Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)


 

 

 

 



Основные кинематические параметры



 

Траектория. Линию, которую очерчивает материальная точка при движении в пространстве, называют траекторией.

Траектория может быть прямой и кривой, плоской и простран­ственной линией.

Уравнение траектории при плоском движении: у = f(х).

Пройденный путь. Путь измеряется вдоль траектории в направлении движения. Обозначение — S, единицы измерения — метры.

Уравнение движения точки. Уравнение, определяющее положение движущейся точки в за­висимости от времени, называется уравнением движения.

 

Положение точки в каждый момент времени можно опреде­лить по расстоянию, пройденному вдоль траектории от некоторой неподвижной точки, рассматрива­емой как начало отсчета (рис. 9.1). Такой способ задания движения называется естественным.

Таким образом, уравнение движения можно представить в виде S = f(t). Положение точки можно также определить, если известны ее координаты в зависимости от времени (рис. 9.2). Тогда в случае движения на плоскости должны быть заданы два уравнения:

В случае пространственного движе­ния добавляется и третья координата

z = fз(t)

Такой способ задания движения называют координатным.

Скорость движения. Векторная величина, характеризующая в данный момент быст­роту и направление движения по траектории, называется скоростью.

Скорость — вектор, в любой момент времени направленный по касатель­ной к траектории в сторону направления движения (рис. 9.3).

Если точка за равные проме­жутки времени проходит равные расстояния, то движение называют равномерным.

Средняя скорость на пути AS определяется как

где ΔS — пройденный путь за время Δt; Δt — промежуток времени.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то движение называют неравномерным.

В этом случае скорость — величина переменная и зависит от времени v = f(t).

При рассмотрении малых промежутков времени (Δt → 0) сред­няя скорость становится равной истинной скорости движения в дан­ный момент. Поэтому скорость в данный момент определяют как

производную пути по времени:

За единицу скорости принимают 1 м/с. Иногда скорость измеря­ют в км/ч, 1км/ч = 0,278м/с.

Ускорение точки. Векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению, называется ускорением точки.

Скорость точки при перемещении из точки М1 в точку М2 ме­няется по величине и направлению. Среднее значение ускорения за этот промежуток времени

При рассмотрении бесконечно малого промежутка времени среднее ускорение превратится в ускорение в данный мо­мент:

Обычно для удобства рассматривают две взаимно перпен­дикулярные составляющие ускорения: нормальное и касательное (рис. 9.5).

Нормальное ускорение ап характеризует изменение скорости по направлению и определяется как

где г — радиус кривизны траектории в данный момент времени.

Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно ско­рости к центру дуги.

Касательное ускорение at характеризует изменение скорости по величине и всегда направлено по касательной к траектории; при ускорении его направление совпадает с направлением скорости, а при замедлении оно направлено противоположно направлению век­тора скорости.

Формула для определения касательного ускорения имеет вид:

 

 

Значение полного ускорения определяется как аt = dV/dt = v1 = S’’ (рис. 9.6).

Примеры решения задач

Пример 1. Дано уравнение движения точки: S = 0,36t2 + 0,18t. Определить скорость точки в конце третьей секунды движения и среднюю скорость за первые 3 секунды.

Решение

1. Уравнение скорости

S' = 2 • 0,36t + 0,18; v = 0,72t + 0,18.

2. Скорость в конце третьей секунды (t = Зс) v3 = 0,72 * 3 + 0,18 = 2,34м/с.

3.Средняя скорость Vср = dS/dt = (0,36 • 32+ 0,18 * 3)/3 = 1,26 м/с.

Пример 2. Точка движется по кривой радиуса г = 10 м соглас­но уравнению S = 2,5t2 + 1,2t + 2,5 (рис. 9.6).

Определить полное ускорение точки в конце второй секунды движения и указать направление касательной и нормальной состав­ляющих ускорения в точке М.

Решение

1.Касательное ускорение определяется как at = dV/dt

Уравнение скорости: v = dS/dt

Скорость будет равна v = 2 * 2,5t + 1,2; v = 5t + 1,2 (м/с).

Касательное ускорение: аt = v' = 5 м/с2.

Вывод: касательное ускорение не зависит от времени, оно посто­янно.

2. Нормальное ускорение: ап = v2/r

Скорость на второй секунде будет равна v2 = 5*2 + 1,2 = 11,2 м/с.

Величина нормального ускорения: ап2 = (11,2)2/10 = 12,54 м/с2 .

3. Полное ускорение:

Полное ускорение в конце второй секунды:

 

 

4. Нормальное ускорение направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.

Касательное ускорение направлено по касательной к кривой и совпадает с направлением скорости, т. к. касательное ускорение — положительная величина (скорость растет).

Пример 3. По дуге, равной 1/4 длины окружности радиуса г = 16м (рис. 1.110), из положения А0 в положение A1 движется точка согласно уравнению s = πt2. Определить скорость точки в момент, когда она проходит середину длины дуги A0A1, и в момент достижения положения A1.

Решение

 

1. Если длина дуги А0А1 равна 1/4 длины окружности, то середина дуги А находится от начала отсчета А0 на расстоянии 1/8 окружности, т, е.

2. Из заданного уравнения движения s = πt2 нахо­дим, что точка после начала движения достигает се­редины дуги через промежуток времени

3. Продифференцировав уравнение движения, най­дем уравнение скорости:

4. Подставив значение t = 2 с в уравнение скорос­ти, найдем

5. Проводим в точке А (середину дуги A0A1) касательную к траектории и изобразим вектор скорости v (рис. 1.110).

Скорость точки в конце траектории (в положении A1) рекомендуется найти самостоятельно. (Ответ: 17,8 м/с.)

 

Пример 4.Для точки, движение которой рассматривалось в примере 3, определить ускорения а и a1 соответственно для положений точки в А и A1.

Решение

 

1. Точка движется согласно уравнению s = πt2; следовательно, v =2st и из формулы

 

модуль касательного ускорения от време­ни не зависит, значит при любом поло­жении точки на траектории ее касатель­ное ускорение at = 6,28 м/с2.

2. Как известно из примера 1.19, в момент, когда точка занимает на траекто­рии положение А, ее скорость v = 4π = 12,6 м/с. Следовательно, в этот мо­мент значение нормального ускорения

3. Находим направление ускорения а точки в момент, когда она проходит положение A, используя третью из формул (рис. 1.113):

4. Находим модуль ускорения точки, используя первую из формул (1.90):

Рекомендуется самостоятельно проверить полученный результат по форму­ле (1.89), а затем найти модуль и направление ускорения точки в положении (Ответ: at=20,8 м/с2; а1«72°30'.)

 

Контрольные вопросы и задания

 

1. Запишите в общем виде закон движения в естественной и ко­ординатной форме.

2. Что называют траекторией движения?

3. Как определяется скорость движения точки при естественном способе задания движения?

4. Запишите формулы для определения касательного, нормаль­ного и полного ускорений.

5. Что характеризует касательное ускорение и как оно направ­лено по отношению к вектору скорости?

6. Что характеризует и как направлено нормальное ускорение?

 

ЛЕКЦИЯ 10

Тема 1.8. Кинематика точки

 

Иметь представление о скоростях средней и истинной, об уско­рении при прямолинейном и криволинейном движениях, о различ­ных видах движения точки.

Знать формулы (без вывода) и графики равномерного и равно­переменного движений точки.

Уметь определять параметры движения точки по заданному закону движения, строить и читать кинематические графики.


Просмотров 1032

Эта страница нарушает авторские права



allrefrs.ru - 2022 год. Все права принадлежат их авторам!