Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Интегрирование рациональных дробей



Интеграл от рациональной дроби , где Pm(x) и Qn(x) многочлены степени m и n соответственно всегда вычисляется в элементарных функциях. Алгоритм вычисления:

а) если (т.е. дробь неправильная), то делим числитель на знаменатель (уголком) и выделяем целую часть и правильную рациональную дробь;

б) знаменатель дроби раскладываем на простейшие множители;

в) представляем правильную рациональную дробь в виде суммы элементарных дробей с неопределенными коэффициентами (вид разложения определяется разложением знаменателя на простейшие множители).

Например:

 

 

г) находим неопределенные коэффициенты, для этого домножаем обе части равенства на общий знаменатель, после чего приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой частях равенства; либо придаем х произвольные значения, в частности, удобно полагать х равным действительным корням знаменателя (на практике целесообразно комбинировать оба этих метода). Получаем необходимое число уравнений для нахождения всех неопределенных коэффициентов;

д) вычисляем интегралы от целой части и элементарных дробей.

 

Например:

 

 

 

Интегрирование тригонометрических функций

а) Интегралы вида

Если хотя бы одно из чисел m или n – нечетное положительное целое число, то, отделяя от нечетной степени один сомножитель и выражая с помощью формулы оставшуюся четную степень через дополнительную функцию, приходим к табличному интегралу.

 

Например.

Если же m и n – четные неотрицательные числа, то степени понижаются посредством перехода к двойному аргументу с помощью тригонометрических формул:

 

 

Например.

 

Для вычисления интегралов вида где m= 2, 3, …, используются тригонометрические формулы:

 

Например.

б) Для интегрирования произведений синусов и косинусов различных аргументов применяются тригонометрические формулы:

в) Интегралы вида R(u,v) – рациональная функция двух переменных, приводятся к интегралам от рациональной функции нового аргумента t подстановкой . При этом используются формулы:



Например.

 

Если под интегралом sinx и cosx содержатся только в четных степенях, то удобнее использовать подстановку tgx=t.

 

Интегрирование некоторых иррациональных функций

а) Интегралы вида , где R(x,y,z,…) – рациональная функция своих аргументов, m,n,p,q,…- целые числа, вычисляются с помощью подстановки x=ts, где s – общий знаменатель дробей m/n, p/q,…

 

Например.

б) Интегралы вида где R – рациональная функция двух аргументов, путем выделения полного квадрата в квадратном трехчлене и последующей подстановкой u=x + b/2a приводятся к интегралам одного из следующих трех типов:

 

 

Последние интегралы тригонометрической подстановкой

 

1) u=lsint, 2) u=ltgt, 3) u=l/cost,

соответственно,приводятся к интегралам вида

Например.

 

Определенный интеграл и методы его вычисления


Просмотров 429

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!