Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Свойства функций, непрерывных в точке



1. Если и непрерывны в точке , то и функции , , и , если , являются непрерывными в точке .

2. Если непрерывна в т. и функция непрерывна в точке , то сложная функция непрерывна в точке .

Последнее свойство можно записать в виде ;

т. е. операции предельного перехода и нахождения значения непрерывной функции перестановочны.

Например.

.

При вычислении пределов непрерывных функций это свойство удобно использовать в виде правила замены переменной для пределов непрерывных функций. Если непрерывна в точке и , то .

Например.

 

Точки разрыва функции

Определение. Функция называется непрерывной в точке справа, если она определена на полуинтервале и существует её правосторонний предел, равный , .

Определение. Функция называется непрерывной в точке слева, если она определена на полуинтервале и существует её левосторонний предел, равный , .

Определение. Точка называется точкой разрыва функции, если функция не определена в этой точке или определена, но не является в этой точке непрерывной.

 

Классификация точек разрыва функции

Условие непрерывности функции в точке можно записать в виде .

Классификация точек разрыва проводится в зависимости от характера нарушения этой цепочки равенств.

Точкой разрыва рода функции называется такая точка , в которой существуют и конечны оба односторонних предела функции, но они не равны друг другу ,

либо в точке односторонние пределы существуют, конечны и равны друг другу, но в точке функция либо не определена, либо значение отлично от общего значения обоих односторонних пределов в этой точке (такой разрыв в точке называют устранимым разрывом рода).

Точкой разрыва рода функции называется такая точка , в которой хотя бы один из односторонних пределов бесконечен, либо не существует.

 

Свойства функций, непрерывных на отрезке

Определение.Функция называется непрерывной на отрезке , если она определена для любого и непрерывна в каждой точке этого отрезка (в точке a справа, в точке b слева)



1. Теорема Вейерштрасса. Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на нем своей верхней грани и своей нижней грани.

2. Теорема Больцано – Коши. Если функция непрерывна на и , , то для любого , заключенного между и , существует хотя бы одна точка , такая что .

Следствие.Функция , непрерывная на отрезке и принимающая на концах отрезка значения разных знаков, хотя бы в одной точке внутри отрезка обращается в , .

3. Теорема «О непрерывности обратной функции».Если функция определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке , то обратная ей функция так же определена, непрерывна и строго монотонна на отрезке с концами в точках и .

Например, определена, непрерывна и строго возрастает на . , . Тогда обратная функция определена, непрерывна и строго возрастает на отрезке .

Производная функции, ее геометрический и механический смысл

Понятие производной

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки , обозначим приращение аргумента, тогда приращение функции в точке выразится формулой .

Определение. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к 0, если этот предел существует.

Производную функции в точке обозначают



или .

Производная функции , рассматриваемая на множестве тех точек, где она существует, сама является функцией и обозначается . Процесс нахождения производной называется дифференцированием.

Геометрически значение производной в точке равно тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой . .

Рис.1.1.

С точки зрения физики, производная является мгновенной скоростью изменения величины в точке при изменении величины . (Например, скорость неравномерного движения в каждый момент времени равна производной от функции пути по времени).


Просмотров 705

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!