Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






ЗАГАЛЬНА СХЕМА ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЇ ТА ПОБУДОВИ ЇЇ ГРАФІКА



 

Нехай на відрізку задано неперервну функцію . Графіком цієї функції є деяка лінія. Існує кілька способів побудови графіку функції. Один з них ­– це побудова за точками. При цьому на площині хОу будується кілька точок, координати яких задовольняють рівняння , а потім ці точки сполучають плавною лінією. Зрозуміло, чим більше таких точок буде нанесено на площину, тим побудована лінія точніше відбиватиме графік функції . Проте при такій побудові графіка не відображується справжня поведінка функції. Так, на рис. 6.12 суцільною лінією зображено графік деякої функції, а пунктирною лінією – лінія, яка утворюється при сполученні семи точок площин хОу, які належать цьому графіку.

Рис. 6.12

Як бачимо, побудований і справжній графіки функції значно відрізняються. Крім того, при побудові графіка за точками ми не знаємо, в який бік напрямлено вгнутість кривої при переході від однієї точки до іншої.

Інакше кажучи, метод побудови графіка за точками не дає змоги виявити точки перегину кривої.

Отже, якщо знайти екстремальні точки та точки перегину кривої, то можна точніше побудувати графік функції. Тому, перш ніж будувати графік функції, треба дослідити цю функцію.

 

Загальна схема дослідження функції .

1. Знаходження області існування функції.

2. Знаходження точок перетину графіка з координатними осями.

Для цього треба розв¢язати дві системи рівнянь

Перша система дає точки перетину з віссю Ох, а друга – з віссю Оу.

3. Дослідження функції на періодичність, парність і непарність.

Таке дослідження полегшить побудову графіка, оскільки побудову доведеться виконувати не в усій області існування функції, а тільки в її частині.

Так, якщо – періодична функція з періодом Т > 0, то графік досить побудувати на відрізку числової прямої, довжина якого дорівнює Т, а потім цю частину графіка повторити на кожному відрізку довжини Т.

Якщо - функція парна, то її графік симетричний відносно осі Оу, а якщо - функція непарна, то графік функції симетричний відносно початку координат. Тому для таких функцій досить побудувати графік тільки при х ³ 0, а потім відповідним чином відобразити його і на множину від¢ємних значень х : у випадку парної функції дзеркально відобразити відносно осі Оу, а у випадку непарної функції повернути відносно початку координат .



4. Знаходження точок розриву функції та дослідження їх.

Характер точок розриву допоможе визначити вигляд графіка функції поблизу цих точок.

5. Знаходження значення функції на кінцях відрізків, де визначена функція.

Якщо область існування функції є інтервал (півінтервал) або кілька інтервалів (півінтервалів), то треба знайти граничне значення функції, коли х наближається до кожного з кінців таких проміжків.

6. Знаходження інтервалів монотонності функції.

7. Знаходження екстремальних точок і побудова їх на площині.

8. Знаходження інтервалів угнутості та опуклості кривої, яка є графіком функції.

9. Знаходження точок перегину і побудова їх на площині.

10. Знаходження асимптот графіка функції та побудова їх на площині .

11. Побудова графіка функції.

Іноді доцільно взяти декілька додаткових точок, крім тих, що були знайдені в ході дослідження функції.

 

Приклад8. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік :

.

Розв¢язання:

Досліджуємо задану функцію.

1. Функція є многочленом, область існування якого – вся множина дійсних чисел, тобто інтервал



2. Знаходимо точки перетину графіка з координатними осями. При перетині з віссю Ох (y=0) маємо .

Це рівняння дійсних коренів не має, тобто крива не перетинає вісь Ох.

Для знаходження точок перетину графіка з віссю Оу покладемо х = 0. Маємо у = 1. Отже, в точці графік заданої функції перетинає вісь Оу.

3. Функція неперіодична, але парна. У подальшому досліджуватимемо задану функцію тільки при х ³ 0.

4. Оскільки многочлен – це функція, неперервна на всій числовій прямій, то задана функція не має точок розриву.

5. Досліджуємо функцію на кінцях інтервалу. У точці х = 0 маємо

у = 1.

Знаходимо

6. Щоб знайти інтервали монотонності, треба розв¢язати нерівності . У точках, де , функція зростає, а де , функція спадає. Обчислимо:

Оскільки , то .Звідси

Отже, в інтервалі функція зростає, а в інтервалі – спадає.

7. Досліджуємо функцію на екстремум. Для цього прирівнюємо першу похідну до нуля:

Маємо стаціонарні точки: (від¢ємних значень х не розглядаємо). Точок, в яких не існує, немає. Далі знаходимо

 

Отже , x=0 є точкою локального максимуму, а - точка локального мінімуму, причому

 

Таким чином, точки , – екстремальні.

8. Знаходимо інтервали угнутості та опуклості графіка. Розв¢яжемо нерівність :

 

 

Отже, в інтервалі крива угнута, а в інтервалі опукла.

9. Знаходимо точки перегину. Для цього другу похідну прирівнюємо до нуля.

 

Беремо додатний корінь . При переході х через точку друга похідна змінює знак з – на + . Отже є абсцисою точки перегину, . Точка є точкою перегину кривої.

10. Знайдемо асимптоти заданої кривої.

Вертикальних асимптот немає. З¢ясуємо, чи є похила асимптота при . Обчислимо границю:



 

=

=

 

Отже, крива не має похилої асимптоти.

11. Графік заданої функції зображено на рис. 6. 13.

 

Рис. 6.13

 

Приклад 9. Провести повне дослідження функції та побудувати її графік :

.

Досліджуємо задану функцію.

1. Оскільки задана функція дробово-раціональна, то вона не існує в тих точках, де знаменник дорівнює нулю:

звідки х = .

Отже, область існування функції є

2. Знаходимо точки перетину графіка з координатними осями. Нехай у = 0, тоді х = 0. Нехай х = 0, тоді у = 0. Отже, графік перетинає координатні осі в точці О(0; 0), тобто проходить через початок координат.

3. Функція неперіодична. Проте вона непарна, тому розглядатимемо тільки

4. Оскільки чисельник і знаменник є многочлени, які неперервні на всій числовій прямій, то точкою розриву функції при є тільки одна точка

х = 1. Знайдемо односторонні границі

Отже, х = 1 є точка розриву другого роду і пряма х = 1 є вертикальною асимптотою.

5. Досліджуємо функцію на кінцях півінтервалу та інтервалу . У точках x=0 та х = 1 задану функцію вже досліджено. Знайдемо

6. Шукаємо інтервали монотонності функції. Маємо

Розв¢яжемо нерівність , тобто

Скоротивши на додатний множник , дістанемо

звідки (при цьому враховуємо, що та ).

Отже, в інтервалі функція зростає, а в інтервалах – спадає.

7. Досліджуємо функцію на екстремум. Розв¢яжемо рівняння , тобто

Маємо стаціонарні точки:

При переході х через точку похідна знака не змінює, а при переході х через точку похідна змінює знак з – на + . Тому не є екстремальною точкою, а є точкою локального мінімуму і

8. Знаходимо інтервали угнутості та опуклості графіка. Обчислюємо:

Розв¢язуємо нерівність , тобто

Скоротивши на додатний множник (враховуємо, що та ), дістаємо

Ця нерівність справджується при х > 1. Отже, в інтервалі крива угнута, а в інтервалі – опукла.

9. Знаходимо точки перегину. Розв¢язуємо рівняння , тобто

,

звідки .

При проходженні х через точку похідна змінює знак з + на –. Отже, точка О(0; 0) є точка перегину.

10. Знайдемо асимптоти заданої кривої . В пункті 4 ми з’ясували, що пряма х = 1 є вертикальною асимптотою. З¢ясуємо тепер, чи є похила асимптота при . Обчислимо границю:

Отже, k = 1, b = 0. Рівняння похилої асимптоти при : у = х.

11. Будуємо графік заданої функції (рис. 6. 14).

 

Рис. 6.14

 

ІНДИВІДУАЛЬНІ ЗАВДАННЯ

 

Завдання 1.

Знайти найбільше та найменше значення функцій на заданих відрізках:

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. ,

6. ,

7. ,

8. ,

9. ,

10. ,

11. ,

12. ,

13. ,

14. ,

15. ,

16. ,

17. ,

18. ,

19. ,

20. ,

21. ,

22. ,

23. ,

24. ,

25. ,

26. ,

27. ,

28. ,

29. ,

30. ,

Завдання 2.

Провести повне дослідження функцій та побудувати їх графіки:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Завдання 3.

Провести повне дослідження функцій та побудувати їх графіки:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

Завдання 4.

Провести повне дослідження функцій та побудувати їх графіки:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

 

СПИСОК ЛІТЕРАТУРИ

 

 

1. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление, т.1, 2. М.: Наука, 1982.

2. Кудрявцева В.А., Демидович В.П. Краткий курс высшей математики. – М.: Наука, 1969.

3. Овчинников П.Ф., Яремчук Ф.П., Михайленко В.М. Высшая математика. Ч.1, 2. – К.: Вища школа, 1987, 1989.

4. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том I. – М.: Наука, 1970. – 607 с.

5. Герасимчук В.С., Васильченко Г.С., Кравцов В.І. Вища математика. Повний курс у прикладах і задачах. - Київ, 2009.

6. Бронштейн И. Н., Семендяев К.А. Сравочник по математике для инженеров и студентов ВУЗов. – М.: Наука, 1986.

7. Запорожец Г.И. Руководство к решению задач по математическому анализу. – М.: Высш. шк., 1964. – 479 с.

8. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах. Ч. 1.– М.: Высш. шк., 1986. – 304 с.

 

 

ЗМІСТ

 

1. Зростання, спадання функції. Екстремальні точки………………………….3

2. Локальний екстремум функції………………………………………………..4

3. Знаходження найбільшого і найменшого значень функцій на відрізку…...7

4. Опуклість і угнутість кривих. Точки перегину……………………………..8

5. Асимптоти кривих……………………………………………………………11

6. Загальна схема дослідження функції та побудови її графіка……………...13

7. Індивідуальні завдання………………………………………………………19

Список літератури…………………………………………………….…………24


Просмотров 552

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!