Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






КЛАССИФИКАЦИЯ СОБЫТИЙ. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТИ. СВОЙСТВА ВЕРОЯТНОСТИ



Под вероятностью, в широком смысле, понимают количественную меру неопределенности. Это – число, которое выражает степень уверенности наступления того или иного случайного события.

Случайным называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. В дальнейшем для простоты мы будем опускать термин «случайный».

Мы определим испытание (опыт, эксперимент) как процесс, включающий определенные условия, которые приводят к одному из нескольких возможных исходов. Исходом опыта может быть результат наблюдения или измерения. Единичный, отдельный исход испытания называется элементарным событием.

Достоверное событие – это событие, которое обязательно произойдет в результате испытания. Например, если в урне содержатся только белые шары, то извлечение из нее белого шара есть событие достоверное.Другой пример, если мы подбросим вверх камень, то он обязательно упадет на Землю в силу действия закона притяжения, то есть результат этого опыта заведомо известен. Достоверные события условимся обозначать символом W.

Невозможное событие – это событие , которое не может произойти в результате данного опыта (испытания). Извлечение черного шара из урны с белыми шарами есть событие невозможное событие. Невозможное событие обозначим Æ.

Совместные события. Несколько событий, называются совместными, если в результате эксперимента наступление одного из них не исключает появление других. Например, в магазин вошел покупатель. События «в магазин вошел покупатель старше 60 лет» и «в магазин вошла женщина» - совместные, так как в магазин может войти женщина старше 60 лет.

Несовместные события. Несколько событий называются единственно возможными, если в результате испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет (или одно, или два, или все события из рассматриваемой совокупности событий произойдут; одно точно произойдет).

Равновозможные события. Несколько событий называются равновозможными, если в результате испытания ни одно из них не имеет объективно большую возможность появления, чем другие. При бросании игральной кости появление каждой из ее граней – события равновозможные.



Противоположные события. Два единственно возможных события называются противоположными : если А – событие, то - противоположное ему событие. Купля и продажа определенного вида товара есть события противоположные.

Полная группа событий. Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий.

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементов исходов.

Обозначим число благоприятствующих событию А исходов через М, а число всех исходов через N ,тогда

(2.1)

где М – целое неотрицательное число, 0£ М£ N

Другой тип объективной вероятности определяется исходя из относительной частоты (частости) проявления события. Если, к примеру, некоторая фирма в течении времени провела опрос 1000 покупателей нового сорта напитка и 20 из них оценили его как вкусный, то мы можем оценить вероятность того, что потребителям понравится новый напиток как 20/1000=0,02. В этом примере 20- это частота наступления события, а 20/1000=0,02 – это относительная частота.

Относительной частотой события называется отношение числа

испытаний т, при которых событие появилось, к общему числу проведенных испытаний п. , (2.2)



где т – целое неотрицательное число, 0£ т£ п

Статистической вероятностью называется относительная частота (частость) этого события А, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее : . При очень большом числе испытаний статистическая вероятность приближенно равна классической вероятности, т.е. .

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.

1. Вероятность достоверного события рана 1.

2. Вероятность невозможного события равна 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.

4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, то есть или p+q=1,гдеp–вероятность события А , q–вероятность противоположного ему события.

Пример 1. Магазин в целях рекламы нового товара проводит лотерею, в которой 1 главный приз, 5 вторых призов, 100 третьих призов и 1000 четвертых призов. В конце рекламного дня выяснилось, что лотерейные билеты получили 10000 покупателей. По правилам розыгрыша, после извлечения выигрышного билета он не возвращается в урну, и покупатель не может получить более одного выигрыша. Чему равна вероятность того, что покупатель, который приобрел рекламируемый товар: а) выиграет первый приз; б) выиграет любой приз; в) не выиграет ни одного приза?

Решение. Определим событие А: «Покупатель выиграет первый приз». Согласно условию задачи в лотерее участвовало 10000 покупателей, отсюда общее число испытаний N= 10000, а число исходов, благоприятствующих событию А, М=1. Все исходы являются равновозможными, единственно возможными и несовместными элементарными событиями. Следовательно, по формуле классической вероятности:

Соответственно, определим событие В: «Покупатель выиграл любой приз». Для этого события число благоприятствующих исходов М=1+5+100+1000=1106.



Событие «Покупатель не выиграет ни одного приза» - противоположное событию В: «Покупатель выиграл любой приз», поэтому обозначим его как . По формуле найдем:

Ответ: а)0,0001; б )0,1106; в)0,8894.

Пример 2.Структура сотрудников в региональном отделении банка имеет следующий вид:

  Женщины Мужчины
Администрация Операторы

Какова вероятность, что наудачу выбранный сотрудник окажется : а ) мужчина - администратор б) женщина – оператор в)Мужчина г) оператор ?

Решение. а) В банке работают 100 человек, N=100. Из них 15 – мужчин – администраторов , M =15.Следовательно, Р(мужчина-администратор) =

б) 35 сотрудников в банке – женщины – оператор. Следовательно, Р(женщина – оператор) =

в)40 сотрудников в банке – мужчины. Следовательно, Р(мужчина) =

г) Из общего числа служащих в банке 60 – операторы, Следовательно,

Р(оператор) =

Ответ. а) 0,15 ; б) 0,35 ; в) 0,4; г) 0,6

Задачи.

16. На пяти одинаковых карточках написаны буквы. И, К, М, Н, С. Карточки перемешиваются и наугад раскладываются в ряд. Какова вероятность того, что получится МИНСК?

Ответ: 1/120

17. Из букв слова ротор, составленного с помощью разрезной азбуки, наудачу последовательно извлекаются 3 буквы и складываются в ряд. Какова вероятность того, что получится слово тор?

Ответ: 1/15

18. На шести одинаковых по форме и размеру карточках написаны буквы слова талант – по одной букве на каждой карточке. Карточки тщательно перемешаны. Их вынимают наудачу и располагают на столе одна за другой. Какова вероятность снова получить слово талант?

Ответ: 1/180

19. Контролер, проверяя качество 400 изделий, установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, остальные – к первому. Найти частоту изделий второго сорта.

Ответ: 0,05

20. В партии из 10 деталей 7 стандартных. Найти вероятность того, что среди 6 взятых наудачу деталей 4 стандартных.

Ответ: 0,5

21.Среди 25 студентов группы, в которой 10 девушек, разыгрывается 5 билетов. Найти вероятность того, что среди обладателей билетов окажутся 2 девушки.

Ответ: 0,385

22. В ящике находятся 15 красных, 9 голубых и 6 зеленых шаров. Наудачу вынимают 6 шаров. Какова вероятность того, что взяты 1 зеленый, 2 голубых,3 красных шара ?

Ответ: 0,17

23. В ящике 15 шаров, из которых 5 голубых и 10 красных. Наудачу выбирают 6 шаров. Найти вероятность того, что среди вынутых шаров 2 голубых.

Ответ: 0,4196

24. Игральный кубик подбрасывают 10 раз. Какова вероятность того, что при этом грани 1,2,3,4,5,6 выпадут соответственно 2,3,1,1,1,2 раза ?

Ответ: 0,002

25. На 5 одинаковых карточках написаны буквы Б, Е, Р, С, Т. Эти карточки наудачу разложены в ряд. Какова вероятность того, что получится слово БРЕСТ?

Ответ: 1/120

26. В ящике 4 голубых и 5 красных шаров. Из ящика наудачу вынимается 2 шара. Найти вероятность того, что эти шары разного цвета.

Ответ: 5/9

27. В бригаде 4 женщины и 3 мужчины. Среди членов бригады разыгрываются 4 билета в театр. Какова вероятность того, что среди обладателей билетов окажется 2 женщины и 2 мужчины?

Ответ: 18/35

28. В ящике 10 шаров, из которых 2 белых, 3красных и 5 голубых. Наудачу извлечены 3 шара. Найдите вероятность того, что все 3 шара разного цвета.

Ответ: 0,25

29. На пяти одинаковых карточках написаны буквы л, м, о, о, т. Какова вероятность того, что, извлекая карточки по одному наугад, получим в порядке их выхода слово молот?

Ответ: 1/60

30. Из партии, содержащей 10 изделий, среди которых 3 бракованных, наудачу извлекают 3 изделия. Найдите вероятность того, что в полученной выборке одно изделие бракованное.

Ответ: 21/40

31. Из 10 билетов выигрышными являются 2. Чему равна вероятность того, что среди взятых наудачу 5 билетов один выигрышный?

Ответ: 5/9

32. Из 500 взятых наудачу деталей оказалось 8 бракованных. Найти частоту бракованных деталей.

Ответ: 0,016

33.Игральный кубик подброшен 60 раз, при этом шестерка появилась 10 раз. Какова частота появления шестерки?

Ответ: 1/6

34.Среди 1000 новорожденных оказалось 515 мальчиков. Чему равна частота рождения мальчиков?

Ответ: 0,515

35. В результате 20 выстрелов по мишени получено 15 попаданий. Какова частота попаданий?

Ответ: 0,75

36. При стрельбе по мишени частота попаданий W=0,75. Найти число попаданий при 40 выстрелах.

Ответ: 30

37. Частота нормального всхода семян W=0,97. Из высеянных семян

взошло 970. Сколько семян было высеяно?

Ответ: 1000

38. На отрезке натурального ряда от 1 до 20 найти частоту простых чисел.

Ответ: 0,4

39. Проведены три серии многократных подбрасываний симметричной

монеты, подсчитаны числа появлений герба: а) n =4040; m =2048 ; б) n =12000; m =6019; в ) n =24000 m =12012. Найти частоту появления

герба в каждой серии испытаний.

Ответ: а)0,5069, б) 0,5016, в)0,5005

40.Среди 300 деталей, изготовленных на автоматическом станке, оказалось 15, не нестандартных. Найти частоту появления нестандартных деталей.

Ответ: 0,05

41. Контролер, проверяя качество 400 изделий установил, что 20 из них относятся ко второму сорту, а остальные - к первому. Найти частоту изделий первого сорта.

Ответ: 0,95

42. Отдел технического контроля обнаружил 10 бракованных изделий в партии из 1000 изделий. Найти частоту изготовления бракованных изделий.

Ответ: 0,01

43. Для выявления качества семян было отобрано и высеяно в лабораторных условиях 100 семян . 95 семян дали нормальный всход. Какова частота нормального всхода семян?

Ответ: 0,95

44. Найдите частоту появления простых чисел в следующих отрезках натурального ряда: а) от 21 до40; б) от 41 до 50; в) от 51 до 70.

Ответ: а)0,2, б)0,3, в)0,2

45. В урне 10 одинаковых по размеру и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекли один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?

Ответ: 0,6

46. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?

Ответ: 0,2

47. Подбрасываются два игральных кубика и подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события B, состоящего в том, что верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.

Ответ: 1/9

48. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10.Какова вероятность того, что это число является простым?

Ответ: 0,4

49. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монетах оказался герб?

Ответ: 0,25

50. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?

Ответ: 0,1

51. Из букв слова «дифференциал» наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет а) гласной б) согласной в) буквой Ч?

Ответ: а) 0,417;б) 0,583; в ) 0

52. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, что на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.

Ответ: 0,167

53. В книге 300 страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?

Ответ: 0,2

54. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число кратно 3?

Ответ: 1/3

55. Наудачу выбрано число, не превосходящее 30. Какова вероятность того, что это число является делителем 30?

Ответ: 0,2

56. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 50 . Какова вероятность того, что это число является простым?

Ответ: 0,3

57. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме 9 или 10 очков?

Ответ: 10

58. Подбрасывается три игральных кубика, подсчитывается сумма выпавших очков. Что вероятнее - получить в сумме 11, или 12 очков?

Ответ:11

59. Вероятность того, что студент сдаст первый экзамен, равна 0.9; второй-0.9; третий-0.8. Найти вероятность того, что студентом будут сданы: а) только второй экзамен; б) только один экзамен; в) три экзамена; г) по крайней мере, два экзамена; д) хотя бы один экзамен.

Ответ: а) 0.018;б) 0.044;в) 0.648;г)0.954;д) 0.998.

60. Причиной разрыва электрической цепи служит выход из строя элемента К1, или одновременный выход из строя двух элементов-К2 и К3.Элементы могут выйти из строя независимо друг от друга с вероятностями, равными соответственно 0.1; 0.2; 0.3.Какова вероятность разрыва электрической цепи?

Ответ:0.154.

61. Производительности трех станков, обрабатывающих одинаковые детали, относятся как 1:3:6. Из не рассортированной партии обработанных деталей взяты наудачу две. Какова вероятность того, что а) одна из них обработана на третьем станке; б) обе обработаны на одном станке?

Ответ: а)0.48; б)0.46.

62. Экзаменационный билет для письменного экзамена состоит из 10 вопросов - по 2 вопроса из 20 по каждой из 5 тем, представленных в билете. По каждой теме студент подготовил лишь половину всех вопросов. Какова вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить хотя бы на один вопрос по каждой из 5 тем в билете?

Ответ: 0.259.

63. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0.6. Найти вероятность того, что а) двигатель начнет работать при третьем включении зажигания; б) для запуска двигателя придется включать зажигание не более 3 раз.

Ответ: а)0.096;б)0.936.

64. Среди билетов денежно-вещевой лотереи половина выигрышных. Сколько лотерейных билетов нужно купить, чтобы с вероятностью, не меньшей 0.999, быть уверенным в выигрыше хотя бы по одному билету?

Ответ: n≥10.

65. Два игрока поочередно бросают игральную кость. Выигрывает тот, у которого первым выпадает «6 очков». Какова вероятность выигрыша для игрока, бросающего игральную кость а) первым; б) вторым?

Ответ: а) 0.545, б) 0.455.

66. Вероятность попадания в мишень при каждом выстреле для 1-го стрелка равна 0.7, а для 2-го-0.8. Оба они, начиная с 1-го, поочерёдно стреляют, но делают не более, чем по 2 выстрела, причем каждый стрелок стреляет второй раз только при условии, что при первом сделанном им выстреле он промахнулся. Найти вероятность того, что в мишени ровно 2 пробоины.

Ответ: 0.9312.

 

 


Просмотров 1580

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!