Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Признаки сходимости и расходимости



1) Признак сравнения.

2) Предельный признак сравнения.

3) Признак абсолютной сходимости.

4) Необходимое условие сходимости.

Например.

Несобственные интегралы второго рода

Если функция f(x) непрерывна при и , то интеграл называют несобственным интегралом второго рода и по определению полагают

 

Если F(x) первообразная для f(x) и существует конечный предел , то несобственный интеграл называется сходящимся, если этот предел не существует, то – расходящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае .

Если подынтегральная функция неограничена в любой окрестности некоторой внутренней точки с интервала интегрирования, то полагают

 

 

Признаки сходимости для несобственных интегралов второго рода аналогичны признакам из п. 4.1. (за исключением необходимого признака сходимости).

При использовании предельного признака сравнения, в случае несобственных интегралов второго рода, обычно используются интегралы вида

которые сходятся при и расходятся при .

Например.

.

Кратные интегралы

Двойной интеграл

 

Пусть D замкнутая область на плоскости в декартовой прямоугольной системе координат Oxy. Пусть z и z=f( x, y ) – произвольная функция, определенная и непрерывная в этой области. Разобьем область D на n-непересекающихся областей Di , площади которых обозначим через . В каждой области Di возьмем произвольную точку Mi ( xi, yi ) и составим сумму

,

которую назовем интегральной суммой.

Определение. Если существует конечный предел последовательности интегральных сумм при и стремлении к нулю максимального из диаметров частичных областей Di , который не зависит от способа разбиения области на частичные области Di и выбора точек Mi, то этот предел называется двойным интегралом от функции по области D и обозначается

, т.е.

Теорема существования двойного интеграла.Если функция непрерывна в области , то двойной интеграл существует.



Геометрический смысл двойного интеграла.

Рис. 1 Величина двойного интеграла от функции в области равна объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью , снизу замкнутой областью плоскости , с боков - цилиндрической поверхностью, образующая которой параллельна оси (Рис.1), т.е. .  

В частности, если , то двойной интеграл будет равен площади области D:

.

Свойства двойного интеграла

Будем считать, что все интегралы в перечисленных ниже утверждениях существуют.

· Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла

, где .

· Если функции и интегрируемы в области ,то функция интегрируема в области ,причем

.

· Свойство аддитивности. Если область разбить линией на две области и , причем , а - есть линия, их разделяющая (Рис. 2), то

Рис. 2

· Если функции и непрерывны на области D и всюду в этой области , то

.

·

Теорема о среднем для двойного интеграла. Если функции и непрерывны в области и хотя бы одна из них знакопостоянна в этой области (пусть ), то найдется точка , такая что справедлива формула


Просмотров 407

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!