидно, що завжди =

Зауважимо, що доповнення визначене для М = [0, 1], але його можна поширити і на інші впорядковані множини М, використовуючи інші визначення.

Перетин. Нехай Е — множина, М = [0, 1] — множина належностей і А та В — дві нечіткі підмножини Е. Перетин:

Ç

визначають як найбільшу нечітку підмножину, що міститься одночасно в А та В:

(4)



Об’єднання. Нехай Е — множина, М = [0, 1] — множина належностей і та — дві нечіткі підмножини Е. Визначимо об’єднання È як найменшу нечітку підмножину, що містить як , так і :

(5)

Диз’юнктивна сума. Диз’юнктивна сума двох нечітких підмножин визначається через операції об’єднань та перетинів так:

.

Різниця. Різниця визначається співвідношенням:

.

Розглянемо властивості нечітких підмножин. Спочатку зауважимо, що всі властивості звичайних множин, крім двох
(А Ç = Æ та А È = Е), виконуються і для нечітких множин. Тому тільки нагадаємо ці властивості. Нехай задані — нечіткі підмножини універсальної множини Е, тоді для них справедливі такі рівності:

комутативність:

Ç = Ç ,

È = È ,

асоціативність:

ідемпотентність:

дистрибутивність:

,

.

інволюція:

закони де Моргана:

Визначимо точно поняття порожньої Æ та універсальної Е множин. Порожня Æ — це звичайна множина, така, що "хіÎЕ: mÆ(хі) = 0, а універсальна Е — це також звичайна множина, але така, що "хіÎЕ: mЕ(хі) = 1.

Ç Æ = Æ,

È Æ = ,

Ç Е = ,

È Е = Е.

Введемо ще дві бінарні операції над нечіткими підмножинами: алгебраїчні добуток та суму.

Алгебраїчний добуток та позначається:

×

та визначається так:

Алгебраїчна сума цих двох підмножин позначається:

та визначається так:

"хÎЕ: m (х) = m (х) + m (х) – m (х)×m (х).

Щодо введених операцій на множині всіх нечітких підмножин справедливі тільки перераховані нижче властивості. Їх значно менше, ніж відповідних властивостей для операцій об’єднання та перетину стосовно сукупності всіх нечітких підмножин, а отже менше, ніж щодо сукупності всіх звичайних підмножин. Вони легко перевіряються. Це такі властивості:

комутативність:

× = ×

асоціативність:

( × ) × = × ( × ),

( ) = ( ),

інволюція:

( ) = ,

закони де Моргана:

= ,

= × ,

×Æ = Æ,

Æ = ,

× Е = ,

Е = Е.

Для операцій алгебраїчного добутку та алгебраїчної суми влас­тивості ідемпотентності та дистрибутивності не виконуються. Властивості доповнень, які не виконуються для перетину та об’єднання нечітких підмножин, теж не дійсні.

Важливу роль у прикладній математиці відіграють поняття графа, відповідності та відношення. Їх можна узагальнити стосовно нечітких підмножин. При цьому випливають деякі нові цікаві властивості. Фактично виникає нова теорія, яка ґрунтується на нечітких відношеннях.

Розглянемо дві множини Е1 та Е2. Нехай х позначає елемент Е1, y — елемент Е2. Множину впорядкованих пар визначає прямий добуток Е1 ´ Е2.

Нечітка підмножина така, що

де М — множина належностей елементів множини Е1 ´ Е2 і називається нечітким графом.

Наприклад, розглянемо Е1 = {x1, x2, x3}, E2 = {y1, y2}. Для спрощення позначимо i = 1, 2, 3; j = 1, 2. Цей елемент множини М будемо називати значенням упорядкованої пари (xi, yj).

Розглянемо, наприклад:

m(x1,y1) = 0,25; m(x1,y2) = 0,8; m(x2,y1) = 1;
m(x2,y2) = 0; m(x3,y1) = 0,5; m(x3,y2) = 0,4.

Ця функція визначає нечітку підмножину:

G = {((x1,y1)|0,25), ((x1,y2)|0,8), ((x2,y1)|1),

((x2,y2)|0), ((x3,y1)|0,5), ((x3,y2)|0,4)},

яка є нечітким графом. Далі наведено кілька способів зображення нечіткого графа G.

Поняття прямого добутку двох множин можна узагальнити для добутку п множин Е1 ´ Е2 ´ ... ´ Еn.

Нечітким графом називається нечітка підмножина, така, що:

"(x(1), x(2),…, x(n)) Î E1 ´ E2 ´ …´ En: m (x(1), x(2),…, x(n)) Î M,

де x(i)ÎEi, i = 1, 2, …, n, а M є множиною належностей прямого добутку E1´E2´…´En.

У розділі, присвяченому звичайним графам, зазначалось про взаємозв’язок відношень на множині та графів. Те саме можна сказати й про нечіткі графи. Нехай Р — прямий добуток n множин та М — множина його належностей; нечітке n-арне відношення визначається як нечітка підмножина Р, яка набуває своїх значень в М. Нечітке відношення в Е1 ´ Е2 запишеться як

x Î E1, y Î E2 :

Першу проекцію визначає функція належності:

Аналогічно другу проекцію визначає функція належності:

Друга проекція першої проекції (або навпаки) називається глобальною проекцією нечіткого відношення та позначається . Отже,

.

Якщо то кажуть, що відношення нормальне. Якщо ж то відношення субнормальне.

Носієм нечіткого відношення називається звичайна множина впорядкованих пар (x,y), де функція належності додатна:

.

Нехай та — два нечіткі відношення, такі, що:

тоді кажуть, що містить або міститься в . Зауважимо, що Ì , якщо містить .

Об’єднання двох відношень та позначається È або + та визначається виразом:

.

Якщо — відношення, то:

.

Результат об’єднання позначимо:

.

Перетин двох відношень та позначається Ç та визначається виразом:

.

Якщо — відношення, то

.

Результат перетину позначимо:

.

Алгебраїчне доповнення двох відношень та визначається виразом:

Знак × у правій частині цього виразу означає числове множення (звичайне множення).

Алгебраїчна сума двох відношень та визначається виразом:

Для цих операцій виконуються властивості дистрибутивності:

Доповненням відношення позначається є таке відношення, що:

Розглянемо ще одну важливу операцію над відношеннями — композицію відношень.

Нехай та (max-min)-композиція відношень та позначається та визначається виразом:

де x Î X, y Î Y та z Î Z.

Операція (max-min)-композиція асоціативна:

З іншого боку, якщо відношення визначене на Е ´ Е, тоді можна записати:

і в загальному випадку:

.

Зауважимо, що (max-min)-композиція дистрибутивна щодо об’єднання, але не дистрибутивна стосовно перетину:

Легко довести, що виконується така важлива властивість:

(Мax-*)-композиція. В операції (max-min)-композиція min можна замінити будь-якою іншою функцією, для якої виконуються ті ж обмеження, що й для min: вона асоціативна та монотонно не спадає за кожним аргументом. Тоді можна записати:

.

Серед таких композицій найпоширенішою є max-композиція.

Розглянемо відображення Г множини Е1 у множину Е2, позначене:

де х Î Е1 та y Î Е2, y Î Г{x}.

Нехай mА(х) — функція належності нечіткої підмножини Ì Е1, тоді відображення Г індукує в Е2 нечітку підмножину Ì Е2 з функцією належності:

Нечітка підмножина В(х) Ì Е2 називається умовною на Е1, якщо її функція належності залежить від хÎЕ1 як від параметра.

Для запису умовної функції належності використовують позначення:

де х Î Е1 та y Î Е2.

Ця функція визначає відображення Е1 у множину нечітких під-
множин, визначених на Е2. Отже, нечітка підмножина Ì Е1 буде індукувати нечітку підмножину Ì Е2 з функцією належності:

Дамо ще одне означення, яке встановлює інше уявлення умовних нечітких підмножин.

Якщо — функція належності нечіткого відношення, — функція належності та — функція належності тоді:

Отже, через індукує

Якщо індукує через індукує через ... та індукує через тоді індукує через

Розглянемо випадок, коли Е1 = Е2 = Е та М = [0, 1], та займемось дослідженням деяких властивостей бінарних відношень в
Е ´ Е. При утворенні функції належності, що визначає нечітке відношення, ми не будемо розрізняти позначень та оскільки нечітке відношення можна розглядати як нечіткий граф.

Нечітке бінарне відношення називається симетричним, якщо виконується умова:

Рефлексивність визначається умовою:

Транзитивність. Нехай x, y, z Î E, тоді:

Нехай — нечітке відношення в E ´ E. Визначимо
функцією належності:

де x, y, z Î E. Властивість транзитивності можна зобразити так:

Припустимо, що а k = 2, 3, … Тоді очевид­но, що:

k = 1, 2, 3, …

Транзитивним замиканням нечіткого бінарного відношення будемо називати відношення:

Для транзитивного замикання справедливі такі теореми.

Теорема 1. Транзитивне замикання будь-якого бінарного відношення є транзитивним бінарним відношенням.

Теорема 2.Нехай — деяке нечітке бінарне відношення. Якщо для деяких k маємо тоді:

Зауважимо, що обернене твердження неправильне.

Теорема 3. Якщо Ì Е ´ Е, де Е — скінченна універсальна множина та |E| = n, тоді і існує k £ n, таке, як визначено в попередній теоремі.

Розглянемо у скінченному нечіткому графі G Ì Е ´ Е впорядковану r-ку (тобто впорядкований набір з r елементів) з повтореннями чи без повторень:

С = (xi1, xi2, …, xir),

де xik Î E, k = 1, 2, …, r, за умови, що:

Таку впорядковану r-ку будемо називати шляхом з xi1 в xir у графі G (або у відношенні ).

З кожним шляхом будемо пов’язувати величину, яка визначається виразом:

Тепер розглянемо всі можливі шляхи, які існують між xi та xj — двома довільними елементами Е. Нехай С(xi, xj) — звичайна множина всіх таких шляхів.

Визначимо найсильніший шлях С*(xi, xj) з xi в xj, для якого

l*(xi, xj) = l(xi1 = xi, xi2, …, xir = xj).

Крім того, довжиною шляху будемо називати число, яке на одиницю менше, ніж кількість елементів, що визначають шлях.

Наведемо кілька теорем, що стосуються поняття шляху.

Теорема 4. Нехай Ì Е ´ Е, тоді маємо:

"(x, y) Î E ´ E: mRk(x, y) = lk*(x, y),

де lk*(x, y) — найсильніший шлях довжиною k, який існує між x та y.

Теорема 5. Нехай, Ì Е ´ Е та — транзитивне замикання тоді маємо:

Величину, пов’язану l(xi1, xi2, …, xir) в рамках цього ж означення, можна поширити на інші, крім min, операції за такого обмеження, що ці операції мають властивості асоціативності та монотонності. Інші, окрім min, оператори дають змогу досліджувати транзитивність та шляхи в деяких окремих випадках.

Нечітким відношенням передпорядку називається бінарне нечітке відношення, яке має властивості транзитивності та рефлексивності.

Теорема 6. Якщо — передпорядок, тоді k = 1, 2, 3, …

Означення інших видів відношень наведено в термінологічному словнику.

Ми розглянули, як теорія нечітких множин узагальнює теорію множин (звичайних множин) та теорію графів. Далі розглянемо нечітку логіку — логіку, пов’язану з теорією нечітких підмножин так само, як булева логіка пов’язана з булевою теорією множин.

Нехай х — елемент універсальної множини Е та , , ... — нечіткі підмножини цієї універсальної множини. Нехай

= , = , …; , , … Î M = [0, 1].

Визначимо такі операції над величинами , , … :

Зазначимо, що за винятком двох усі властивості бінарної булевої алгебри виконуються і для нечіткої логіки. Порушуються такі властивості:

якщо ¹ 0 та ¹ 1,

якщо ¹ 0 та ¹ 1.

Через ці винятки структура, що визначається на множині змінних операціями Ù, Ú,` , не може розглядатись як алгебра в тому сенсі, в якому цей термін вживається в сучасній математиці.

Змінні a, b, … Î [0, 1] будемо називати нечіткими змінними. Нехай є функцією аргументів . Щоб цю функцію можна було назвати функцією нечітких змінних, необхідно і достатньо, щоб f залежала лише від нечітких змінних та щоб
0 £ f £ 1.

Справедливе таке твердження. Якщо містить лише нечіткі змінні та оператори Ù, Ú,` , то f є функцією нечітких змінних.

На відміну від булевих функцій для системного аналізу функцій нечітких аргументів не можна скористатись методом складання таблиць істинності. Вони не піддаються спрощенню так легко, як булеві функції, оскільки не всі властивості булевих функцій виконуються. З тієї ж причини функції нечітких аргументів не можна подати в диз’юнктивній або в кон’юнктивній нормальній формі.

Іноді певні спрощення можна зробити, використовуючи закони де Моргана та властивість поглинання, які виконуються для функцій нечітких аргументів.

З метою аналізу функцій нечітких змінних використовують аналог таблиць істинності для булевих функцій.

Щоб дослідити функцію однієї нечіткої змінної , розглянемо її значення в таких двох випадках: та

Для вивчення функції двох змінних та розглядають її значення у восьми випадках:

Для дослідження функції n змінних розглядають n!2n випадків.

Кажуть, що дві функції та нечітких змінних рівносильні (або тотожні), якщо вони мають таку саму таблицю значень, яка містить усі можливі випадки.

Якщо змінні Î [0, 1] піддаються відмінним від Ù, Ú,` опе­раціям, то утворені у такий спосіб функції називають змішаними функціями нечітких змінних.

За допомогою таблиці перерахування можна для n змінних утворити:

різних функцій.

Тільки незначну частину всіх цих функцій складають функції нечітких змінних, які можна подати за допомогою операцій Ù, Ú щодо змінних . Надалі, якщо окремо не буде зазначено, аналітичною функцією нечітких змінних будемо називати будь-яку функцію змінних, яку можна виразити, використовуючи тільки операції Ù, Ú. Змінні можуть входити в ці функції або безпосередньо , або як доповнення, тобто .

За допомогою двоїстих законів дистрибутивності будь-яку функцію можна подати в поліноміальній формі щодо операцій Ù або Ú.

Нехай функція виражена в поліноміальній формі щодо Ù. Про одночлен такої поліноміальної форми кажуть, що він максимальний (використовують також термін «власний»), якщо він не поглинається ніяким іншим одночленом цієї поліноміальної форми. Аналогічне означення дається максимальному одночлену в поліноміальній формі щодо Ú.

Будь-яка поліноміальна форма відносно Ú, що складається лише з максимальних одночленів по Ù, називається зведеною поліноміальною формою відносно Ú. Заміна в попередній фразі Ú на Ù та навпаки веде до означення зведеної поліноміальної форми відносно Ù.

Аналітичній функції можуть відповідати кілька зведених поліноміальних форм. Для будь-якої аналітичної функції існує хоча б одна поліноміальна форма відносно Ú та хоча б одна поліноміальна форма відносно Ù.

Достатня умова тотожності двох функцій нечітких змінних полягає в тому, щоб їх можна було звести до одної й тої ж зведеної поліноміальної форми. Необхідна і достатня умова полягає в тому, щоб у цих функцій були ідентичні таблиці значень.

Аналогічно тому, як це робиться в теорії контактних ланцюгів, у теорії надійності тощо, для аналізу нечітких змінних зручним та ефективним є використання мережевого зображення послідовно та паралельно сполучених елементів.

З кожною нечіткою змінною Î [0, 1] пов’яжемо елемент позначений тим самим символом. З функцією пов’яжемо мережу з послідовним сполученням елементів, а з функцією — мережу з паралельним сполученням. У таких мережах необхідно зазначати вхід Е та вихід S.

Справедливим є твердження: кожній аналітичній функції нечітких змінних можна поставити у відповідність мережу нечітких елементів, з послідовним сполученням яких пов’язана операція Ù, а з паралельним — операція Ú.

Сукупність елементів, послідовно сполучених сполучником Ù від E до S, називається маршрутом. Маршрут називається простим, якщо він не містить одного й того ж елемента х або елемента більше одного разу (простий маршрут отримується з іншого маршруту при застосуванні законів асоціативності, кон’юнкції та поглинання). Нехай І — звичайна множина простих маршрутів мережі, тоді будь-який простий маршрут з І, що не містить жодного іншого маршруту, називається максимально простим маршрутом. Якщо розмістити всі максимально прості маршрути паралельно, то отримаємо мережу, еквівалентну наведеному поліному відносно Ú. Окремим підрозділом мереж нечітких елементів є планарні мережі.

Інколи можна зустріти твердження, що зі всіма функціями теорії нечітких множин чудово справляється теорія ймовірностей і, відповідно, немає потреби в новій теорії. Ці теорії справді мають кілька спільних аспектів. Але існують причини, щоб ці дві теорії розрізняти. Далі будемо вважати, що читач знайомий з основами теорії ймовірностей.

Нечітка підмножина визначається приписуванням кожному елементу значення певної функції належності. В теорії ймовірностей
числа р Î [0, 1] приписуються звичайним підмножинам, які складають імовірнісну сукупність. Очевидно, що ці два підходи зовсім різні.

Можна уявити собі, що ймовірності поставлені у відповідність нечітким підмножинам деякої універсальної множини, елементи якої, в свою чергу, є нечіткими підмножинами іншої універсальної множини. Можна уявити собі й теорію ймовірностей нечітких подій. Але все-таки потрібно проводити межу між двома теоріями: теорією нечітких підмножин та теорією ймовірностй звичайних підмножин.

Термінологічний словник

Алгебраїчна сума двох підмножин позначається і визначається так:

Алгебраїчна сума двох відношень та визначається виразом:

Алгебраїчне доповнення двох відношень та визначається виразом:

Алгебраїчний добуток та позначається і визначається так:

Аналітична функція нечітких змінних — це будь-яка функція змінних, яку можна виразити, використовуючи тільки операції Ù, Ú. Змінні можуть входити в ці функції або безпосередньо або як доповнення, тобто .

Антирефлексивний нечіткий передпорядок — нечіткий напівпередпорядок, у якого

Антисиметричне нечітке бінарне відношення — відношення, для якого виконується умова:

Величина шляху — це величина, що визначається виразом:

Відношення подібності (нечітка еквівалентність) — нечітке бінарне відношення, що має властивості транзитивності, рефлексивності та симетричності.

Входження. Нехай Е — множина, М — множина належностей і та — дві нечіткі підмножини Е; кажуть, що міститься в якщо Позначається: Ì

Глобальна проекція нечіткого відношення — друга проекція першої проекції (або навпаки). Позначається:

Диз’юнктивна сума. Диз’юнктивна сума двох нечітких підмножин визначається через операції об’єднань та перетинів так:

Довжина шляху — це число, на одиницю менше від кількості елементів, що визначають шлях.

Доповнення. Нехай Е — множина, М = [0, 1] — множина належностей і та — дві нечіткі підмножини Е. та доповнюють одна одну, якщо Позначається: або

Доповнення відношення (позначається ) — це таке відношення, що:

Досконале антисиметричне відношення — таке відношення, що: при

Друга проекція визначається функцією належності:

.

Змішані функції нечітких змінних — функції, утворені в результаті операцій над нечіткими змінними , відмінних від Ù, Ú,`.

(Мax-*)-композиція. В операції (max-min)-композиція min можна замінити будь-якою іншою функцією, для якої виконуються ті самі обмеження, що й для min: вона асоціативна та монотонно не спадає за кожним аргументом.

(Мax-min)-композиціявідношень та позначається та визначається виразом:

,

де x Î X, y Î Y та z Î Z.

Максимально простий маршрут — простий маршрут, який не містить іншого маршруту.

Маршрут — сукупність елементів, послідовно сполучених сполучником Ù від E до S.

Мережа нечітких елементів. З кожною нечіткою змінною пов’яжемо елемент позначений тим самим символом. З функцією пов’яжемо елементи з послідовним сполученням, а з функцією — елементи з паралельним сполученням. У таких мережах необхідно зазначати вхід Е та вихід S.

Множина належностей — досить впорядкована множина, на якій набуває значень функція належності.

Найсильніший шлях С*(xi, xj) з xi в xj визначається так:

.

Нечітка підмножина звичайної множини Е — це множина впорядкованих пар:

де функція належності, що набуває значень на досить впорядкованій множині М та показує рівень належності.

Нечітке відношення передпорядку — бінарне нечітке відношення, яке має властивості транзитивності та рефлексивності.

Нечітке n-арне відношеннянечітка підмножина прямого добутку n множин, яка набуває своїх значень у відповідній множині належностей. Нечітке відношення в Е1 ´ Е2 записується як:

Нечіткий граф — це нечітка підмножина, така, що:

де x(i) Î Ei, i = 1, 2, …, n, а M є множиною належностей прямого добутку E1 ´ E2 ´ … ´ En.

Нечіткий напівпередпорядок (не рефлексивний нечіткий передп


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!