Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Схема исследования графика функции



I. а) Найти область определения функции.

б) Установить чётность, нечётность, периодичность функции.

в) Определить точки пересечения графика функции с осями координат.

г) Определить интервалы непрерывности функции и найти точки разрыва.

II. Определить интервалы монотонности графика функции и найти точки экстремума.

III. Определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и найти точки перегиба.

IV. Найти асимптоты графика функции.

V. Построить график функции.

Пример 2.9. Исследовать функцию методами дифференциального исчисления и, используя результаты исследования, построить ее график:

.

Решение. I. а) Данная функция имеет смысл при всех значениях x, кроме точки x=1, т.е. область определения данной функции

.

Заметим также, что функция может принимать только неотрицательные значения, т.е. y³0.

б) Данная функция является ни четной, ни нечетной, ни периодической, т.е. это функция общего вида.

в) При x=–1 функция будет равна нулю: y(–1)=0, т.е. график функции пересекает ось Ox в точке A(–1;0). При x=0 функция принимает значение y(0)=1, т.е. график функции пересекает ось Oy в точке B(0; 1).

г) Точка x=1 является точкой разрыва 2-го рода, причем

.

Следовательно, прямая x=1 является вертикальной асимптотой данной функции.

II. Исследуем функцию на экстремум и определим участки ее монотонности. Для этого вычислим производную:

Определим критические точки функции, т.е. точки в которых производная равна нулю или не существует. Это будут точки x1=–1, x2=1. Наносим эти точки на числовую ось и определяем знак производной на каждом из полученных интервалов. Поскольку при переходе через критическую точку x=–1 производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке имеется минимум: y(–1)=0. В точке x=1 производная также меняет знак, однако в этой точке нет экстремума, т.к. эта точка является точкой разрыва. На интервалах (–¥; –1) и (1;+¥) функция убывает, на интервале (–1; 1) – возрастает.

III. Исследуем функцию на выпуклость и вогнутость. Для этого вычислим производную второго порядка:



Определим критические точки 2-го порядка, т.е. точки в которых вторая производная равна нулю или не существует. Это будут точки x1=–2, x2=1. Нанесем эти точки на числовую ось и определим знак второй производной на каждом из полученных интервалов. Поскольку при переходе через критическую точку
x=–2 вторая производная меняет знак с минуса на плюс, то в этой точке имеется точка перегиба: y(–2)=1/9, т.е. точка P(1/9,–2). На интервале (–¥; –2) функция выпукла, на интервале (–2; +¥) – вогнута.

IV. Найдем уравнение наклонной асимптоты y=kx+b, где

, .

Таким образом, рассматриваемая функция имеет горизонтальную асимптоту, уравнение которой y=1.

V. Строим график функции. Построение начинаем с изображения асимптот, а также наносим точки экстремума, точки перегиба и точки пересечения с осями координат (см. рис.).

 
 

ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ

Неопределенные интегралы

Понятие интеграла, наряду с производной, является одним из основных в математическом анализе. Он играет большую роль в приложениях. Поэтому стоит более глубоко ознакомится с этим понятием по приведенной литературе.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x) на (a,b), если для любого . Если F1(x) и F2(x) две первообразные функции f(x), то , т.е. любые две первообразные одной и той же функции отличаются друг от друга на постоянную величину.



Совокупность всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) и обозначается символом , т.е.

. (3.1)

В этом равенстве f(x) называется подынтегральной функцией, а f(x)dxподынтегральным выражением.

Свойства неопределенных интегралов

1. , 4. ,
2. , 5. .
3. ,  

Таблица простейших интегралов

1. , 3. ,
2. , a¹1, 4. ,
2а. , 4а. ,
2б. , 5. ,
2в. , 6. ,

 

7. , 11. ,
8. , 12. ,
9. , 13. ,
10. , 14. .

Пример 3.1. Вычислить неопределенные интегралы:

а) , б) , в) , г) .

Решение. а) Используя свойства 3 и 4, получим

.

Далее, используя из таблицы интегралов формулы 2 и 4, находим

, .

Тогда

.

б) Используя свойство 5 и формулу 5, получим

.

в) Здесь используем формулу 3 с учётом свойства 5:

.

г) Запишем подынтегральную функцию следующим образом:

.

Тогда, с чётом формулы 12 и свойства 5, получаем

.

Метод замены переменной. Положим x=j(t), где j(t) – дифференцируемая функция. Учтём, что дифференциал вычисляется по формуле

.

Тогда справедлива следующая формула

. (3.2)

Пример 3.2. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод замены переменной:

а) б) .

Решение. а) При вычислении первого интеграла сделаем подстановку t=5–9lnx, в результате получим

.

б) При вычислении второго интеграла сделаем подстановку t=5+4x10, в результате получим

.

Метод интегрирования по частям. Если u(x) и v(x) – дифференцируемые функции, то справедлива формула

. (3.3)

Данную формулу интегрирования применяют обычно в тех случаях, когда функция u(x) упрощается при дифференцировании, а первообразная для функции v(x) легко находится.



Пример 3.3. Вычислить неопределенные интегралы, используя метод замены переменной:

а) б) .

Решение. а) При вычислении первого интеграла воспользуемся формулой интегрирования по частям:

.

б) При вычислении второго интеграла также воспользуемся формулой интегрирования по частям. В результате получим

.

Дробно-рациональной функцией (или рациональной дробью) называется выражение

.

Если n³m, дробь называется неправильной. Если n<m, дробь называется правильной. Любую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой части (т.е. многочлена) и правильной дроби.

Пример 3.4. Вычислить интеграл:

.

Решение. Выделим целую и дробную части рациональной дроби, для этого разделим столбиком два многочлена (числитель на знаменатель):

x+2
 
 
   
 
   
 
   
   
                     

В результате получаем

.

Любую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших дробей вида:

I. , III. ,
II. , IV. .

Чтобы правильную рациональную дробь представить в виде суммы простейших дробей, нужно сначала знаменатель разложить линейные и квадратичные множители вида (x+a) и . В зависимости от полученных множителей получается соответствующее разложение на сумму простейших дробей. Рассмотрим этот метод на конкретном примере.

Пример 3.5. Вычислить интеграл:

.

Решение. Разложим подынтегральную функцию, т.е. правильную рациональную дробь, на сумму простейших дробей:

.

Приведем правую часть равенства к общему знаменателю и приравняем числители левой и правой частей:

.

Чтобы найти неопределенные коэффициенты A, B, C, придадим переменной x три каких-либо значения (обычно выбирают такие значения, чтобы получались нулевые значения в правой части):

Таким образом,

.

Далее вычисляем исходный интеграл как сумму интегралов от простейших дробей:

.

При вычислении интегралов вида

,

следует преобразовать подынтегральную функцию, используя различные тригонометрические формулы.

Если хотя бы одно из чисел m или n – нечётное положительное, то применяют подстановку cosx=t, если n – нечётное и sinx=t, если m – нечётное. При этом используется основное тригонометрическое тождество:

. (3.4)

Пример 3.6. Вычислить интеграл:

.

Решение. Применяем подстановку sinx=t, cosxdx=dt:

.

Если m или n – чётные положительные числа, то применяются тригонометрические формулы понижения степени:

. (3.5)

Пример 3.7. Вычислить интеграл:

.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом

.

Если m+n – чётное отрицательное число, то применяют подстановку или .

Пример 3.8. Вычислить интеграл:

.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом

.

При вычислении интегралов вида

,

следует преобразовать подынтегральную функцию, используя следующие тригонометрические формулы:

, . (3.6)

Пример 3.9. Вычислить интеграл:

.

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение следующим образом

.

Определенные интегралы

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a,b]. Этот отрезок разделим на n произвольных, необязательно равных, частей:

a=x0 < x1 < ... < xn=b.

В этом случае говорят, что произведено разбиение отрезка [a,b]. На каждом участке разбиения [xi–1,xi] возьмем произвольную точку ci и вычислим значение функции f(x) в этих точках. Если умножить полученные значения функции f(ci) на длину соответствующего участка Dxi = xixi–1 и просуммировать все эти выражения, то получим сумму

, (3.7)

которая называется интегральной суммой функции f(x) на отрезке [a,b]. Обозначим через Dx =max Dxi.

Определение. Если предел последовательности интегральных сумм

. (3.8)

существует, т.е. конечен и не зависит от способа разбиения отрезка [a,b] и от выбора точек ci на соответствующих участках, то этот предел называется определенным интегралом функции f(x) на отрезке [a,b] и обозначается

. (3.9)

Здесь число a называется нижним пределом, число b называется верхним пределом интеграла.

Функция f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b], если для этой функции на указанном отрезке существует предел интегральных сумм, т.е. определенный интеграл. Необходимое условие интегрируемости: если функция f(x) интегрируема на отрезке [a,b], то она ограничена на этом отрезке. Достаточное условие интегрируемости: если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b], или имеет конечное число точек разрыва 1-го рода, то она интегрируема на этом отрезке.


Просмотров 305

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!