Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Определенный интеграл как предел интегральной суммы



Если функция f(x) определена на отрезке и - произвольное разбиение этого отрезка на n частей, то интегральной суммой функции f(x) на[a,b] называется сумма вида

где Геометрически Sn есть алгебраическая сумма площадей прямоугольников, имеющих основания и высоты .

Если определенная на отрезке [a,b] функция f(x) такова, что существует конечный предел последовательности интегральных сумм Sn при условии, что наибольшая из разностей стремится к нулю, причем этот предел не зависит ни от способа разбиения отрезка [a,b] на части [xk-1,xk], ни от выбора точек на этих отрезках, то функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b], а сам предел называется определенным интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначается символом . Таким образом,

Непрерывная, либо имеющая конечное число точек разрыва первого рода на отрезке [a,b] функция f(x) интегрируема на этом отрезке.

Геометрически определенный интеграл представляет собой алгебраическую сумму площадей фигур, ограниченных графиком функции y= f(x), осью Ox и прямыми x=a и x=b, причем площади, расположенные выше оси Ox, входят в эту сумму со знаком «плюс», а площади, расположенные ниже оси Ox, -со знаком «минус» (Рис. 3.1.).

 

Рис. 3.1.

4.3.2. Формула Ньютона – Лейбница

Если F(x) – одна из первообразных непрерывной на [a,b] функции f(x), то справедлива формула Ньютона – Лейбница:

Эта формула позволяет использовать для вычисления определенных интегралов известные методы нахождения неопределенных интегралов.

Например.

 

Свойства определенного интеграла

 

 

 

Замена переменной в определенном интеграле

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] , а функция x= непрерывно дифференцируема на отрезке [t1,t2], причем , то

Для вычисления определенного интеграла не требуется возвращаться к исходной переменной.

Например.

Интегрирование по частям



Если функции u(x), v(x) и их производные непрерывны на отрезке [a,b] , то

(формула интегрирования по частям для определенного интеграла).

Например.

 

Геометрические приложения определенного интеграла

Площадь плоской фигуры

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции , двумя прямыми x=a и x=b и осью Ox (такую фигуру называют криволинейной трапецией, Рис. 3.2.) вычисляется по формуле

 

 

Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций и двумя прямыми x=a и x=b (Рис. 3.3.), вычисляется по формуле

 

Рис. 3.2. Рис. 3.3.

 

Например.

Рис. 3.4.

 

Если фигура ограничена кривой, имеющей параметрические уравнения x=x(t), y=y(t), прямыми x=a, x=b и осью Ox, то площадь ее вычисляется по формуле

 

где пределы интегрирования находятся из уравнений a=x(t1), b=x(t2) (y(t) 0 на отрезке [t1, t2]).

Эта формула применима также для вычисления площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой (изменение параметра t от t1 до t2 должно соответствовать обходу контура по часовой стрелке).

Например.

 

Рис. 3.5.

Площадь фигуры, ограниченной графиком непрерывной функции и двумя лучами , где и - полярные координаты, или площадь криволинейного сектора, ограниченного дугой графика функции , вычисляется по формуле

 



Например.

Рис. 3.6.

Длина дуги кривой

Если гладкая кривая задана уравнением y=f(x), то длина l ее дуги равна

где a и b - абсциссы концов дуги.

Если же кривая задана параметрическими уравнениями

то

Аналогично выражается длина дуги пространственной кривой, заданной параметрическими уравнениями

 

 

Если задано полярное уравнение гладкой кривой то

 

Например.

 

 


Просмотров 527

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!