Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Правило Бернулли-Лопиталя для раскрытия неопределенностей



Вычисляя пределы функций, при непосредственной подстановке в функцию значения, к которому стремится , часто получают выражения вида: , по которым нельзя сделать вывода о существовании и значении предела. Эти выражения называются неопределенностями, а нахождение таких пределов – раскрытием неопределенностей.

I. Неопределённости вида и

Теорема Бернулли-Лопиталя. Пусть и дифференцируемы в окрестности точки , за исключением самой точки , и в окрестности точки . Если и являются одновременно либо бесконечно малыми (то есть ) либо бесконечно большими (то есть ) при и при этом существует предел отношения их производных при , то существует и предел отношения самих функций , причем: .

Теорема справедлива и в том случае, если .

Например.

1.

2. , .

3. Иногда правило Лопиталя применяют несколько раз:

.

 

II. Неопределённости вида и ( )

Для вычисления , где - бесконечно малая функция, а - бесконечно большая функция при (неопределенность )необходимо преобразовать произведение к виду (неопределенность )или к виду (неопределенность ) .

Например.

Для вычисления , где и - бесконечно большие функции при (неопределенность )необходимо преобразовать разность к виду и затем рассмотреть неопределенность типа . Если , то . Если же , то является неопределенностью типа , рассмотренной выше.

Например. .

 

III. Неопределенности вида , и

К неопределенностям таких типов приходят при вычислении предела выражения . Для их раскрытия выражение логарифмируют и вычисляют предел , который является неопределенностью и сводится к или .

Например.

Вычислить предел : .

Прологарифмируем выражение:

Вычислим предел логарифма:

Так как , то

Формула Тейлора

Формула Тейлора ставит в соответствие функции многочлен, значение которого в точке и n его производных совпадают со значением и её производных в той же точке.

Теорема. Пусть функция (n+1)-раз непрерывно дифференцируема в интервале , тогда для каждой точки и справедлива формула Тейлора: .



где - остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа.

Теорема позволяет любую функцию, удовлетворяющую условиям теоремы, заменить в окрестности точки многочленом с точностью до бесконечно малой более высокого порядка малости, чем члены многочлена при . Это делает формулу Тейлора удобной для приближенных вычислений.

Например.

Разложить функцию в окрестности точки .

Вычислим производные функции в точке .

, ; , ;

 

, ;

, ;

 

, ;

, .

Подставим производные и в формулу Тейлора:

Окончательно,

 

Исследование функций с помощью производных

Монотонность функции

Теорема “Признак монотонности функции”. Если функция дифференцируема на промежутке и её производная на этом промежутке положительна (отрицательна), то функция на промежутке возрастает (убывает).

Например.

Найти промежутки монотонности функции .

Найдём производную . Очевидно, что при , и функция возрастающая, а при , и функция убывающая.

Экстремумы функции

Точка называется точкой максимума (минимума), если существует такая окрестность этой точки, что для любой точки этой окрестности выполняется неравенство: ( ). Точки минимума и максимума носят общее название точек экстремума.



Теорема“Необходимый признак экстремума функции одного аргумента”. Если является точкой экстремума, то либо не существует.

Точки, в которых выполняется необходимое условие, называют критическими.

Например.

Для функции критическими точками являются и , так как при и .

Теорема“Первый достаточный признак экстремума функции одного аргумента”. Если непрерывна в критической точке , дифференцируема в некоторой её окрестности, за исключением быть может самой точки , и при переходе через точку производная функции меняет свой знак с + на - , то является точкой максимума , если производная меняет знак с - на + , то - точка минимума, если производная не меняет знака при переходе через , то не является точкой экстремума.

Например.

Для функции : и

производная меняет свой знак с + на – в точке и, следовательно, является точкой максимума, а в точке производная меняет знак с - на + и - точка минимума этой функции.

Рис.1.5.

Теорема «Второй достаточный признак наличия экстремума».

Если в критической точке функции обращаются в ноль не только её первая производная , но и все последующие производные до (n-1) –го порядка включительно , а производная n-го порядка существует и отлична от нуля , то точка будет точкой экстремума, если число n чётное и не будет ею, если n нечетное.

Характер экстремума при чётном n определяется по знаку производной n-го порядка : если , то -точка минимума, а если , то точка максимума.

Например.

Для функции в критической точке , обращаются в 0 , , и , а , поскольку номер отличной от 0 производной нечётный -5, следовательно не является точкой экстремума.

Следствие. Если , а , то при точка есть точка максимума, а при точка минимума.

 

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a,b] надо:



1. Найти критические точки функции.

2. Выбрать из критических точек те, которые принадлежат отрезку [a,b].

3. Вычислить значение функции в выбранных точках и на концах отрезка.

4. Выбрать набольшее и наименьшее значение из полученных значений функции.


Просмотров 461

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!