Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Основные свойства вероятностей. Правило сложения вероятностей



Основные понятия теории вероятностей. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности.

Основные понятия ТВ.

Под событием ТВ понимается всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры: А-появление герба при бросании монеты; В-появление 3-х гербов при 3-х кратном бросании монеты; С-попадание в цель при выстреле.

Будем рассматривать вначале классическую вероятностную модель, которая используется для описания опытов с конечным числом взаимно-исключающих возможных исходов. Пусть результаты опыта описываются с взаимно-исключающими исходами . Эти исходы называют также элементарными событиями.

Мн-во –это мн-во всех элементарных исходов называют множеством элементарных событий. Любое случайное событие А связанное с данным опытом может быть связано посредством перечисления всех элементарных событий, при которых оно происходит A={ }. Исходы наз-ют благоприятствующими событию А. Событие состоящее из всех возможных исходов наз-ют достоверным. |A|-число элементарных событий входящих в А. Вероятность- числовая характеристика степени возможности появления какого-либо определённого события в тех или иных определимых могущих повторятся неограниченное число раз (обозначение P(A)).

 

 

Классическое определение вероятности:Классические вероятностные модели P(A)= (*). Более общий подход в определении P(A) следующий: с каждым из элементарных исходов связывающие неотрицательное число причём . Пусть A={ } тогда полагают, что P(A)= . Легко видеть, что (*) получается из послед-ей в случае, если .

,

число перестановок из m элементов

число упорядоченных размещений из n элементов по k

Статистическое определение вероятности

В основе лежит эксперимент. Проводят серию из n опытов, в каждом из которых может появиться событие A.Пусть А появилось в m случаях, тогда величина наз-ся относительной частотойсобытия А. Её часто наз-ют статистической вероятностью события А. Обозначение: .

Геометрическое определение вероятности

Геометрической вероятностью явл-ся вероятностной моделью с бесконечным числом исходов. Возьмём в качестве элементарных событий мн-во точек плоскости. Считаем, что в этой плоскости задана система ккординат, Ω событие A . Вероятностью события А в модели геом-х вероятностей наз-ся число P(A)=


2. Алгебраические операции над событиями. Отношение м/д событиями. Аксиоматическое определение вероятности события.



Отношение между событиями

А\В-это событие состоящее в том, что А происходит, а В-нет.

Свойства алгебраических операций над событиями:

1. А+В=В+А

2. А*В=В*А

3. (А+В)+С=А+(В+С)

4. (А*В)*С=А*(В*С)

5. (А+В)*С=А*С+В*С

А и В события, А В-событие А влечёт за собой событие В.

А=В- событие А тождественно событию В и означает А В и В А.

Система F подмножеств множества такая, что:

1. Ω

2. если А, В , то А+В и А*В

3. если А , то

называется алгеброй.Система F замкнута относительно операций +,*, -отрицание. Если система F замкнута относительно алгебраических операций над счётным числом событий, то она наз-ся σ-алгеброй.( )

Счётное мн-во - бесконечное мн-во м/д элементами, которого и элементами мн-ва натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие.

Аксиоматическое определение вероятностей события

Пусть F-σ-алгебра подмножеств множества Ω. Вероятностью P(A) наз-ся числовая функция определённая для всех А и удовлетворяющая 3-м условиям:

1. P(A)

2. P(Ω)=1

3. если причём для , то P( )=

Т.обр. вероятность – неотрицательная, нормированная и σ-аддитивная функция мн-в принадлежащих σ-алгебре F.

Свойства:

1. P( )=0

2. P(A)=1-P( )

3. A B => P(A) P(B)

4. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)

5. P(A+B) P(A)+P(B)

6. P(A)

Тройку {Ω ,F,P}, удовлетворяющую аксиомам 1-3 наз-ют вероятностным пространством случайного эксперимента.


Основные свойства вероятностей. Правило сложения вероятностей.

Свойства вероятностей:

1. P(A) P(A)

2. P(Ω)=1

Событие А+В наз-ют суммой событий А и В, если считается, что А+В происходит ó когда происходит одно из событий.



Произведение А*В-событие состоящее в том, что происходит и событие А и событие В.

Событие А и В наз-ся несовместными, если они не могут произойти одновременно. Если А и В несовместные события, то имеет место следующее равенство P(A+B)=P(A)+P(B).

Общий случай: для произвольных А и В имеет место формула P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B). Эта формула соответствует предыдущей: если А и В несовместные события, А*В не содержит ни одного элементарного исхода P(A*B)=0. Пусть А произвольное событие, тогда ч/з будем обозначать событие противоположно событию А, а состоит в том, что А не произошло.

P(A)=1-P( )

А+ =

P(А+ )=P( )=1

Если среди событий любые 2 несовместны, то P(

Доказывается методом индукции на основании равенства для 2-х несовместных событий P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A*B)

+B=A* +B* +A*B

P( +B)=P(A* +B* +A*B)=P(A* )+P(B* )+P(A*B)={P(A* )=P(A)-P(A*B); P(B* )=P(B)-P(A*B)}=P(A)+P(B)-P(A*B)

Пусть А и В, С несовместные события

P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(A*B)-P(B*C)-P(C*A)+P(A*B*C)

P( )=

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!