Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В ПРОСТРАНСТВЕ



 

Плоскость в пространстве

 

Литература: [1], гл. II, § 1, п. 2, 4, 5, § 3, п. 2, 4, 6

[3], гл. 12, §§ 63-65

[9]‚ гл.·3‚ § 3.6

 

В декартовой системе координат в пространстве каждая плоскость определяется уравнением первой степени (линейным уравнением) и каждое уравнение первой степени определяет плоскость.

Всякий не равный нулю вектор, перпендикулярный данной плоскости, называется нормальным вектором этой плоскости.

Уравнение определяет плоскость, проходящуючерез точку , перпендикулярно вектору . Если раскрыть скобки в этом уравнении и ввести обозначение , то получится общее уравнение плоскости . Коэффициенты А, В, С при неизвестных в общем уравнении плоскости − это координаты вектора, перпендикулярного этой плоскости.

Рассмотрим частные случаи расположения плоскостей.

1. Коэффициент и уравнение плоскости имеет вид . Очевидным решением такого уравнения является нулевое решение ( , , ). Значит, это уравнение определяет плоскость, проходящую через начало координат .

2. Коэффициент и уравнение плоскости имеет вид . Так как проекция нормального вектора на ось Ох равна 0, то это возможно, если плоскость параллельна оси Ох.

Аналогично, если коэффициент и уравнение плоскости имеет вид , то эта плоскость параллельна оси Оy. Если уравнение имеет вид , т.е. коэффициент при равен 0, то это уравнение плоскости, параллельной оси Оz. Вывод: отсутствие в уравнении какой-либо переменной свидетельствует о том, что эта плоскость параллельна оси, соответствующей этой переменной.

3. Коэффициенты , и уравнение имеет вид . Плоскость параллельна осям Ох и Оy и, следовательно, параллельна плоскости Охy.

4. Коэффициенты , , и уравнение имеет вид . Плоскость параллельна плоскости Охy (так как , ). Кроме того, она проходит через точку (так как ). Значит уравнение (или ) определяет саму плоскость Охy.

Уравнение плоскости, проходящейчерез три заданные точки , и имеет вид:

.

Составим уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки , и :

.

Раскрыв определитель и выполнив преобразования, получим уравнение плоскости в отрезках

.

Здесь a, b, c − отрезки, отсекаемых плоскостью от координатных осей.

Угол между плоскостями и − это угол между их нормальными векторами и . Поэтому он может быть вычислен с помощью скалярного произведения векторов по формуле



.

Очевидно, если две плоскости параллельны, то их нормальные векторы коллинеарные. Отсюда вытекает условие параллельности плоскостей:

.

Аналогично, условие перпендикулярности плоскостей − это равенство нулю скалярного произведения их нормальных векторов:

.

Расстояние от точки до плоскости вычисляется по формуле:

.

Пример 21. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки и перпендикулярно плоскости .

Решение. Обозначим данную плоскость α и искомую плоскость β.

Первый способ. Нормальный вектор плоскости α и вектор параллельны плоскости β. Перпендикулярный им вектор дает их векторное произведение:

Этот вектор можно взять в качестве нормального вектора плоскости β:

.

В уравнении плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору в качестве точки можно взять любую из точек или .Возьмем .Тогда уравнение искомой плоскости β имеет вид или . Плоскость β параллельна оси Оz (т.к. в ее уравнении коэффициент ).

Второй способ. Возьмем произвольную точку , принадлежащую плоскости β. Тогда векторы , и компланарные. Значит, их смешанное произведение равно 0:

.

Раскрыв этот определитель, получаем уравнение искомой плоскости . Откуда .

Пример 22. Убедиться, что плоскости и параллельны, найти расстояние между ними.

Нормальные векторы этих плоскостей и коллинеарные, так как их координаты пропорциональны .Значит,плоскости параллельные.

Выберем произвольную фиксированную точку на первой плоскости. Две ее координаты будем считать нулевыми и, а третью найдем из уравнения плоскости, подставив в него значения первых двух: . Откуда .Расстояние между параллельными плоскостями – это расстояние от точки до второй плоскости, определяемое по формуле:



(ед).

 

Прямая в пространстве

 

Литература: [1], гл. II, § 2, п. 3, 6, §3, п. 1

[4], гл. 12, §§ 66-68

[9]‚ гл.·3‚ § 3.7

 

Прямая в пространстве рассматривается как линия пересечения двух плоскостей и поэтому может быть задана системой уравнений:

Эта система уравнений называется общим уравнением прямой в пространстве.

Параметрические уравнения прямой в пространстве (когда координаты точек прямой задаются как функции одной и той же переменной t, называемой параметром точки) имеют вид:

Здесь , , − координаты фиксированной точки , через которую проходит прямая, , , − координаты направляющего вектора (любого вектора, параллельного прямой).

Каноническое уравнение прямойв пространстве

это символическое уравнение, получаемое из параметрического исключением параметра t.

Если прямая проходит через две заданные точки и , то в качестве ее направляющего вектора можно взять вектор . Тогда уравнение прямой, проходящей через две заданные точки,имеет вид

.

Угол между двумя прямыми определяется как угол между их направляющими векторами и. Поэтому он может быть вычислен с помощью скалярного произведения векторов по формуле

.

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых определяются условиями коллинеарности и перпендикулярности их направляющих векторов:

− условие параллельности,

− условие перпендикулярности.

Пример 23. .Лежат ли прямые и , , в одной плоскости? Если да, то составить уравнение этой плоскости.

Решение. Исходя из геометрического смысла величин, входящих в каноническое и параметрические уравнения прямых заключаем, что первая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор , вторая прямая проходит через точку и имеет направляющий вектор . Очевидно, что прямые лежат в одной плоскости, если векторы , , и компланарные, т.е. если их смешанное произведение равно нулю:

.

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки одинаковы. Значит, прямые лежат в одной плоскости. Для составления уравнения этой плоскости находим ее нормальный вектор как векторное произведение векторов и :

.

Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , следующее:

или .

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2018 год. Все права принадлежат их авторам!