Свойства определенного интеграла

1⁰. .

2⁰. .

3⁰. .

4⁰. Если функция f(x) – четная, то , если функция f(x) – нечетная, то .

Формула Ньютона-Лейбница. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] и F(x) – какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то имеет место следующая формула:

. (3.10)

Пример 3.10. Вычислить интегралы

а) , б) .

Решение.

а) ,

б) .

Пример 3.11. Вычислить определенные интегралы:

Решение. При вычислении данного интеграла, преобразуем подынтегральное выражение, разделив числитель на знаменатель почленно:

.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], а функция x=j(t) дифференцируема на отрезке [t₁,t₂], где a=j(t₁) и b=j(t₂), то имеет место формула, дающая возможность производить замену переменной в определённом интеграле:

. (3.11)

Пример 3.11. Вычислить определенный интеграл:

Решение. При вычислении данного интеграла применим метод замены переменной. Обратим внимание, что в определенных интегралах, кроме подынтегрального выражения, преобразуются также и пределы интегрирования (см. теорему выше). В этом случае

.

Теорема. Если функции u=u(x) и v=v(x) непрерывны вместе со своими производными на отрезке [a,b], то имеет место формула:

, (3.12)

которую называют формулой интегрирования по частям.

Пример 3.12. Вычислить определенный интеграл:

Решение. Применим метод интегрирования по частям:

.

3.3. Геометрические приложения определенных
интегралов

Пусть плоская фигура на отрезке [a,b] ограничена графиками двух функций y=f₁(x) и y=f₂(x), причем f₂(x)³f₁(x) (см. рис.). Тогда искомая площадь вычисляется по формуле:

. (3.13)

Пример 3.14. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж): .

Решение. Сделаем чертеж.

Определим координаты точек пересечения параболы и прямой, для этого решим совместно уравнения

.

Площадь фигуры ограниченной двумя линиями, сверху графиком функции y₁(x), а снизу – графиком функции y₂(x), вычисляется следующим образом:

Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением: r=r(j), a£j£b, причем функция r(j) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a,b]. Плоскую фигуру, ограниченную кривой r(j) и двумя лучами, оставляющими с полярной осью углы a и b, будем называть криволинейным сектором.

Площадь криволинейного сектора вычисляется по формуле:

. (3.14)

Пример 3.15. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями (сделать чертеж): .

Решение. Сделаем чертеж. Найдем область изменения исходной функции. Поскольку r²³0, то cos2j³0. Отсюда получаем

,

где kÎZ. Таким образом, данная кривая расположена в двух секторах.

Составим таблицу:

j		p/12	p/8	p/6	p/4
r2

После этого рисуем лучи по заданным углам к полярной оси и на них откладываем отрезки вычисленной длины. Далее плавно соединяем полученные точки. В результате должна получится фигура, расположенная в верхней полуплоскости.

.

РЯДЫ

Числовые ряды

Пусть a₁, a₂, … , a_n + … – бесконечная последовательность чисел, тогда формально записанное выражение

называется числовым рядом. Слагаемые a₁, a₂, … называются членами ряда, а a_n – общим членом ряда.

Числовой ряд называется сходящимся, если существует предел

, (4.1)

где – n-я частичная сумма ряда. S называется суммой ряда.

Необходимое условие сходимости ряда. Если числовой ряд сходится, то его общий член a_n стремится к нулю, т.е. .

Достаточное условие расходимости ряда. Если или этот предел не существует, то числовой ряд расходится.

Пример 4.1. Найти формулу общего члена ряда и проверить выполнимость необходимого условия сходимости для следующего ряда:

Решение. Запишем формулу общего члена ряда в виде

.

Как легко убедиться при n=1,2,3,4 будут получаться члены исходного ряда. Вычисляем предел

.

Таким образом, необходимое условие сходимости рядов не выполняется, следовательно, исходный ряд является расходящимся.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Первый признак сравнения. Если даны два ряда и , общие члены которых удовлетворяют соотношению , то из сходимости второго ряда следует сходимость первого ряда и из расходимости первого ряда следует расходимость второго ряда.

Второй (предельный) признак сравнения. Если даны два ряда и и существует конечный предел , отличный от нуля, то оба ряда сходятся и расходятся одновременно.

В качестве эталонного ряда часто берут ряд Дирихле , который сходится при a>1, и расходится при a£1.

Пример 4.2. Исследовать на сходимость следующий числовой ряд:

Решение. Рассмотрим ряд, полученный из старших членов числителя и знаменателя . Это будет ряд Дирихле с , который расходится. Применим предельный признак сравнения:

.

Поскольку эталонный ряд расходится, то и сравниваемый ряд также расходится.

Признак Даламбера. Пусть дан ряд и существует предел . Тогда если r>1, то ряд расходится, если r<1, то ряд сходится, если r=1, то ряд может сходиться и расходиться, т.е. требуется применить другой признак сходимости.

Отметим, что, как правило, признак Даламбера применяется для рядов, содержащих факториалы. Факториалом называется выражение .

Пример 4.3. Исследовать на сходимость следующий числовой ряд:

Решение. Применим к данному ряду признак Даламбера. Поскольку

, ,

.

Таким образом, исходный ряд является сходящимся.

Радикальный признак Коши. Пусть дан ряд и существует предел , тогда если r>1, то ряд расходится, если r<1, то ряд сходится, если r=1, то ряд может сходиться и расходиться, т.е. требуется применить другой признак сходимости.

Пример 4.4. Исследовать на сходимость следующий числовой ряд:

.

Решение. Применим к данному ряду признак Коши. Используя второй замечательный предел, получим

.

Следовательно, исходный ряд является сходящимся.

Признак Лейбница сходимости знакопеременных рядов. Если члены знакочередующегося ряда удовлетворяют условиям: 1) , 2) , то ряд сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена , т.е. .

Пример 4.5. Исследовать на сходимость числовой ряд:

.

Решение. Применим признак Лейбница. Для данного ряда

и выполняется условие , т.к. при больших n члены ряда a_n ведут себя как 2/n. Следовательно, исходный ряд является сходящимся.

Отметим, что соответствующий знакоположительный ряд

является расходящимся (его можно сравнить с расходящимся гармоническим рядом ). Такие ряды называются условно сходящимися.

Степенные ряды

Степенным рядом называется следующее выражение

(4.2)

Областью сходимости степенного ряда называется такие значения x, при которых получающиеся числовые ряды будут сходящимися. Для степенного ряда область сходимости будет иметь следующий вид

,

где R – радиус сходимости степенного ряда, который можно найти по одной из формул:

, . (4.3)

Пример 4.6. Найти радиус и интервал сходимости следующего степенного ряда, а также исследовать его на сходимость на концах интервала:

.

Решение. Найдем радиус сходимости степенного ряда:

.

Тогда область сходимости будет иметь вид (x₀–R, x₀+R), т.к. в нашем случае x₀=–7, то область сходимости будет иметь вид (–16; 2).

Исследуем теперь сходимость ряда на границах области сходимости, т.е. в точках
x=–16 и x=2. При x=–16 получается следующий числовой ряд

,

который сходится по признаку Лейбница. При x=2 получается числовой ряд

,

который является расходящимся, т.к. его можно сравнить с расходящимся гармоническим рядом . Итак, область сходимости исходного степенного ряда будет иметь окончательно следующий вид [–16; 2).

Если функция бесконечно число раз дифференцируема в окрестности точки x₀, то её можно разложить в ряд Тейлора:

(4.4)

Пример 4.7. Разложите данную функцию f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки x₀ (выпишете первых три ненулевых члена ряда):

.

Решение. Находим:

,	;		,	;
,	;		,	.

Таким образом, первых три ненулевых члена ряда Тейлора исходной функции будут иметь следующий вид

Ряд Тейлора в окрестности точки x₀=0 называется рядом Маклорена:

(4.5)