Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Необходимое условие дифференцируемости функции в точке



Функция, имеющая производную в точке , называется дифференцируемой в этой точке. Функция, имеющая производную в каждой точке промежутка , называется дифференцируемой на этом промежутке.

Теорема. Если функция дифференцируема в некоторой точке, то она непрерывна в этой точке.

Таким образом, непрерывность функции является необходимым условием дифференцируемости, но не является достаточным условием, т. к. производная - это предел отношения двух бесконечно малых, а этот предел может быть равен бесконечности или не существовать. Если и именно таковы, то функция не будет дифференцируемой, будучи непрерывной.

Очевидно, что в соответствующей точке график функции либо не имеет определенной касательной ( - не существует), либо угол наклона касательной к Оx равен ( ), т.е. касательная параллельна оси Oy.

Рис.1.2. Рис.1.3.

 

Правила дифференцирования

Пусть и дифференцируемые функции и . Тогда

1.

2. .

3. .

4. .

 

Таблица производных основных элементарных функций

 

Дифференцирование сложной функции

Пусть функция дифференцируема в точке и функция дифференцируема в точке ( ), тогда сложная функция дифференцируема в точке и её производная определяется формулой :

.

Таким образом, производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной .

Например.

Найти производную функции .

Здесь , , , Тогда, .

 

Дифференцирование обратной функции

Пусть функция непрерывна и строго монотонна в окрестности точки и пусть при существует производная , тогда и обратная функция также дифференцируема в окрестности точки и её производная определяется формулой: (т. е. ).

Например, и обратная функция ,

тогда .

 

 

Прием логарифмического дифференцирования



 

Операция применения к функции сначала логарифмирования, а затем дифференцирования называется логарифмическим дифференцированием. Выражение называется логарифмической производной функции . Таким образом, для нахождения производной получаем формулу логарифмического дифференцирования:

 

или

 

Прием логарифмического дифференцирования удобно применять:

· при нахождении производной функции, которая равна произведению большого числа множителей, сначала функцию логарифмируют, логарифм произведения множителей раскладывают в сумму логарифмов и дифференцируют. Найти производную суммы функций значительно легче, чем производную произведения нескольких функций;

· при нахождении производной степенно-показательной функции:

, , поскольку основание степени и показатель зависят от , то применение формул для производной степенной или показательной функции невозможно. В этом случае:

, .

По формуле получаем

.

Например.

Найти производную функции . Имеем , , тогда .

 


Просмотров 896

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!