Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Тема 5. Системы дифференциальных уравнений



 

Основные понятия. Интегрирование нормальных систем. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

[2], гл.I, §6.

Матричный метод. Нормальная линейная однородная система 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

(*)

или, в матричной форме,

где

Из характеристического уравнения

det(A-λE)=0

находятся различные действительные корни λ1, λ2 (в задании 4 контрольной работы №2 рассматривается только этот случай) – собственные значения матрицы А. Для каждого λ определяется соответствующее ему частное решение

где Y(λ) – собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению λ (т.е. АY(λ)= λ Y(λ), Y(λ)≠0). Общее решение системы (*) имеет вид

или

 

 

Пример. Найти общее решение системы

Решение. Характеристическое уравнение

имеет действительные и различные корни λ1=-1, λ2=5.

Собственные векторы, например, таковы

 

Поэтому

,

отсюда общее решение имеет вид

или

 

Раздел 4. РЯДЫ

 

Тема 1. Числовые ряды

 

Основные понятия. Ряд геометрической прогрессии. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.

[2], гл.IV, §14.

Ряд может сходиться лишь при условии, когда общий член ряда аn при неограниченном увеличении его номера n стремится к 0: (это необходимый, но недостаточный признак сходимости для всякого ряда.)

Если же , то ряд расходится (это достаточный признак расходимости для всякого ряда.)

 

Тема 2. Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов

 

Признаки сравнения рядов. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд.

[3], гл.IV, §14.

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

1) геометрический ряд - сходится при |q|<1, расходится при |q|≥1;

2) гармонический ряд - расходится;

3) обобщенный гармонический ряд - сходится при р>1, расходится при р≤1.



Интегральным признаком Коши можно пользоваться, когда выражение общего члена аn= f(n) имеет смысл не только для целых положительных значений n, но и для всех n, больших некоторого положительного числа N.

 

Тема 3. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.

Признак Лейбница.

Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.

[2], гл.IV, §15.

При практическом использовании рядов (сходящихся) обычно ограничиваются несколькими их первыми членами. Допускаемая при этом ошибка (остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередующихся рядов:

ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

Тема 4. Степенные ряды

 

Функциональные ряды. Сходимость степенных рядов. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Некоторые приложения степенных рядов.

[2], гл.V, §§16-19.

Для определения области сходимости функциональных рядов обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения х, для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуются особо, с помощью других признаков сходимости рядов.

Пример. Исследовать на сходимость ряд



Решение. Применим признак Даламбера:

Далее определяем, при каких значениях х этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство <1; |x+1|<2; −3<x<1.

Согласно признаку Даламбера, при любом значении х из найденного интервала данный ряд сходится (абсолютно), а при x<–3 и x>1 расходится.

Граничные точки х=–3 и х=1 этого интервала, для которых признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо.

При х=–3 получим числовой знакочередующийся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница (члены этого ряда убывают по абсолютной величине, стремясь к нулю.)

При х=1 получим числовой ряд с положительными членами , который расходится (он представляет собой обобщенный гармонический ряд с показателем р=1/2<1). Следовательно, областью сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал –3≤х<1.

При решении задания 7 контрольной работы №2 целесообразно использовать разложение в ряд Маклорена элементарных функций sinx, cosx, (1+x)m, 1/(1-x), ln(1+x), arctgx.

Степенные ряды имеют различные приложения. С их помощью вычисляют с заданной точностью значения функций, определенных интервалов, которые являются «неберущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.

Рассмотрим определенный интеграл

Пусть подынтегральная функция f(x) разлагается в степенной ряд

сходящийся в интервале (-R;R), который содержит отрезок интегрирования [a;b].

Применяя теорему о почленном интегрировании степенных рядов, можно представить интеграл в виде числового ряда

Если ряд сходится достаточно быстро, то можно приближенно вычислить определенный интеграл с помощью частичной суммы ряда

Погрешность результата складывается:

- из погрешности замены ряда частичной суммой; эта погрешность равна остатку ряда;



- погрешностей округления при вычислении частичной суммы.

Для знакочередующегося ряда остаток оценивается в соответствии с замечанием к теме 3 раздела 4. Для оценки остатка ряда в других случаях применяют мажорирование такими числовыми рядами, остатки которых легко оцениваются.

Пример. Вычислить приближенно с точностью до e=0,0001

Решение. Пользуясь рядом Маклорена для cosx и заменяя в нем х на Öх, имеем

Интегрируя в пределах от 0 до 1, получим

Пятый член этого знакочередующегося ряда Поэтому для вычисления искомого приближенного значения интеграла достаточно взять сумму четырех первых членов ряда:

 

Тема 5. Ряды Фурье

Периодические функции. Периодические процессы. Тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле. Разложение функций в ряд Фурье.

[2], гл.VI, §20, §21. П.21.1-21.4.

При разложении данной функции в ряд Фурье, после нахождения общих выражений для коэффициентов аn и bn, следует проверять, будут ли они пригодны при всех значениях n. Для тех значений n, при которых эти общие выражения теряют смысл, необходимо вычислять соответствующие коэффициенты отдельно, подставляя эти исключительные значения n в общие формулы Фурье.


Просмотров 274

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!