Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






ЗАКОН РАСПРЕДЕЛЕНИЯ И ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ДИСКРЕТНОЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ



Величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, заранее неизвестно, какое именно, называется случайной величиной.

Дискретной случайной величиной называется такая переменная величина, которая может принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

Соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины. Если обозначить возможные числовые значения случайной величины Х через х1, х2,…, хп,…, а через рj=Р(Х= хi) – вероятность появления значения хi, то дискретная случайная величина полностью определяется таблицей.

xi х1 x2 xn
pi p1 p2 pn

где значения х1, х2,…, хп, записываются, как правило, в порядке возрастания. Таблица называется законом или рядом распределения дискретной случайной величины Х. Поскольку в верхней строчке ряда распределения записаны все значения случайной величины Х, то нижняя строчка обладает тем свойством, что P1+ P2 + …+ Pn =1.

Математическим ожиданиемдискретной случайной величины называется: (7.1)

В случае бесконечного множества в правой части (7.1) находится ряд, и мы будем рассматривать только те значения Х, для которых этот ряд абсолютно сходится.

Для оценки степени рассеяния значений случайной величины около ее среднего значения M(X)=a вводятся понятия дисперсии D(X) и среднего квадратического (стандартного) отклонения s(х).

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата разности (Х-а):

(7.2)

где а=М(Х). Среднее квадратическое отклонение s(х) определяется как квадратный корень из дисперсии,

s(х)= . (7.3)

Для вычисления дисперсии пользуются формулой:

D(X)=M(X2)-M2(X) (7.4).

Задачи.

244. Задают ли законы распределения дискретной случайной величины следующие таблицы?

А)

Х
Р 0,1 0,4 0,3 0,2

Б)



Х
Р 0,1 0,2 0,3 0,5

Ответ: а) да, б) нет

245.Дискретная случайная величина Х имеет распределения:

Хi 0,2 0,4 0,6 0,8
Рi 0,1 0,2 0,4 p4 0,1

Чему равна вероятность Р4?

Ответ: 0,2

246. Дискретная случайная величина Х имеет распределения:

Хi
Рi p1 0,15 p3 0,25 0,35

Найти вероятность p , если известно, что p в 4 раза больше р1.

Ответ: 0,05; 0,20.

247.Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается число очков, на обеих верхних гранях. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х – сумма выпавших очков на двух игральных кубиках.

Ответ: 1

Хi
Рi 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36

 

248. В коробке 7 карандашей, из которых 4 красные. Из этой коробки наудачу извлекаются 3 карандаша. Найти закон распределения случайной величины Х, равной числу красных карандашей в выборке.

Ответ:

Хi
Рi 1/35 12/35 18/35 4/35

 

249. Вероятность изготовления нестандартного изделия при некотором технологическом процессе равна 0,06. Контролер берет из партий изделие и сразу проверяет его качество. Если оно оказывается нестандартным, дальнейшие испытания прекращается, а партия задерживается. Если же изделие оказывается стандартным, контролер берет следующее и т.д. , но всего проверяет не более пяти изделий. Найти закон распределения дискретной случайной величины Х- числа проверяемых изделий.



Ответ:

Хi
Рi 0,06 0,056 0,053 0,050 0,781

 

250. Задает ли закон распределения дискретной случайной величины каждая из следующих таблиц:

а)

Хi
Рi 0,05 0,15 0,20 0,25 0,35

б)

Хi
Рi 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

в)

Хi S S2 S3 1/2к
Рi 2/3 2/32 2/33 2/3к

г)

Хi J J2 1/4к
Рi 1/3 1/5 2/3к-1

д)

Хi 1/3 1/32 1/3к
Pi J J2 1/4к

Ответ: а) да ; б)нет; в) да; г)нет; д) нет

251. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

Хi 0,2 0,4 0,6 0,8
Рi 0,15 0,2 0,3 p4 0,15

Чему равна вероятность p . Постройте многоугольник распределения.

Ответ: 0,2

252. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения:

Хi
Рi Р1 0,15 0,30 0,25 Р5

Найти вероятность р1 и р5, если известно, что р5 в 2 раза больше р1.

Ответ: р1=0,10, р5=0,20

253.В лотерее разыгрывается: автомобиль стоимостью 5000 ден. ед., 4 телевизора стоимостью 250 ден. ед., 5 видеомагнитофонов стоимость 200 ден. ед. Все продается 1000 билетов по 7 ден. ед. Составить закон распределения чистого выигрыша, полученного участником лотереи, купившим один билет.



Ответ:

xi -7
pi 0,0990 0,005 0,004

 

 

254. Вероятность того, что студент сдаст семестровый экзамен в сессию по дисциплинам А и Б, равны соответственно 0,7 и 0,9. Составить закон распределения числа семестровых экзаменов, которые сдаст студент.

Ответ:

xi
pi 0,03 0,34 0,63

 

255.Дана случайная величина

xi -2
pi 0,5 0,3 0,2

 

Найти закон распределения случайных величин: а) Y=3X; б) Z=X2

Ответ:

xi -6
pi 0,5 0,3 0,2

а)

 

 

zi
pi 0,3 0,7

б)

 

 

256.Даны законы распределения двух независимых случайных величин:

xi
pi 0,5 0,2 0,3

Х:

 

 

yi -2
pi 0,1 0,6 0,2

Y:

 

 

Найти закон распределения случайных величин: а) Z=X-Y; б)U=XY.

Ответ:

zk -2
pk 0,15 0,36 0,26 0,20 0,03

а)

 

 

ui -8 -4
pi 0,03 0,02 0,80 0,06 0,09

б)

 

 

257.Найти математическое ожидание случайной величины Z=8X-5Y+7, если известно, что M(X)=3, M(Y)=2.

Ответ:21.

258.Найти дисперсию случайной величины Z=8X-5Y+7, если известно, что случайные величины X и Y независимы и D(X)=1,5, D(Y)=1.

Ответ:121.

259.По многолетним статистическим данным известно, что вероятность рождения мальчика равна 0,515. Составить закон распределения случайной величины X-числа мальчиков в семье из 4 детей; найти а) математическое ожидание б) дисперсию этой случайной величины.

Ответ:а) 2,06; б) 0,999.

260.Вероятность поражения вирусным заболеванием куста земляники равна 0,2. Составить закон распределения числа кустов земляники, зараженных вирусом, из четырех посаженных кустов.

Ответ:

xi
pi 0,4096 0,4096 0,1536 0,0256 0,016

 

 

261.Стрелок ведет стрельбу по цели с вероятностью попадания при каждом выстреле 0,2. За каждое попадание он получает 5 очков, а в случае промаха очков ему не начисляют. Составить закон распределения числа очков, полученных стрелком за 3 выстрела и вычислить математическое ожидание этой случайной величины.

Ответ:

xi
pi 0,512 0,384 0,096 0,008

 

;3

 

262.В рекламных целях торговая фирма вкладывает в каждую десятую единицу товара денежный приз размером 1 тыс. руб. Составить закон распределения случайной величины – размера выигрыша при пяти сделанных покупках; найти а) математическое ожидание б) дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

xi
pi 0,59049 0,32805 0,07290 0,00810 0,00045 0,00001

 

а)0,5; б) 0,45.

263.Клиенты банка, не связанные друг с другом, не возвращают кредиты в срок с вероятность 0,1. Составить закон распределения числа возвращенных в срок кредитов из 5 выданных. Найти математическое ожидание, дисперсию.

Ответ:

xi
pi 0,00001 0,00045 0,00810 0,07290 0,32805 0,59049

 

4,5; 0,45.

264. Контрольная работа состоит из трех вопросов. На каждый вопрос приведено 4 ответа, один из которых правильный. Составить закон распределения числа правильных ответов при простом угадывании. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

xi
pi 27/64 27/64 9/64 1/64

 

0,75; 0.5625.

265.В среднем по 10% договоров страховая компания выплачивает страховые суммы в связи с наступлением страхового случая. Составить закон распределения числа таких договоров среди наудачу выбранных четырех. Вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

xi
pi 0,6561 0,2916 0,0486 0,0036 0,0001

 

0,4; 0,36.

266. В билете три задачи. Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, второй – 0,8, третьей – 0,7. Составить закон распределения числа правильно решенных задач в билете и вычислить математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

xi
pi 0,006 0,398 0,092 0,504

 

2,4; 0,46.

267.Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8 и уменьшается с каждым выстрелом на 0,1. Составить закон распределения числа попаданий в цель, если сделано три выстрела. Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Ответ:

xi
pi 0,024 0,188 0,452 0,336

 

2,1; 0,6; 0,78.

268. Произведено два выстрела в мишень. Вероятность попадания в мишень первым стрелком равна 0,8, вторым – 0,7. Составить закон распределения числа попаданий в мишень. Найти математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения этой случайной величины и построить ее график. (Каждый стрелок дает по одному выстрелу).

Ответ:

xi
pi 0,06 0,38 0,56

 

1,5; 0,37;

0 при
0,06 при
0,44 при ;
1 при

 

269.Найти закон распределения числа пакетов трех акций, по которым владельцем будет получен доход, если вероятность получения дохода по каждому из них равна соответственно 0,5, 0,6, 0,7. Найти математическое ожидание и дисперсию данной случайной величины, построить функцию распределения.

Ответ:

xi
pi 0,06 0,29 0,44 0,21

 

1,8; 0,7.

270.Дан ряд распределения случайной величины

xi
pi p1 p2

 

Найти функцию распределения этой случайной величины, если ее математическое ожидание равно 3,4, а дисперсия равна 0,84.

Ответ:

0 при
0,3 при
1 при

 

271.Из пяти гвоздик две белые. Составить закон распределения и найти функцию распределения случайной величины, выражающей число белых гвоздик среди двух одновременно взятых.

Ответ:

xi
pi 0,3 0,6 0,1

 

0 при
0,3 при
0,9 при
1 при

272.Из 10 телевизоров на выставке 4 оказались фирмы «Сони». Наудачу для осмотра выбрано 3. Составить закон распределения числа телевизоров фирмы «Сони» среди 3 отобранных.

Ответ:

xi
pi 0,17 0,5 0,3 0,03

 

 

273. В магазине продаются 5 отечественных и 3 импортных телевизора. Найти функцию распределения этой случайной величины.

Ответ:

0 при
1/14 при
1/2 при
13/14 при
1 при

 

 

274. Вероятность того, что в библиотеке необходимая студенту книга свободна, равна 0,3. Составить закон распределения числа библиотек, которые посетит студент, если в городе 4 библиотеки. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

xi
pi 0,3 0,21 0,147 0,343

 

2,533; 1,5349.

275.Экзаменатор задает студенту вопросы, пока тот правильно отвечает. Как только число правильных ответов достигнет четырех либо студент ответит не правильно, экзаменатор прекращает задавать вопросы. Вероятность правильного ответа на один вопрос равна 2/3. Составить закон распределения числа заданных студенту вопросов

Ответ:

xi
pi 1/3 2/9 4/27 8/27

 

276. Торговый агент имеет 5 телефонных номеров потенциальных покупателей и звонит им до тех пор, пока не получит заказ на покупку товара. Вероятность того, что потенциальный покупатель сделает заказ, равна 0,4. Составить закон распределения числа телефонных разговоров, которые предстоит провести агенту. Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

xi
pi 0,4 0,24 0,144 0,0864 0,1296

 

2,3056; 1,9626.

277. Каждый поступающий в институт должен сдать 3 экзамена. Вероятность успешной сдачи первого экзамена 0,9, второго – 0,8, третьего – 0,7. Следующий экзамен поступающий сдаст только в случае успешной сдачи предыдущего. Составить закон распределения числа экзаменов, сдававшихся поступающим в институт.

Ответ:

xi
pi 0,10 0,18 0,72

 

278. Охотник, имеющий 4 патрона, стреляет по дичи до первого попадания, или до израсходования всех патронов. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,6, при каждом последующем – уменьшается на 0,1. Необходимо: а) составить закон распределения числа патронов, израсходованных охотником; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:а)

xi
pi 0,10 0,18 0,72

 

б) 1,72; 1,0816.

279. Из поступивших в ремонт 10 часов 7 нуждаются в общей чистке механизма. Часы не рассортированы по виду ремонта. Мастер, желая найти часы, нуждающиеся в чистки, рассматривает их поочередно и, найдя такие часы, прекращает дальнейший просмотр. а) Составить закон распределения числа просмотренных часов. б) Найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

xi
pi 7/10 7/30 7/120 1/120

а)

 

 

б)1,375; 0,401.

280.Имеются 4 ключа, из которых только один подходит к замку. а) Составить закон распределения числа попыток открывания замка, если испробованный ключ в последующих попытках не участвует, б) найти математическое ожидание, в) дисперсию г) среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Ответ:

xi
pi 0,25 0,25 0,25 0,25

а)

 

 

б) 2,5; в) 1,25; г)1,12.

281.Абонент забыл последнюю цифру нужного ему номера телефона, однако помнит, что она нечетная. а) Составить закон распределения числа сделанных им наборов номера телефона до попадания на нужный номер если последнюю цифру он набирает наудачу, а набранную цифру в дальнейшем не набирает. б) Найти математическое ожидание, в) функцию распределения этой случайной величины.

Ответ:

xi
pi 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

 

а)

 

б) 3;

0 при
0,2 при
0,4 при
0,6 при
0,8 при
1 при

 

в)

 

282. На двух автоматических станках производятся одинаковые изделия. Даны законы распределения числа бракованных изделий, производимых в течение смены на каждом из них:

 

а) для первого б) для второго

yi
pi 0,5 0,5

 

xi
pi 0,1 0,6 0,3

 

Необходимо: составить закон распределения числа производимых в течение смены бракованных изделий обоими станками.

Ответ:

ui
pi 0,05 0,30 0,20 0,30 0,15

 

283.Одна из случайных величин задана законом распределения

xi -1
pi 0,1 0,8 0,1

 

а другая имеет биноминальное распределение с параметрами n=2, p=0.6. а) Составить закон распределения их суммы, и найти математическое ожидание этой случайной величины.

Ответ:

xi -1
pi 0,016 0,176 0,436 0,336 0,036

 

1,2.

284.Случайные величины X и Y независимы и имеют один и тот же закон распределения:

X; Y
Pi 0,2 0,3 0,5

 

Составить закон распределения числа случайных величин а) Z=2X,

б) U=X+Y.

Ответ:

zi
pi 0,2 0,3 0,5

а)

 

ui
pi 0,04 0,12 0,09 0,20 0,30 0,25

б)

 

285. Два стрелка сделали по два выстрела по мишени. Вероятность попадания в мишень для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,7. а) Составить закон распределения общего числа попаданий; б) найти математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Ответ:

xi
pi 0,0144 0,1104 0,3124 0,3864 0,1764

 

2,6; 0,9.

 

286.Пусть X, Y, Z – случайные величины: X – выручка фирмы, Y – ее затраты, Z= X-Y – прибыль. Найти распределение прибыли Z, если затраты и выручка не зависимы и заданы распределениями:

xi
pi 1/3 1/3 1/3

 

yi
pi 1/2 1/2

 

 

zi
pi 1/6 1/3 1/3 1/6

Ответ:

 

287. Пусть X – выручка фирмы в долларах. Найти распределение выручки в рублях Z=X·Y в пересчете по курсу доллара Y, если выручка не зависит от курса Y, а распределения X и Y имеют вид

xi
pi 0,7 0,3

 

 

yi
pi 0,4 0,6

 

 

Ответ:

zi
pi 0,28 0,42 0,12 0,18

 

288. Сделано два высоко рискованных вклада: 10 тыс. руб. в компанию А и 15 тыс. руб. – в компанию В. Компания А обещает 50% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,2. Компания В обещает 40% годовых, но может «лопнуть» с вероятностью 0,15. Составить закон распределения случайной величины – общей суммы прибыли (убытка), полученной от двух компаний через год.

Ответ:

xi -25 -10 -4 +11
pi 0,03 0,12 0,17 0,68

 

289.Дискретная случайная величина Х задана рядом распределения

xi
pi 0,2 0,3 0,3 0,1 0,1

 

Найти условную вероятность события X 5 при условии, что X 2.

Ответ: 0,8.

 

290.Среднее время безотказной работы прибора равно 80 ч. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти: а) выражение его плотности вероятности и функции распределения; б) вероятность того, что в течение 100ч прибор не выйдет из строя.

Ответ:

0 при x<0
0,0125ℓ-0,0125x при x 0

а)

 

0 при x<0
1-ℓ-0,0125x при x 0

 

б) 0,286.

 

 


Просмотров 1787

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!