Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Образец выполнения контрольной работы



 

1. Исследовать сходимость ряда .

Решение. Используем признак сходимости Даламбера:

Следовательно, ряд сходится.

Ответ: ряд сходится.

 

2. Найти область сходимости ряда .

Решение. Область сходимости степенного ряда найдем по формуле .

.

Так как , то область сходимости ряда: .

При ряд имеет вид:

.

Это знакопеременный ряд. Определим его сходимость с помощью признака Лейбница:

1) , то есть члены ряда убывают по абсолютной величине. Первое условие выполняется.

2) . Второе условие тоже выполняется.

Следовательно, ряд по признаку Лейбница сходится.

При ряд имеет вид:

.

Сравним данный ряд с расходящимся гармоническим рядом по предельному признаку сравнения.

.

Следовательно, данный ряд также расходится.

Отсюда, область сходимости степенного ряда будет .

Ответ: область сходимости ряда .

 

3. Вычислить приближенно с точностью .

Решение. Используем разложение в ряд Маклорена функции .Для вычисления запишем степенной ряд при , принадлежащем области сходимости :

Взяв первые шесть членов разложения мы допустим погрешность не превышающую первого отброшенного члена (по абсолютной величине), то есть .

Итак,

.

Ответ: с точностью .

 

4. Дана функция и точки , . Вычислить: а) производную этой функции в точке по направлению вектора ; б) .

Решение. а) Координаты вектора определяются по формуле , если и .

.

Вычислим производную функции в точке по направлению вектора :

 

 

 

 

 

б) Согласно определению,

 

Ответ. , .

5. Найти частные производные: , , , , функции

.

Решение.

Ответ. , , ,

, .

 

6. Найти экстремум функции двух переменных .

Найдем критические точки:

Значит , , , – точки возможного экстремума.

Найдем значение в каждой точке.

1) В точке . Следовательно, в точке экстремум существует. Так как <0, то в точке функция имеет максимум, причем .

2) В точке .

Следовательно, в точке экстремума нет.

3) В точке . Следовательно, в точке экстремума нет.

4) В точке . Следовательно, в точке экстремума нет.

5) В точке . Следовательно, в точке экстремум существует. Так как >0, значит в точке функция имеет минимум, причем .

6) В точке . Следовательно, в точке экстремум существует. Поскольку >0, то в точке функция имеет минимум, причем .



 

7) В точке . Следовательно, в точке экстремума нет.

8) В точке , следовательно, в точке экстремум существует. Так как >0, отсюда в точке функция имеет минимум, причем .

9) В точке , следовательно, в точке экстремум существует. Так как >0, то в этой точке функция имеет минимум, причем .

Ответ. В точках , , , функция имеет минимум, причем ; в точке функция имеет максимум, причем .

 

7. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной линиями , .

Решение. Изобразим область интегрирования D на чертеже:

Выберем внутреннее интегрирование по x, а внешнее по y, тогда двойной интеграл выразится одним повторным интегралом:

.

Ответ. .

 

8.Для векторного поля в точке найти: а) дивергенцию, б) ротор.

Решение.

а)Вычислим частные производные

 

.

б) Для вычисления ротора найдем следующие частные производные:

.

Ответ. , .

 

Задания контрольной работы

1. Исследовать сходимость ряда:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

 

2. Найти область сходимости ряда:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

 

3*.Вычислить приближенно с точностью , разложив функцию в степенной ряд:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

4.Дана функция и точки . Вычислить: а) производную этой функции в точке по направлению вектора ; б) .

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

 

5. Найти частные производные: , , , , функции .

1) .

2) .

3) .

4) .

5) .

6) .

7) .

8) .

9) .

10) .

 



6*. Найти экстремум функции двух переменных:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) ;

7) ; 8) ;

9) ; 10) .

 

7. Вычислить двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями.

1) , D: , .

2) , D: , .

3) , D: , .

4) , D: , ,.

5) , D: , , .

6) , D: , .

7) , D: , .

8) , D: , .

9) , D: , , .

10) , D: , , .

 

8.Для векторного поля в точке найти а) циркуляцию,

б) ротор.

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) ,

9) ,

10) ,

 


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!