Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ



Если возможные значения дискретной случайной величины X неотрицательны и существует ее математическое ожидание M(X)= а , то для любого числа A>0 справедливо неравенство

(9.1)

В этом случае выполняется неравенство (9.2)

Неравенства (9.1) и (9.2) называют неравенствами Маркова

Если X – случайная величина, математическое ожидание которой M(X)= а,

а дисперсия D(X) конечна, то для любого числа e> 0 выполняются неравенство:

(9.3)

(9.4)

Теорема Чебышева. Если случайные величины X1, X2 ,…Xn независимы, имеют математическое ожидание M(Xi) и дисперсии D(Xi) , ограниченные одним и тем же числом С , то для любого числа e> 0 выполняется неравенство

. (9.5)

Отсюда следует, что

. (9.6)

Если все случайные величины Xi (i=1,2,3,…n) имеют одно и то же математическое ожидание M(Xi) =а (i=1,2,…,n) , то неравенство (9.5) принимает вид

(9.7)

переходя к пределу при n → ∞ , отсюда получают

(9.8)

Теорема Бернулли. Если в каждом из независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна , то вероятность того что отклонение частоты т/п от вероятности p по модулю не превзойдёт числа e > 0 , больше чем разность 1-pq/ n e ² , т.е

. (9.9)

Отсюда следует, что

. (9.10)

Теорема Чебышева. Если в каждом из независимых испытаний вероятность p появления события A постоянна , то вероятность того что отклонение частоты т/п от вероятности p по модулю не превзойдёт числа e > 0 , больше чем разность 1-pq/ n e ² , т.е.

. (9.11)

Пример 1. Для случайной величины Х известна дисперсия D(X)=0,01 и неравенство . Найти значение e.

Решение. Согласно формуле (9.4) получаем . По условию .

Из этих двух равенств следует, что

Ответ : e³0,5.

Пример 2. Найти вероятность того, что частота появления шестерки в 10000 независимых подбрасываниях интегрального кубика отклоняется от вероятности появления шестерки по модулю меньше чем на 0,01.

Решение. Воспользуемся неравенством (9.5). В данном случае п=1000, р=1/6, q=5/6, поэтому



.

Ответ : 0,86.

Пример 3.При каком числе независимых испытаний вероятность выполнения неравенства превысит 0,96, если вероятность появления события в отдельном испытании р=0,7?

Решение.По условию задачи имеем: e=0,2, р=0,7, поэтому q=0,3; требуется определить п с помощью неравенства (9.5). Условие P>0,96 равносильно неравенству При подстановке значений р=0,7, q=0,3 и e=0,2 в последнее неравенство находим, что Следовательно, требуемое неравенство выполняется при числе независимых испытаний, начиная со 132.

Ответ : n≥132.

Задачи.

350. Среднее число молодых специалистов, ежегодно направляемых в аспирантуру, составляет 200 человек. Оценить вероятность того, что в данном году будет направлено в аспирантуру не более 220 молодых специалистов.

Ответ: Р³0,909.

351. Оценить вероятность того, что при 3600 независимых подбрасываниях игрального кубика число появлений 6 очков будит не меньше 900.

Ответ: Р³ 2/3.

352. Случайная величина Х имеет дисперсию D(X)=0,001. Какова вероятность того, что случайная величина Х отличается от М(Х)=а более чем на 0,1?

Ответ: 0,1.

353. Случайная величина Х имеет дисперсию D(X)=0,004. Найти вероятность того, что случайная величина Х отличается от М(Х) более чем на 0,2.

Ответ: 0,1.

354. Для случайной величины Х имеет дисперсию D(X)=0,009 и неравенство



Найти число e.

Ответ: e³0,3.

355. Среднее значение длины детали равно 50 см., а дисперсия равна 0,1. Найти вероятность того, что изготовленная деталь окажется по своей длине не меньше 49,5см. и не больше 50,5см.

Ответ: Р=0,6.

356. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75. Оценить вероятность того, что из посеянных 1000 семян число взошедших окажется от 700 до 800 включительно.

Ответ: Р³0,925.

357. Вероятность производства нестандартной детали в некоторых технологических условиях равна 0,1. Оценить вероятность того, что нестандартных деталей среди 10000 будет заключено в границах от 950 до 1030 включительно.

Ответ: Р=0,64.

358. Вероятность наступления события А в каждом из 100 независимых опытов равна 0,8. Найдите вероятность того, что число наступлений событий А этих 1000 опытах отклонится от своего математического ожидания по модулю меньше, чем на 50.

Ответ: 0,936.

359. Вероятность появления события А в каждом испытании р = ½. Используя неравенство Чебышева оцените вероятность того, что число Х появлений события А заключено в пределах от 40 до 60, если будет произведено сто независимых испытаний.

Ответ: p³0,75.

360. Используя неравенство Чебышева, оцените вероятность того, что

, если D(X)=0,004.

Ответ: Р³0,9

361. Оценить вероятность того, что некоторая случайная величина Х отклонится от своего математического ожидания на 3s, где s - среднее квадратическое отклонение.

Ответ: P>8/9.

362. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, гарантировать отклонение средней арифметической измерений от математического ожидания не более, чем на 1 мм, если в результате предыдущих измерений было установлено, что среднее квадратическое отклонение равно 5 мм.

Ответ: п³ 500.



363. Сумма вкладов в некоторую сберкассу составляет 20 млн. руб., а вероятность того, что случайно взятый вклад не превышает 100 тыс. руб. равна 0,8. Что можно сказать о числе вкладов этой сберкассы?

Ответ: п³ 1000.

364. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением s =0,03.

Ответ: п³ 3334.

365. При изготовлении некоторых деталей брак составляет 1%. Оценить вероятность того, что при просмотре партии в 1000 шт. выявляется отклонение доли бракованных деталей от установленного процента брака меньше, чем на 0,5%.

Ответ: Р³ 500.

366. Вероятность, того, что покупатель, вошедший в магазин, приобретает обувь размера 41, равна 0,25. Найти вероятность, превышающей 0,95, границы, в которых должно находиться число покупателей, купивших обувь размера 41, из каждого 1000 человек, вошедших в магазин.

Ответ: 189 £ т £ 34.

367. Вероятность выпуска нестандартной радиолампы равна 5%. Оценить нижнюю границу вероятности того, что в партии из 1000 радиоламп число нестандартных отличается от 50 не более, чем на 10.

Ответ: Р³ 0,525.

368. Установить, применим ли закон больших чисел для средней арифметической п независимых случайных величин xi (I=1,2…).

хi -2 -1 0 2
Pi 0,1 0,2 0,3 0,4

 

Ответ: Применим.

369. Случайные величины xk распределены по закону

xki -1 0 1
Pi 0,2 0,6 0,2

Можно ли считать, что сумма п таких величин при п®¥ подчинится нормальному закону?

Ответ: Можно.

370. С вероятностью 0,2 изделие имеет дефект. В каких границах число бракованных изделий в партии из 1000 шт., если на вероятность фактической доверенности принять 0,99? (Решить эту же задачу, используя интегральную формулу Муавре - Лапласа).

Ответ: 0 £ т £ 13.

371. В результате изнашивания орудия при каждом выстреле уменьшается вероятность попадания в цель на 0,1 %. При первом выстреле этой вероятности равно 0,9. Найти границы числа попаданий при 100 выстрелах, которые гарантируются с вероятностью не меньше, чем 0,9.

Ответ: 68£ т £ 93.

372. Сколько нужно произвести испытаний, чтобы с вероятностью, не менее 0,95, гарантировать отклонение средней арифметической измерений от математического ожидания, не более чем на 1, если в результате предыдущих измерений найдено среднее квадратическое отклонение s = 5.

Ответ: п³ 500.

373. Среднее значение расхода воды в населенном пункте составляет 50000 л. в день. Оценить вероятность того, что в этом населенном пункте расход воды не будет превышать 120000л. в день.

Ответ: Р£ 0,42.

374. Вероятность поражения цели равна 0,7 при каждом из 500 независимых выстрелов. Оценить вероятность того, что цель будет поражена не менее 310 и не более 390 раз.

Ответ: Р³ 0,93.

375. Средний урожай пшеницы в регионе составил 28 ц/Га. Оценить вероятность того, что на удачу взятого гектара урожайность превысит 30ц.

Ответ: Р£ 0,93.

376. Среднее количество вызовов наладчика станков, поступающих в течении часа в диспетчерскую равно 21. Оценить вероятность того, что в течении часа поступит: а) не более 35 вызов; б) больше 60.

Ответ: а) Р£ 0,4, б) Р£ 0,35.

377. Электрическая подстанция обслуживает сеть с 10000 ламп, вероятность включения каждой из которых вечером равна 0,6. Оценить вероятность того, что число одновременно включенных ламп будет от 590 до 600 включительно.

Ответ: Р= 0,76.

378. Среднее изменение курса акций компании в течении одних биржевых торгов составляет 0,3 %. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более, чем на 3%.

Ответ:Р£ 0,1.

379. Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: а) не более 200 клиентов; б) более 150 клиентов.

Ответ: а)Р³ 0,5 б) Р£ 2/3.

380. Электростанция обслуживает сеть на 1600 электроламп, вероятность включения каждой из которой вечером равна 0,9. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что число ламп, включенных в сеть вечером, отличаются от своего математического ожидания не более чем на 100 (по абсолютной величине). Найти вероятность того же события, используя следствие из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Ответ:Р³ 0,9856, Р»1.

381. Вероятность того, что акции, переданные на депозит, будут востребованы, равна 0,08. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что среди 1000 клиентов от 70 до 90 востребуют свои акции.

Ответ:Р³ 0,264.

382. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более двух средних квадратических отклонений (по абсолютной величине).

Ответ:Р³ 0,75.

383. В течение времени t эксплуатируются 500 приборов. Каждый прибор имеет надежность 0,98 и выходит из строя независимо от других. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что доля надежных приборов отличается от 0,98 не более чем на 0,1 (по абсолютной величине).

Ответ:Р³ 0,996.

384. Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74.

Ответ:Р³ 0,9344.

385. Бензоколонка заправляет легковые и грузовые автомобили. Вероятность того, что проезжающий легковой автомобиль подъедет на заправку, равна 0,3. С помощью неравенства Чебышева найти границы, в которых с вероятностью, не меньше 0,79, находится доля заправившихся в течении 2-х часов легковых автомобилей, если за это время всего заправилось 100 автомобилей.

Ответ:0,2£ w£ 0,4.

386.В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона – беззаботные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9% до 11% (включительно).

Ответ:Р³ 0,91.

387. Выход цыплят в инкубаторе составляет в среднем 70% число заложенных яиц. Сколько нужно заложить яиц, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,95, ожидать, что отклонение числа вылупившихся цыплят от математического ожидания их не превышало 50 (по абсолютной величине)? Решить задачу с помощью: а) неравенства Чебышева; б) интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Ответ: а)п£ 595, б) п£ 122.

388. Опыт работы страховой компании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый 5-й договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,1 не более чем на 0,01 (по абсолютной величине). Уточнить ответ с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Ответ:п³ 16000; п» 4330.

389. В целях контроля из партии в 100 ящиков взяли по 1-й детали из каждого ящика и измерили их длину. Требуется оценить вероятность того, что вычисленная по данной выборке средняя длина детали отличается от средней длины детали во всей партии не более чем на 0,3 мм, если известно, что среднее квадратическое отклонение не превышает 0,8 мм.

Ответ:Р³ 0,929.

390. Сколько нужно произвести измерений, чтобы с вероятностью, равной 0,9973, утверждать, что погрешность средней арифметической результатов этих измерений не превысит 0,01, если измерение характеризуется средним квадратическим отклонением, равным 0,03?

Ответ:п³ 3333.

 

391.Средний вес клубня картофеля равен 120г. Какова вероятность того, что наугад взятый клубень картофеля весит не более 360г.?

Ответ:2/3

392. Случайная величина X имеет дисперсиею D(X)=0,001. Какова вероятность того, что случайная величина X отличается от M(X)=a более чем на 0,1

Ответ: 0,1

393. Случайная величина X имеет дисперсиею D(X)=0,004. Найти вероятность того, что случайная величина X отличается от M(X) более чем на 0,2

Ответ: 0,1

394. Для случайной величины X известна дисперсия D(X)= 0,009 и неравенство P(|‌‌ ‌X-M(X)|≥a) Найти число a .

Ответ: a≥0,3

395. Среднее значение длины детали равно 50см , а дисперсия равна 0,1 . Оценить среднею вероятность того ,что изготовленная деталь окажется по своей длине не меньше 49,5см и не больше 50,5см.

Ответ: 0,6

396. Всхожесть семян некоторой культуры равна 0,75 . Оценить вероятность того, что из посеянных 1000 семян число взошедших окажется от 700 до 800 включительно.

Ответ: P(|‌‌ ‌X-750|≤50) ≥0,925

397. Вероятность производства нестандартной детали в некоторых технологических условиях равна 0,1 . Оценить вероятность того ,что число нестандартных деталей среди 10000 будет заключено в границах от 950 до 1030 включительно .

Ответ: 0,64

398. Вероятность наступления события А в каждом из 100 независимых опытов равна 0,8. Найдите вероятность того, что число наступления события А в этих 1000 опытах отклонится от своего математического ожидания по модулю меньше чем на 50.

Ответ: 0,936

399. Среднее число дождливых дней в году в данном пункте равно 90 . Какова вероятность того, что в этом пункте будет более 150 дождливых дней в году ?

Ответ: 0,6

400. Оценить вероятность того, что отклонение любой случайной величины от ее математического ожидания будет не более двух средних квадратических отклонений (по абсолютной величине)

Ответ: Р≥0,75

401. Измеряется скорость ветра в данном пункте Земли. Случайная величина Х проектная вектора скорости ветра на фиксированное направление. Оценить вероятность того ,что скорость ветра не превзойдёт 16 м/с , если путём многолетних измерений установлено что среднее значение скорости ветра 6 м/с

Ответ: P(Х≤16) ≥0,625

 


Таблица значений плотности распределения

x
0,0 0,398942 0,398922 0,398862 0,398763 0,398623 0,398444 0,398225 0,397966 0,397668 0,397330
0,1 0,396953 0,396536 0,396080 0,395585 0,395052 0,394479 0,393868 0,393219 0,392531 0,391806
0,2 0,391043 0,390242 0,389404 0,388529 0,387617 0,386668 0,385683 0,384663 0,383606 0,382515
0,3 0,381388 0,380226 0,379031 0,377801 0,376537 0,375240 0,373911 0,372548 0,371154 0,369728
0,4 0,36827 0,366782 0,365263 0,363714 0,362135 0,360527 0,358890 0,357225 0,355533 0,353812
0,5 0,352065 0,350292 0,348493 0,346668 0,344818 0,342944 0,341046 0,339124 0,337180 0,335213
0,6 0,333225 0,331215 0,329184 0,327133 0,325062 0,322972 0,320864 0,318737 0,316593 0,314432
0,7 0,312254 0,310060 0,307851 0,305627 0,303389 0,301137 0,298872 0,296595 0,294305 0,292004
0,8 0,289692 0,287369 0,285036 0,282694 0,280344 0,277985 0,275618 0,273244 0,270864 0,268477
0,9 0,266085 0,263688 0,261286 0,258881 0,256471 0,254059 0,251644 0,249228 0,246809 0,24439
1,0 0,241971 0,239551 0,237132 0,234714 0,232297 0,229882 0,227470 0,22506 0,222653 0,220251
1,1 0,217852 0,215458 0,213069 0,210686 0,208308 0,205936 0,203571 0,201214 0,198863 0,196520
1,2 0,194186 0,19186 0,189543 0,187235 0,184937 0,182649 0,180371 0,178104 0,175847 0,173602
1,3 0,171369 0,169147 0,166937 0,164740 0,162555 0,160383 0,158225 0,15608 0,153948 0,151831
1,4 0,149727 0,147639 0,145564 0,143505 0,14146 0,139431 0,137417 0,135418 0,133435 0,131468
1,5 0,129518 0,127583 0,125665 0,123763 0,121878 0,120009 0,118157 0,116323 0,114505 0,112704
1,6 0,110921 0,109155 0,107406 0,105675 0,103961 0,102265 0,100586 0,098925 0,097282 0,095657
1,7 0,094049 0,092459 0,090887 0,089333 0,087796 0,086277 0,084776 0,083293 0,081828 0,08038
1,8 0,07895 0,077538 0,076143 0,074766 0,073407 0,072065 0,070740 0,069433 0,068144 0,066871
1,9 0,065616 0,064378 0,063157 0,061952 0,060765 0,059595 0,058441 0,057304 0,056183 0,055079
2,0 0,053991 0,052919 0,051864 0,050824 0,04980 0,048792 0,047800 0,046823 0,045861 0,044915
2,1 0,043984 0,043067 0,042166 0,041280 0,040408 0,039550 0,038707 0,037878 0,037063 0,036262
2,2 0,035475 0,034701 0,033941 0,033194 0,03246 0,031740 0,031032 0,030337 0,029655 0,028985
2,3 0,028327 0,027682 0,027048 0,026426 0,025817 0,025218 0,024631 0,024056 0,023491 0,022937
2,4 0,022395 0,021862 0,021341 0,020829 0,020328 0,019837 0,019356 0,018885 0,018423 0,017971
2,5 0,017528 0,017095 0,016670 0,016254 0,015848 0,015449 0,015060 0,014678 0,014305 0,01394
2,6 0,013583 0,013234 0,012892 0,012558 0,012232 0,011912 0,011600 0,011295 0,010997 0,010706
2,7 0,010421 0,010143 0,009871 0,009606 0,009347 0,009094 0,008846 0,008605 0,00837 0,00814
2,8 0,007915 0,007697 0,007483 0,007274 0,007071 0,006873 0,006679 0,006491 0,006307 0,006127
2,9 0,005953 0,005782 0,005616 0,005454 0,005296 0,005143 0,004993 0,004847 0,004705 0,004567
3,0 0,004432 0,004301 0,004173 0,004049 0,003928 0,003810 0,003695 0,003584 0,003475 0,00337
3,1 0,003267 0,003167 0,00307 0,002975 0,002884 0,002794 0,002707 0,002623 0,002541 0,002461
3,2 0,002384 0,002309 0,002236 0,002165 0,002096 0,002029 0,001964 0,001901 0,001840 0,001780
3,3 0,001723 0,001667 0,001612 0,001560 0,001508 0,001459 0,001411 0,001364 0,001319 0,001275
3,4 0,001232 0,001191 0,001151 0,001112 0,001075 0,001038 0,001003 0,000969 0,000936 0,000904
3,5 0,000873 0,000843 0,000814 0,000785 0,000758 0,000732 0,000706 0,000681 0,000657 0,000634
3,6 0,000612 0,00059 0,000569 0,000549 0,000529 0,000510 0,000492 0,000474 0,000457 0,000441
3,7 0,000425 0,000409 0,000394 0,000380 0,000366 0,000353 0,000340 0,000327 0,000315 0,000303
3,8 0,000292 0,000281 0,000271 0,000260 0,000251 0,000241 0,000232 0,000223 0,000215 0,000207
3,9 0,000199 0,000191 0,000184 0,000177 0,000170 0,000163 0,000157 0,000151 0,000145 0,000139
4,0 0,000134 0,000129 0,000124 0,000119 0,000114 0,000109 0,000105 0,000101 0,000097 0,000093

 

 

Таблица значений функции Лапласа

x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x) x Ф(x)
0,00 0,00000 0,50 0,19146 1,00 0,34134 1,50 0,43319 2,00 0,47725 3,00 0,49865
0,01 0,00399 0,51 0,19497 1,01 0,34375 1,51 0,43448 2,02 0,47831 3,05 0,49886
0,02 0,00798 0,52 0,19847 1,02 0,34614 1,52 0,43574 2,04 0,47932 3,10 0,49903
0,03 0,01197 0,53 0,20194 1,03 0,34849 1,53 0,43699 2,06 0,48030 3,15 0,49918
0,04 0,01595 0,54 0,20540 1,04 0,35083 1,54 0,43822 2,08 0,48124 3,20 0,49931
0,05 0,01994 0,55 0,20884 1,05 0,35314 1,55 0,43943 2,10 0,48214 3,25 0,49942
0,06 0,02392 0,56 0,21226 1,06 0,35543 1,56 0,44062 2,12 0,48300 3,30 0,49952
0,07 0,02790 0,57 0,21566 1,07 0,35769 1,57 0,44179 2,14 0,48382 3,35 0,49960
0,08 0,03188 0,58 0,21904 1,08 0,35993 1,58 0,44295 2,16 0,48461 3,40 0,49966
0,09 0,03586 0,59 0,22240 1,09 0,36214 1,59 0,44408 2,18 0,48537 3,45 0,49972
0,10 0,03983 0,60 0,22575 1,10 0,36433 1,60 0,44520 2,20 0,48610 3,50 0,49977
0,11 0,04380 0,61 0,22907 1,11 0,36650 1,61 0,44630 2,22 0,48679 3,55 0,49981
0,12 0,04776 0,62 0,23237 1,12 0,36864 1,62 0,44738 2,24 0,48745 3,60 0,49984
0,13 0,05172 0,63 0,23565 1,13 0,37076 1,63 0,44845 2,26 0,48809 3,65 0,49987
0,14 0,05567 0,64 0,23891 1,14 0,37286 1,64 0,44950 2,28 0,48870 3,70 0,49989
0,15 0,05962 0,65 0,24215 1,15 0,37493 1,65 0,45053 2,30 0,48928 3,75 0,49991
0,16 0,06356 0,66 0,24537 1,16 0,37698 1,66 0,45154 2,32 0,48983 3,80 0,49993
0,17 0,06749 0,67 0,24857 1,17 0,37900 1,67 0,45254 2,34 0,49036 3,85 0,49994
0,18 0,07142 0,68 0,25175 1,18 0,38100 1,68 0,45352 2,36 0,49086 3,90 0,49995
0,19 0,07535 0,69 0,25490 1,19 0,38298 1,69 0,45449 2,38 0,49134 3,95 0,49996
0,20 0,07926 0,70 0,25804 1,20 0,38493 1,70 0,45543 2,40 0,49180 4,00 0,49997
0,21 0,08317 0,71 0,26115 1,21 0,38686 1,71 0,45637 2,42 0,49224 4,05 0,49997
0,22 0,08706 0,72 0,26424 1,22 0,38877 1,72 0,45728 2,44 0,49266 4,10 0,49998
0,23 0,09095 0,73 0,26730 1,23 0,39065 1,73 0,45818 2,46 0,49305 4,15 0,49998
0,24 0,09483 0,74 0,27035 1,24 0,39251 1,74 0,45907 2,48 0,49343 4,20 0,49999
0,25 0,09871 0,75 0,27337 1,25 0,39435 1,75 0,45994 2,50 0,49379 4,25 0,49999
0,26 0,10257 0,76 0,27637 1,26 0,39617 1,76 0,46080 2,52 0,49413 4,30 0,49999
0,27 0,10642 0,77 0,27935 1,27 0,39796 1,77 0,46164 2,54 0,49446 4,35 0,49999
0,28 0,11026 0,78 0,28230 1,28 0,39973 1,78 0,46246 2,56 0,49477 4,40 0,49999
0,29 0,11409 0,79 0,28524 1,29 0,40147 1,79 0,46327 2,58 0,49506 4,45 0,50000
0,30 0,11791 0,80 0,28814 1,30 0,40320 1,80 0,46407 2,60 0,49534 4,50 0,50000
0,31 0,12172 0,81 0,29103 1,31 0,40490 1,81 0,46485 2,62 0,49560 4,55 0,50000
0,32 0,12552 0,82 0,29389 1,32 0,40658 1,82 0,46562 2,64 0,49585 4,60 0,50000
0,33 0,12930 0,83 0,29673 1,33 0,40824 1,83 0,46638 2,66 0,49609 4,65 0,50000
0,34 0,13307 0,84 0,29955 1,34 0,40988 1,84 0,46712 2,68 0,49632 4,70 0,50000
0,35 0,13683 0,85 0,30234 1,35 0,41149 1,85 0,46784 2,70 0,49653 4,75 0,50000
0,36 0,14058 0,86 0,30511 1,36 0,41309 1,86 0,46856 2,72 0,49674 4,80 0,50000
0,37 0,14431 0,87 0,30785 1,37 0,41466 1,87 0,46926 2,74 0,49693 4,85 0,50000
0,38 0,14803 0,88 0,31057 1,38 0,41621 1,88 0,46995 2,76 0,49711 4,90 0,50000
0,39 0,15173 0,89 0,31327 1,39 0,41774 1,89 0,47062 2,78 0,49728 4,95 0,50000
0,40 0,15542 0,90 0,31594 1,40 0,41924 1,90 0,47128 2,80 0,49744 5,00 0,50000
0,41 0,15910 0,91 0,31859 1,41 0,42073 1,91 0,47193 2,82 0,49760    
0,42 0,16276 0,92 0,32121 1,42 0,42220 1,92 0,47257 2,84 0,49774    
0,43 0,16640 0,93 0,32381 1,43 0,42364 1,93 0,47320 2,86 0,49788    
0,44 0,17003 0,94 0,32639 1,44 0,42507 1,94 0,47381 2,88 0,49801    
0,45 0,17364 0,95 0,32894 1,45 0,42647 1,95 0,47441 2,90 0,49813    
0,46 0,17724 0,96 0,33147 1,46 0,42785 1,96 0,47500 2,92 0,49825    
0,47 0,18082 0,97 0,33398 1,47 0,42922 1,97 0,47558 2,94 0,49836    
0,48 0,18439 0,98 0,33646 1,48 0,43056 1,98 0,47615 2,96 0,49846    
0,49 0,18793 0,99 0,33891 1,49 0,43189 1,99 0,47670 2,98 0,49856    

 


ЛИТЕРАТУРА

Основная литература

1.Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. М., 2005.

2. Гмурман В.Е. Руководство по решению задач по теории вероятности математической статистике. – М.: Высшая школа, 1975, 1979, 1997, 2005.

Дополнительная литература

1. Кочетков Е.С. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебн./ Смерчинская С.О., Соколов В.В.-М.: ФОРУМ: ИНФРА-М, 2003.

2. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Юнити - Дана, 2000.

3. Айвазян С.А. Прикладная статистика в задачах и упражнениях: учеб. для вузов / С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. – М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001.

4.Айвазян С.А. Теория вероятностей и прикладная статистика / С.А. Айвазян, В.С. Мхитарян. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2001. Т. 1.

5. Вентцель Е.С. Задачи и упражнения по теории вероятностей: Учеб. пособие для вузов / Е.С. Вентцель, Л.А. Овчаров. – 4-е изд.; перераб. и доп. – М.: Высш. шк., 2002.

6. Колемаев В.А. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. для вузов / В.А. Колемаев, В.Н. Калинина. – 2-е изд.; перераб и доп. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.

7. Репин О.А. Математика для экономистов. Теория вероятностей и математическая статистика: учеб. пособие / О.А. Репин, Е.И. Суханова, Л.К. Ширяева. – 2-е изд., испр. и доп. – Самара: Изд-во Самар. гос. экон. акад., 2003.

8. Казаков О.Л. Имитационное моделирование экономических процессов. Учебное пособие / Смирнов Г.Б. –М.:МГИУ,2006.


Просмотров 3793

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!