Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Методические указания к решению задач. Пытаясь понять закономерности изучаемых явлений, мы ищем связи между величинами, которые характеризуют эти явления



Пытаясь понять закономерности изучаемых явлений, мы ищем связи между величинами, которые характеризуют эти явления. Часто такие связи можно выразить с помощью функции. Понятие функции является базовым понятием математического анализа [1, глава 4]. Научившись оперировать функциями - дифференцировать, интегрировать, строить их графики - мы получаем возможность глубже понимать те явления, которые этими функциями описываются. Это позволяет нам получать новую полезную информацию об изучаемых явлениях. Например, производная функции служит средством вычисления самых разных величин: скорости движения в механике, скорости химической реакции в химии, углового коэффициента касательной к кривым в геометрии и т.д.

Формулы для вычисления производных основных элементарных функций рекомендуется заучить. Вычисляя производные или дифференциалы необходимо использовать правила дифференцирования суммы, произведения и частного, а также сложной функции [1, § 49-52]. Следует уяснить физический и геометрический смысл производной.

Студент должен выработать уверенные навыки в технике вычисления производных и дифференциалов и только после этого можно переходить к применению производных при исследовании функций [1, глава 9]. В заданиях под № 3 необходимо провести исследование и построить график функции в соответствии со следующим планом:

1. Найти область определения функции.

2. Исследовать ее четность.

3. Найти точки пересечения с осями координат.

4. Исследовать поведение функции в точках разрыва.

5. Исследовать поведение функции на бесконечности;
найти наклонные асимптоты, если они существуют.

6. Определить интервалы монотонности, найти точки экстремума;
составить таблицу.

7. Найти область значений функции;

8. Определить интервалы выпуклости и вогнутости, найти точки
перегиба; составить таблицу;

9. Построить график функции.

Изучение связей и закономерностей, существующих в материальном мире, часто приводит к функциям не одного, а двух и большего числа аргументов. Студент должен уметь оперировать функциями многих независимых переменных: находить область определения, строить линии уровня, вычислять частные производные и находить полный дифференциал [1, глава 12].



Главными понятиями интегрального исчисления являются понятия первообразной функции и неопределенного интеграла. Необходимо осознать, что операция интегрирования является обратной операции дифференцирования. Это означает, что интегрирование помогает решать задачи, обратные названным выше; например, по заданной скорости вычислять путь в механике. Важно также получить минимальные навыки вычисления неопределенных интегралов. Для этого нужно знать их свойства, выучить и правильно применять основные формулы и методы интегрирования.

В настоящем курсе достаточно ограничиться таблицей основных формул, приведенной в приложении 2.

Если интеграл не относится к числу табличных, то прибегают к одному из методов интегрирования: разложению подынтегральной функции на слагаемые, методу непосредственного интегрирования, методу подстановки или интегрированию по частям [1, § 79]. Смысл применения того или иного метода заключается в том, что путем преобразований, характерных для каждого метода, интеграл приводится к табличному виду.

При изучении определенного интеграла следует начать с анализа задач, которые приводят к появлению этого понятия, например, с задачи о вычислении площади криволинейной трапеции или подсчета количества вещества, образующегося при химической реакции. Определенный интеграл вводится в рассмотрение, как предел интегральной суммы [1, §80]. Однако формула Ньютона-Лейбница сводит вычисление определенного интеграла к решению неопределенного. Определенный интеграл можно рассматривать как приращение первообразной функции, т.е. как разность значений первообразной, вычисленной на верхнем и нижнем пределах интегрирования. Необходимо обратить внимание на особенности вычисления определенного интеграла методами подстановки и интегрирования по частям [1, § 84].



Для понимания свойств определенного интеграла, полезно рассмотреть их геометрический смысл. Например, интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределами, равен нулю [1, § 81]. С этим свойством легко согласиться, т.к. здесь криволинейная трапеция выродилась в отрезок прямой и ее площадь рана нулю.

В заданиях под № 7 требуется умение приложить понятие определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур [1, § 86].

Многие природные явления могут быть описаны закономерностями, сформулированными в виде дифференциальных уравнений. Важно понимать, что решением дифференциального уравнения является функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество. Решение уравнения, следовательно, заключается в поиске всех таких функций. Некоторые из найденных функций удовлетворяют начальным условиям, их мы называем частными решениями. Необходимо научиться решать уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения первого порядка; линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами и находить их частные решения по заданным начальным условиям [1, глава 13].

Примеры решения задач

Пример 1. Найти производную функции

Решение. Применяем правило дифференцирования суммы:



Производную первого слагаемого расписываем по правилу дифференцирования частного, а производная второго слагаемого равна 0, т.к. это константа:

Для нахождения производной числителя воспользуемся формулой дифференцирования произведения двух функций:

 

Пример 2.Найти дифференциал функции

Решение. Используя определение дифференциала и правило дифференцирования сложной функции, получим:

 

Пример 3.Исследовать функцию и построить ее график.

Решение.Функциюисследуемв соответствие с планом, который изложен в методических указаниях.

1. Область определения функции: .

Знаменатель данной функции не должен равняться нулю, тогда из следует, что функция определена при всех значениях x, кроме x=2 (точка разрыва).

2. Исследуем функцию на четность, изменив знак аргумента на противоположный: . Получили совсем другую функцию, значит, исходная функция является функцией общего вида.

3. Точки пересечения с осью ординатнаходим, подставив значение x=0 в функцию f(x):

, откудаполучаетсяy=0.

Точки пересечения с осью абсцисс находим из уравнения f(x)=0:

, откудаполучаетсяx=0.

Итак, функция проходит через начало координат (0;0).

4. Поведение функции в окрестности точки разрыва (x=2):

Причем при 0<x<2, т.е. слева от точки разрыва, значения функции отрицательны, при x>2, т.е. справа, функция положительна.

5. Асимптота - это прямая, к которой неограниченно приближается график функции при удалении в бесконечность. Данная функция имеет вертикальную асимптоту x=2. Проверим, есть ли наклонная асимптота вида y=kx+b. Для этого найдем угловой коэффициент прямой

и отрезок, отсекаемый прямой на оси OX,

Таким образом, функция имеет наклонную асимптоту y=x+2.

6. Вычисляем производную и приравниваем ее к нулю:

Из уравнения найдем критические точки: x1 = 0, x2 = 4 и значения функции в этих точках f(0)=0, f(4)=8.

Результаты исследования занесем в таблицу, где область определения делится на интервалы критическими точками. Определяем знак производной на всех интервалах и помечаем в третьей строке таблицы возрастание или убывание функции стрелками.

x (-¥;0) (0;4) (4;+¥)
+ +
f (x)    

В результате становятся видны точки максимума и минимума: в точке x1=0 функция имеет максимум, в точке x2 = 4 - минимум.

7. На основании пунктов 5 и 6 область значений функции E(f)=(-¥,0]È[8,¥).

8. Ищем точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости, используя вторую производную:

.

Вторая производная не равна нулю для любого значения x, следовательно, точек перегиба нет. Однако есть точка разрыва х=2, в которой вторая производная не существует. Эта точка делит область определения функции на два интервала, в которых вторая производная имеет разные знаки, отвечающие за выпуклость и вогнутость функции. Это видно из таблицы:

х (-¥;2) (2;+¥)
f²(x) - +
f (x) Ç È

9. С учетом проведенного исследования построим график функции, показанный на рис.1.

Рис. 1

Пример 4. Найти полный дифференциал функции .

Решение. Вычислим частные производные по х и у (при этом надо учитывать, что при дифференцировании по одному из аргументов, другие считаются постоянными величинами):

;

.

Тогда полный дифференциал .

 

Пример 5.Вычислить неопределенный интеграл .

Решение.Для нахождения интеграла воспользуемся методом подстановки, для этого введем новую переменную t, вычислим ее дифференциал и дифференциал х, затем подставим в интеграл:

После нахождения первообразной функции необходимо сделать обратную замену.

 

Пример 6. Вычислить определенный интеграл .

Решение. Для нахождения интеграла воспользуемся методом интегрирования по частям:

Тогда по формуле интегрирования по частям получаем:

.

 

Пример 7.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение.Построим графики функций:

Для определения пределов интегрирования необходимо найти точки пересечения функций. Приравняем функции и решим полученное уравнение:

Тогда

 

Пример 8.Найти общее и частное решения дифференциального уравнения

, если y(0)= .

Решение.Это уравнение с разделяющимися переменными. Необходимо преобразовать уравнение так, чтобы все функции, зависящие от х, были в одной части уравнения, а все функции, зависящие от y, были в другой части уравнения. Для этого перенесем второе слагаемое в правую часть:

Разделим обе части уравнения на :

.

В результате получаем:

;

.

Проинтегрируем обе части уравнения:

;

;

.

По свойству логарифмов: ; тогда общее решение данного дифференциального уравнения будет: .

Из условия y(0)= найдем постоянную интегрирования C:

Тогда частное решение:

 

Пример 9.Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение.Выразим из уравнения производную: .

Разделим числитель и знаменатель правой части уравнения на х:

Þ Þ .

Так как переменные входят только в виде отношения, то данное уравнение является однородным. Поэтому сделаем замену переменных , тогда y=ux Þ .

В результате получим уравнение . Оно является уравнением с разделяющимися переменными. Решим данное уравнение:

Сделаем обратную замену

Отсюда получаем общее решение уравнения .

Пример 10.Найти общее и частное решения дифференциального уравнения

,

Решение.Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим и решим характеристическое уравнение:

Тогда общее решение уравнения:

Для нахождения частного решения продифференцируем это выражение:

Из условий находим

Þ Þ

Поэтому частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид:


Контрольные задания

 

Вариант 1.

1. Найти производную функции .

2. Найти дифференциал функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти полный дифференциал функции .

5. Вычислить интеграл .

6. Вычислить интеграл .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
, , , .

8. Найти частное решение дифференциального уравнения

9. Найти общее решение дифференциального уравнения

10. Найти частное решение дифференциального уравнения .

__________________________________________________________________

 

Вариант 2.

1. Найти производную функции .

2. Найти дифференциал функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти полный дифференциал функции .

5. Вычислить интеграл .

6. Вычислить интеграл .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
.

8. Найти частное решение дифференциального уравнения .

9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.

10. Найти частное решение дифференциального уравнения

__________________________________________________________________

 

Вариант 3.

1. Найти производную функции .

2. Найти дифференциал функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти полный дифференциал функции .

5. Вычислить интеграл .

6. Вычислить интеграл .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
, , .

8. Найти частное решение дифференциального уравнения .

9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.

10. Найти частное решение дифференциального уравнения .

__________________________________________________________________

 

Вариант 4.

1. Найти производную функции .

2. Найти дифференциал функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти полный дифференциал функции .

5. Вычислить интеграл .

6. Вычислить интеграл .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
, , , .

8. Найти частное решение дифференциального уравнения
.

9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.

10. Найти частное решение дифференциального уравнения
.

__________________________________________________________________

 

Вариант 5.

1. Найти производную функции .

2. Найти дифференциал функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти полный дифференциал функции .

5. Вычислить интеграл .

6. Вычислить интеграл .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

8. Найти частное решение дифференциального уравнения
.

9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.

10. Найти частное решение дифференциального уравнения
.

__________________________________________________________________

 

Вариант 6.

1. Найти производную функции .

2. Найти дифференциал функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти полный дифференциал функции .

5. Вычислить интеграл .

6. Вычислить интеграл .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

8. Найти частное решение дифференциального уравнения
.

9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.

10. Найти частное решение дифференциального уравнения
.

__________________________________________________________________

 

Вариант 7.

1. Найти производную функции .

2. Найти дифференциал функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти полный дифференциал функции .

5. Вычислить интеграл .

6. Вычислить интеграл .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
, .

8. Найти частное решение дифференциального уравнения
.

9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.

10. Найти частное решение дифференциального уравнения
.

__________________________________________________________________

 

Вариант 8.

1. Найти производную функции .

2. Найти дифференциал функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти полный дифференциал функции .

5. Вычислить интеграл .

6. Вычислить интеграл .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями

8. Найти частное решение дифференциального уравнения
.

9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.

10. Найти частное решение дифференциального уравнения
.

__________________________________________________________________

 

Вариант 9.

1. Найти производную функции .

2. Найти дифференциал функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти полный дифференциал функции .

5. Вычислить интеграл .

6. Вычислить интеграл .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
, .

8. Найти частное решение дифференциального уравнения
.

9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.

10. Найти частное решение дифференциального уравнения
.

__________________________________________________________________

 

Вариант 0.

1. Найти производную функции .

2. Найти дифференциал функции .

3. Исследовать функцию и построить ее график.

4. Найти полный дифференциал функции .

5. Вычислить интеграл .

6. Вычислить интеграл .

7. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями
, .

8. Найти частное решение дифференциального уравнения
.

9. Найти общее решение дифференциального уравнения
.

10. Найти частное решение дифференциального уравнения
.


Контрольная работа № 2


Просмотров 403

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!