Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Свойства бесконечно-малых и бесконечно-больших величин



Математический анализ

 

Методические указания
к выполнению контрольных работ

Для студентов экономических специальностей
заочной и вечерней форм обучения

 

 

Красноярск 2004

 


УДК 512

 

Высшая математика: математический анализ (для студентов экономических специальностей заочной и вечерней форм обучения / Составитель О.В. Новоселов, Л.П. Скиба. Красноярск: СибГАУ, 2004. – 39 с.

 

© Сибирский государственный аэрокосмический университет, 2004


ОГЛАВЛЕНИЕ

Указания по выполнению контрольных работ. 4

Программа курса «Высшая математика». 5

1. ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ. 7

1.1. Функции. 7

1.2. Пределы.. 7

1.3. Непрерывность функции и точки разрыва. 11

2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 13

2.1. Производные функции одной переменной. 13

2.2. Производные функции нескольких переменных. 16

2.3. Правило Лопиталя. 17

2.4. Исследование функции методами дифференциального исчисления. 19

3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ. 23

3.1. Неопределенные интегралы.. 23

3.2. Определенные интегралы.. 28

3.3. Геометрические приложения определенных интегралов. 31

4. РЯДЫ.. 33

4.1. Числовые ряды.. 33

4.2. Степенные ряды.. 36

ЛИТЕРАТУРА.. 39

 


Указания по выполнению контрольных работ

Настоящие методические указания предназначены для студентов экономических специальностей, изучающих курс высшей математики по заочной форме обучения. Объём и содержание предлагаемого раздела «Математический анализ» определены программой курса, составленной в соответствии с ГОС Министерства образования РФ. Указанные указания не заменяют основную учебную литературу, а имеют своей целью помочь студенту-заочнику быстрее разобраться в материале, необходимом для выполнения контрольных работ и лучше усвоить наиболее сложные вопросы раздела. В указаниях приведены основные понятия и результаты, а также методика решения типовых задач изучаемого материала.

Студент должен выполнять один тот же вариант всех контрольных работ. Чтобы определить свой вариант, нужно разделить на 25 число, полученное отсечением двух цифр от номер студенческого билета (шифра), обозначающих год поступления в университет. Остаток от деления и есть номер вашего варианта. Если остаток равен нулю, то номер вашего варианта равен 25. Например, если шифр студента равен 23602, тогда остаток от деления 236 на 25 будет равен 11 и, следовательно, решать нужно вариант №11; если шифр студента равен 57501, тогда остаток от деления 575 на 25 будет равен 0 и, следовательно, решать нужно вариант №25.



При выполнении контрольных работ необходимо соблюдать следующие правила:

1. В начале работы разборчиво написать свою фамилию, инициалы, шифр, номер и вариант контрольной работы и дату отсылки ее в университет.

2. Каждую контрольную работу выполнять в отдельной тетради (или на белой бумаге формата А4), авторучкой или распечатанной на принтере с полями не менее 3 см для замечаний рецензента.

3. Решения задач располагать в порядке номеров, указанных в контрольных работах. В начале каждого решения записывать условие задачи (без сокращений).

4. Решения задач и объяснения к ним должны быть подробными, аккуратными, без сокращения слов. Обязательно, если требуется, выполнять чертежи с пояснениями и нарисованными аккуратно.

Контрольные работы, выполненные с нарушением изложенных правил или не своего варианта, не засчитываются и возвращаются без проверки.



Получив прорецензированную работу, студент обязан исправить в ней отмеченные ошибки и недочеты. Если работа не зачтена, ее необходимо в короткий срок либо выполнить заново (целиком), либо переделать задачи, указанные рецензентом. Исправленную работу следует посылать в университет вместе с незачтенной. Зачтенные контрольные работы предъявляются преподавателю при защите перед зачетом или экзаменом.

 

 


Программа курса «Высшая математика»

для экономических специальностей, раздел «Математический анализ»

Введение в математический анализ

1. Понятие функции одной переменной. Способы задания функции. Многозначные и однозначные функции. Область определения функции. Четные и нечетные, периодические и непериодические функции. Сложная функция. Композиция функций. Обратная функция.

2. Основные элементарные функции и их графики. Построение графиков элементарных функции при помощи линейных преобразований системы координат.

3. Понятие функции многих переменных. n-мерное координатное пространство. Область определения функции многих переменных.

4. Числовые последовательности. Способы их задания. Ограниченные и неограниченные последовательности. Монотонно возрастающие и убывающие последовательности. Предел числовой последовательности. Свойства пределов.

5. Предел функции в точке. Определение. Предел функции в бесконечно удаленной точке. Геометрический смысл этого предела.

6. Бесконечно большие и бесконечно малые величины. Взаимосвязь этих величин и их свойства. Сравнение бесконечно малых величин. Эквивалентные бесконечно малые величины и их применение для вычисления пределов.

7. Раскрытие неопределенностей вида , , .

8. Первый и второй замечательные пределы и их следствия.

9. Непрерывность функции одной переменной. Свойства непрерывных функций.



10. Односторонние пределы. Классификация точек разрыва.

Дифференциальное исчисление

1. Производная функции одной переменной. Физический и геометрический смысл производной. Эластичность и ее свойства.

2. Производные основных элементарных функций. Основные правила дифференцирования. Производная сложной и обратной функции. Логарифмическое дифференцирование.

3. Производная функции многих переменных. Частные производные.

4. Производные высших порядков функций одной и нескольких переменных.

5. Производные сложных функций многих переменных.

6. Производные функций, заданных неявно параметрически.

7. Теоремы о среднем: Ролля, Лагранжа, Коши.

8. Дифференциал функции одной переменной. Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции нескольких переменных. Свойства дифференциалов. Применение дифференциала для приближенных вычислений и оценки погрешности вычислений. Дифференцируемость функций. Дифференциалы высших порядков.

9. Правило Лопиталя.

10. Необходимое условие экстремума функции. Необходимые и достаточные условия монотонности функции. Достаточные условия экстремума функции.

11. Наибольшее и наименьшее значение функции на заданном отрезке.

12. Выпуклость и вогнутость функции. Точки перегиба. Необходимое и достаточное условия существования точек перегиба. Асимптоты функции. Вертикальные и наклонные асимптоты и способы их нахождения. Общая схема исследования функции и построения её графика.

Интегральное исчисление

1. Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица интегралов

2. Метод замены переменной и метод подведения под знак дифференциала вычисления неопределенных интегралов.

3. Метод интегрирования по частям вычисления неопределенных интегралов.

4. Алгебра многочленов. Основная теорема алгебры. Теорема Безу. Разложение многочлена на линейные и квадратные множители.

5. Разложение рациональных дробей на сумму простейших дробей. Метод неопределенных коэффициентов.

6. Интегрирование дробно-рациональных функций. Интегрирование простейших дробей 1-го, 2-го и 3-го типа. Интегрирование простейших выражений, содержащих квадратный трехчлен.

7. Интегрирование в тригонометрических выражений вида R(sinx,cosx). Универсальная подстановка. Интегрирование тригонометрических выражений вида cosmxsinnx.

8. Интегральные суммы. Определение определенного интеграла. Физический, геометрический и экономический смысл определенного интеграла. Свойства определенных интегралов.

9. Формула Ньютона-Лейбница и её применение для вычисления определённых интегралов. Метод замены переменной в определенном интеграле. Метод интегрирования по частям в определенном интеграле.

10. Применение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.

11. Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.

Ряды

1. Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Необходимое условие сходимости рядов. Свойства сходящихся рядов.

2. Ряды с положительными членами. Признаки сходимости знакоположительных рядов: признаки сравнения, признаки Даламбера и Коши, интегральный признак.

3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимости. Теорема Лейбница для знакочередующихся числовых рядов.

4. Функциональные ряды. Область сходимости, методы её определения. Равномерная сходимость. Свойства равномерно сходящихся рядов.

5. Степенные ряды. Терема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда.

6. Разложение функций в степенные ряды. Формула Тейлора.

7. Формула Маклорена. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

8. Применение степенных рядов в приближённых вычислениях.

 

 


ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ

Функции

Функция является основным объектом исследования в математическом анализе. Поэтому рекомендуем более глубоко ознакомиться с этим понятием, например, обратиться к литературе, приведенной в конце методических указаний.

При построении графика воспользуемся следующими правилами. Пусть известен график функции y=f(x), тогда график функции:

1. y1=f(–x) есть зеркальное отражение относительно оси Oy,
2. y2=–f(x) есть зеркальное отражение относительно оси Ox,
3. y3=f(x–a) есть смещение вдоль оси Ox на величину a,
4. y4=f(x)+b есть смещение вдоль оси Oy на величину b,
5. y5=f(ax) есть сжатие (a>1) или растяжение (a<1) вдоль оси Ox в a раз,
6. y6=bf(x) есть растяжение (b>1) или сжатие (b<1) вдоль оси Oy в b раз.

Отметим, что вместо смещения графиков вдоль координатных осей можно смещать сами оси координат, но только в противоположную сторону.

Пример 1.1. Используя элементарные преобразования графиков, построить график функции y = 1–2cos3x.

Решение. График исходной функции можно построить в четыре этапа:

1) строим график синусоиды y1=cosx;

2) сжимаем график в 3 раза вдоль оси Ox: y2=cos3x;

3) увеличиваем амплитуду синусоиды в 2 раза и переворачиваем график вокруг оси Ox на 1800: y3=–2cos3x;

4) смещаем график y3 на 1 ед. вверх или опускаем ось Ox на 1 ед. вниз, в результате получим с графиком исходной функции y.

Пределы

Понятие предела является одним из фундаментальных понятий математики. Для более глубокого ознакомления с этим понятием мы рекомендуем обратиться к литературе, приведенной в конце методических указаний.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окрестности точки a. Число A называется пределом функции f(x) при x®a, если для любого сколь угодно малого e>0 существует такое d>0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |x–a|<d, имеет место неравенство |f(x)–A|<e. Обозначается

.

Аналогичные определения можно дать, когда a или A равны нулю или бесконечности.

Функция a(x) называется бесконечно малой в окрестности точки a, если

.

Функция A(x) называется бесконечно большой в окрестности точки a, если

.

Свойства бесконечно-малых и бесконечно-больших величин

Пусть C¹0 и a, b и g – бесконечно-малые величины, то

1. , ;

2.. a+b=g, ¥+¥=¥, ¥±C=¥;

3. a×b=g, a×C=b или 0×C=0, ¥×¥=¥, ¥×C=¥.

Свойства пределов

1. ,

2. ,

3. ,

4. ,

5. , если ,

6. .

При вычислении пределов встречаются два случая.1) Функция f(x) определена в предельной точке a, тогда

.

2) Функция f(x) не определена в предельной точке a. В этом случае мы будем иметь дело с т.н. неопределенностями: и т.п. Раскрытие (устранение) неопределенностей составляется основное содержание предлагаемых задач.

Раскрытие неопределенностей вида . Рассмотрим пределы вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. В этом случае можно воспользоваться следующей теоремой: сумма конечного числа бесконечно больших функций различных порядков эквивалентна слагаемому высшего порядка.

Пример 1.2. Вычислить пределы:

а) б) .

Решение. а) Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Тогда используя последнюю теорему, получим

б) Здесь мы имеем с неопределенностью вида ¥–¥. Умножим и разделим данное выражение на точно такое же, но со знаком плюс между слагаемыми (на сопряженное выражение):

.

В результате получилась неопределенность типа . Далее поступаем также как в предыдущем примере:

.

Раскрытие неопределенностей вида . Рассмотрим пределы вида , где P(x) и Q(x) – многочлены. В этом случае числитель и знаменатель можно разложить на множители

.

Пример 1.3. Вычислить пределы:

а) б) .

Решение. а) Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Разложим данное выражение на множители, а затем сократим дробь на x–1¹0 (x®1, но x¹1):

.

б) Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Умножим числитель и знаменатель на точно такое же выражение, стоящее в знаменателе, но со знаком плюс между слагаемыми:

.

Первый замечательный предел:

. (1.1)

Из этого предела также вытекает

, , . (1.2)

Второй замечательный предел:

. (1.3)

Второй замечательный предел имеет место при неопределенности вида 1¥. Его также записывают в виде

. (1.4)

Из второго замечательно предела вытекает

, . (1.5)

При вычислении пределов вида можно использовать метод эквивалентных бесконечно малых величин. Две бесконечно малые величины a(x) и b(x) называются эквивалентными в окрестности точки x0, если

.

В этом случае пишут a(x)~b(x). Тогда в вычислениях пределов вместо одной бесконечно-малой величины можно брать другую эквивалентную бесконечно-малую величину.

Таблица эквивалентностей

Пусть a(x) – бесконечно-малая величина в окрестности точки x0. Тогда

1. , 2. , 3. ,
4. , 5. , 6. .

Пример 1.4. Вычислить пределы:

.

Решение. Используя метод эквивалентных бесконечно-малых величин, получаем

.

При использовании второго замечательного предела воспользуемся следующим равенством:

, (1.6)

где f(x)®0, g(x)®¥ при x®x0.

Пример 1.5. Вычислить пределы:

а) б) .

Решение. а) Здесь мы имеем с неопределенностью вида . Преобразуем выражение в скобках

.

Далее, используя равенство (1.1), получим

.

б) Здесь мы также имеем с неопределенностью вида . Представим исходный предел следующим образом:

.

Учитывая (1.1), где и , получим

.


Просмотров 847

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!