Тема 5. Системы дифференциальных уравнений

Основные понятия. Интегрирование нормальных систем. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

[2], гл.I, §6.

Матричный метод. Нормальная линейная однородная система 2-го порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

(*)

или, в матричной форме,

где

Из характеристического уравнения

det(A-λE)=0

находятся различные действительные корни λ₁, λ₂ (в задании 4 контрольной работы №2 рассматривается только этот случай) – собственные значения матрицы А. Для каждого λ определяется соответствующее ему частное решение

где Y^(λ) – собственный вектор матрицы А, соответствующий собственному значению λ (т.е. АY^(λ)= λ Y^(λ), Y^(λ)≠0). Общее решение системы (*) имеет вид

или

Пример. Найти общее решение системы

Решение. Характеристическое уравнение

имеет действительные и различные корни λ₁=-1, λ₂=5.

Собственные векторы, например, таковы

Поэтому

,

отсюда общее решение имеет вид

или

Раздел 4. РЯДЫ

Тема 1. Числовые ряды

Основные понятия. Ряд геометрической прогрессии. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.

[2], гл.IV, §14.

Ряд может сходиться лишь при условии, когда общий член ряда а_n при неограниченном увеличении его номера n стремится к 0: (это необходимый, но недостаточный признак сходимости для всякого ряда.)

Если же , то ряд расходится (это достаточный признак расходимости для всякого ряда.)

Тема 2. Признаки сходимости и расходимости знакоположительных рядов

Признаки сравнения рядов. Признак Даламбера. Радикальный признак Коши. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд.

[3], гл.IV, §14.

Отметим «эталонные» ряды, часто используемые для сравнения:

1) геометрический ряд - сходится при |q|<1, расходится при |q|≥1;

2) гармонический ряд - расходится;

3) обобщенный гармонический ряд - сходится при р>1, расходится при р≤1.

Интегральным признаком Коши можно пользоваться, когда выражение общего члена а_n= f(n) имеет смысл не только для целых положительных значений n, но и для всех n, больших некоторого положительного числа N.

Тема 3. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды.

Признак Лейбница.

Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов. Абсолютная и условная сходимости числовых рядов.

[2], гл.IV, §15.

При практическом использовании рядов (сходящихся) обычно ограничиваются несколькими их первыми членами. Допускаемая при этом ошибка (остаток ряда) наиболее просто оценивается для знакочередующихся рядов:

ошибка при замене суммы сходящегося знакочередующегося ряда суммой нескольких его первых членов меньше абсолютного значения первого из отброшенных членов.

Тема 4. Степенные ряды

Функциональные ряды. Сходимость степенных рядов. Интервал и радиус сходимости степенного ряда. Разложение функций в степенные ряды. Ряды Тейлора и Маклорена. Некоторые приложения степенных рядов.

[2], гл.V, §§16-19.

Для определения области сходимости функциональных рядов обычно вначале используется признак Даламбера, а затем те значения х, для которых этот признак не решает вопроса о сходимости ряда, исследуются особо, с помощью других признаков сходимости рядов.

Пример. Исследовать на сходимость ряд

Решение. Применим признак Даламбера:

Далее определяем, при каких значениях х этот предел будет меньше единицы, т.е. решаем неравенство <1; |x+1|<2; −3<x<1.

Согласно признаку Даламбера, при любом значении х из найденного интервала данный ряд сходится (абсолютно), а при x<–3 и x>1 расходится.

Граничные точки х=–3 и х=1 этого интервала, для которых признак Даламбера не решает вопроса о сходимости ряда, исследуем особо.

При х=–3 получим числовой знакочередующийся ряд , который сходится согласно признаку Лейбница (члены этого ряда убывают по абсолютной величине, стремясь к нулю.)

При х=1 получим числовой ряд с положительными членами , который расходится (он представляет собой обобщенный гармонический ряд с показателем р=1/2<1). Следовательно, областью сходимости данного степенного ряда является полуоткрытый интервал –3≤х<1.

При решении задания 7 контрольной работы №2 целесообразно использовать разложение в ряд Маклорена элементарных функций sinx, cosx, (1+x)^m, 1/(1-x), ln(1+x), arctgx.

Степенные ряды имеют различные приложения. С их помощью вычисляют с заданной точностью значения функций, определенных интервалов, которые являются «неберущимися» или слишком сложными для вычислений, интегрируются дифференциальные уравнения.

Рассмотрим определенный интеграл

Пусть подынтегральная функция f(x) разлагается в степенной ряд

сходящийся в интервале (-R;R), который содержит отрезок интегрирования [a;b].

Применяя теорему о почленном интегрировании степенных рядов, можно представить интеграл в виде числового ряда

Если ряд сходится достаточно быстро, то можно приближенно вычислить определенный интеграл с помощью частичной суммы ряда

Погрешность результата складывается:

- из погрешности замены ряда частичной суммой; эта погрешность равна остатку ряда;

- погрешностей округления при вычислении частичной суммы.

Для знакочередующегося ряда остаток оценивается в соответствии с замечанием к теме 3 раздела 4. Для оценки остатка ряда в других случаях применяют мажорирование такими числовыми рядами, остатки которых легко оцениваются.

Пример. Вычислить приближенно с точностью до e=0,0001

Решение. Пользуясь рядом Маклорена для cosx и заменяя в нем х на Öх, имеем

Интегрируя в пределах от 0 до 1, получим

Пятый член этого знакочередующегося ряда Поэтому для вычисления искомого приближенного значения интеграла достаточно взять сумму четырех первых членов ряда:

Тема 5. Ряды Фурье

Периодические функции. Периодические процессы. Тригонометрический ряд Фурье. Теорема Дирихле. Разложение функций в ряд Фурье.

[2], гл.VI, §20, §21. П.21.1-21.4.

При разложении данной функции в ряд Фурье, после нахождения общих выражений для коэффициентов а_n и b_n, следует проверять, будут ли они пригодны при всех значениях n. Для тех значений n, при которых эти общие выражения теряют смысл, необходимо вычислять соответствующие коэффициенты отдельно, подставляя эти исключительные значения n в общие формулы Фурье.