Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Математический анализ. Дифференциальное исчисление



12. Понятие функции, способы задания функции. Область определения. Четные и нечетные, ограниченные, монотонные функции.

13. Основные элементарные функции и их графики.

14. Определение предела функции в точке и на бесконечности. Основные теоремы о пределах.

15. Бесконечно малые функции и их сравнение. Эквивалентные бесконечно малые функции.

16. Первый и второй замечательные пределы, следствия из них.

17. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Свойства функций, непрерывных в точке и на замкнутом промежутке.

18. Производная функции и ее геометрический смысл. Уравнение касательной к плоской кривой в заданной точке.

19. Дифференциал функции. Дифференцируемость функции одной переменной. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

20. Правила дифференцирования (производная суммы, произведения и частного двух функций).

21. Производная сложной функции. Таблица производных основных элементарных функций.

22. Теоремы Ролля и Лагранжа, их геометрическая интерпретация.

23. Раскрытие неопределенностей различных видов по правилу Лопиталя.

24. Достаточные признаки монотонности функции, выпуклости, вогнутости графика функции, наличия перегиба в точке.

25. Определение экстремума функции в точке. Необходимый и достаточный признаки наличия или отсутствия экстремума функции в точке.

26. Общая схема исследования функций и построения их графиков.

27. Функции многих переменных. Частные производные. Теорема о равенстве частных производных, отличающихся только порядком выполнения дифференцирования.

28. Полный дифференциал функции многих переменных, инвариантность формы записи. Частные производные неявно заданной функции.

29. Необходимое условие наличия экстремума функции многих переменных в точке.

30. Достаточные признаки наличия или отсутствия экстремума в точке для функций двух и трех переменных.

Интегральное исчисление

31. Понятие первообразной функции. Теорема о совокупности первообразных. Неопределенный интеграл, его свойства.



32. Метод замены переменной в неопределенном интеграле.

33. Метод интегрирования по частям. Основные типы интегралов, вычисляемых по частям.

34. Интегрирование рациональных дробей и рациональных тригонометрических функций.

35. Определенный интеграл как предел последовательности интегральных сумм. Свойства определенного интеграла, теорема о среднем.

36. Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона – Лейбница.

37. Методы замены переменной и интегрирования по частям в случае определенного интеграла.

38. Вычисление площади плоской фигуры и длины дуги кривой с помощью определенного интеграла.

39. Несобственные интегралы первого и второго рода, признаки сходимости.

40. Понятие двойного интеграла, его геометрический смысл, условия существования. Свойства двойного интеграла.

41. Метод вычисления двойного интеграла сведением его к интегралу повторному. Полярные координаты. Замена переменных в двойном интеграле.

42. Вычисление площадей плоской фигуры и поверхности с помощью двойного интеграла.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Понятие функции

Рассмотрим множество элементов и множество элементов .

Определение. Если каждому элементу ставится в соответствие по некоторому закону единственный элемент , то говорят, что на множестве задана функция со значениями в множестве .



Элементы - значения функции, элементы - значения аргумента. Множество – область определения функции, - множество значений функции. Если и – множества действительных чисел, то функцию называют действительной функцией одного аргумента.

- закон, по которому устанавливается соответствие элементов, чаще всего, задается аналитически, то есть с помощью формулы. Аналитически функция может быть задана:

- явно: когда формула разрешена относительно . Например, .

- неявно: когда формула не разрешена относительно . Например, .

- параметрически: когда и заданы в виде явных функций

параметра : . Например, .

Определение. Графиком функции называется множество точек плоскости с координатами .

Рассмотрим функцию с областью определения и множеством значений 1и функцию с областью определения 2иобластью значений .

Определение. Если область определения 2функции включает в себя множество значений 1функции , то говорят, что на множестве определена сложная функция c областью значений .

Например, , 1= и , 2=( ). Таким образом, - сложная функция.

Определение. Пусть - функция, имеющая областью определения множество D и областью значений множество Е, такова, что из условия следует , тогда каждому соответствует единственное значение , такое, что . Тем самым определена новая функция с областью определения Е и областью значений D. и называют взаимно обратными функциями.

Например, и .

Определение. Функция называется четной, если удовлетворяет условию и нечетной, если .

Определение. Функция называется периодической, если существует положительное число (период функции) такое, что для любого .

Определение. Функция называется строго возрастающей (убывающей) при , если для любых выполняется ( ). Строго возрастающая и строго убывающая функции называются строго монотонными.



Определение. Окрестностью точки называется любой открытый промежуток, содержащий эту точку. (эпсилон)- окрестностью точки называется промежуток длины с центром в точке .

 

Предел функции

Пусть переменная стремится к ( ), то есть принимает значения сколь угодно близкие к , но не равные ему.

Определение. Число А называют пределом функции в точке (при ), если для любого сколь угодно малого существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . При этом пишут

.

Если неограниченно возрастает, то говорят, что стремится к плюс бесконечности: ; если неограниченно убывает, то .

Определение. Число А называют пределом функции при ( ), если для любого сколь угодно малого существует такое положительное число M, что для всех , удовлетворяющих неравенству ( ) выполняется неравенство . При этом пишут

.

Определение. Число А называют правым односторонним пределом функции при , если для любого сколь угодно малого существует такое положительное число , что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство . Пишут

.

Аналогично определяется левый односторонний предел функции в точке.

 

Свойства пределов

1.Если в окрестности точки : , то .

2.Если существуют конечные пределы функций и в точке , то существуют пределы суммы, разности, произведения и частного этих функций (если ), причём

· ,

·

· ,

· .

3.Пусть существует предел и предел . Пусть в некоторой окрестности точки , за исключением, быть может, самой точки , тогда существует предел сложной функции

 

Замечательные пределы

При вычислении пределов функций удобно использовать, так называемые, замечательные пределы.

Первый замечательный предел:

.

Следствия: , , .

Замечание. Если непрерывная функция и , то справедливо .

 

Второй замечательный предел:

Следствия: , , , .

 

Замечание. Если непрерывная функция и , то справедливо: , , и .

 


Просмотров 357

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!