Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Список вопросов для экзамена по математическому анализу



ФКН, III семестр, 2012/2013 уч.г.

1. Разложение функций в ряд Фурье. Интеграл Дирихле. Основная лемма. Принцип локализации.
2. Достаточное условие сходимости ряда Фурье в точке.
3. Ряд Фурье для непериодической функции, для произвольного промежутка, для четной и нечетной функции.
4. Метод Фурье решения уравнения колебания струны.
5. Криволинейные интегралы первого рода и их вычисление. Масса и центр тяжести материальной дуги. Длина дуги.
6. Криволинейные интегралы второго рода и их вычисление. Интеграл по замкнутому контуру.
7. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов. (+)
8. Условия независимости криволинейного интеграла от пути.
9. Признак полного дифференциала. Обобщение условий независимости криволинейного интеграла от пути (3 теоремы).
10. Двойные интегралы. Задача об объеме цилиндра. Определение двойного интеграла, условия его существования и свойства.
11. Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области.
12. Вычисление двойного интеграла по произвольной области. Масса и центр тяжести материальной пластинки.
13. Формула Грина.
14. Замена переменных в двойных интегралах. Криволинейные координаты. (+)
15. Тройной интеграл. Условия его существования.
16. Вычисление тройных интегралов.
17. Интеграл Фурье. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье для четной и нечетной функций.
18. Преобразование Фурье. Обратное преобразование Фурье. Косинус-преобразование и синус-преобразование Фурье.
19.
20. Понятие меры плоского множества. Элементарные множества. Кольцо множеств. Мера элементарных множеств. Счетная аддитивность меры элементарных множеств. Внешняя мера множества. Измеримые по Лебегу множества.
21. Теорема о свойствах измеримых множеств и меры Лебега (10 пунктов: счетная аддитивность меры Лебега, непрерывность меры Лебега и др.). (+)
22. Мера на Лебега-Стилтьеса на прямой. Классификация мер.
23. Кольцо множеств. Алгебра множеств. Минимальное кольцо. Полукольцо множеств. Лемма о конечном разложении. Борелевское множество.
24. Определение меры. Теорема о продолжении меры с полукольца на порожденное им кольцо. Счетная аддитивность продолжения. Внешняя мера. Измеримость по Лебегу. Мера Лебега.
25. Измеримые функции. Свойства измеримых функций. Критерий измеримости. Измеримость и сходимость последовательности функций.
26. Эквивалентность функций. Сходимость почти всюду. Теорема Егорова.
27. Связь сходимости почти всюду и сходимости по мере. Пример сходящейся по мере функции. Простые функции.
28. Интеграл Лебега для простых функций и его свойства.
29. Общее определение интеграла Лебега на множестве конечной меры. Корректность определения. Свойства интеграла Лебега.
30. Счетная аддитивность интеграла Лебега. Неравенство Чебышева. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Связь интеграла Лебега и интеграла Римана.
31. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Применение в теории вероятностей.

 



  1. Разложение функций в ряд Фурье. Интеграл Дирихле. Основная лемма. Принцип локализации.

Пусть f(x) – непрерыв или кусочно-непрерыв функция с периодом 2п. Вычислим коэф Фурье: am=(1/п)*∫f(u)cos(mu)du, bm=(1/п)*∫f(u)sin(mu)du. Составим ряд Фурье: f(x) ~ (a0/2) + ∑ancos(nx)+bnsin(nx). Утверждение 1. Если F(u) – кусочно-непрер в любом конечном промежутке и имеет период 2п, то интеграл ∫F(u)du от a до (a+2п) не зависит от а. Для исследования сходимости ряда в точке х=х0 составим выражение для его частичной суммы: Sn(x)=(a0/2)+∑amcos(mx)+bmsin(mx), Sn(x0) = (1/2п) * ∫f(u)du + ∑(1/п) * ∫f(u) * (cos(mx0)cos(mu)+sin(mx0)sin(mu))du, ½+∑cos(ma) = (1/2sin(a/2))*(sin(a/2)+∑(sin((m+1/2)a)-sin((m-1/2)a))=sin((2n+1)*a/2)/2sin(a/2) => Sn(x0) = (1/п)*∫f(u)*( sin((2n+1)*(u-x0)/2)/2sin((u-x0)/2))du – интеграл Дирихле. Так как функция имеет Т=2п рассмотрим промежуток [x0-п;x0+п]:Sn(x) = (1/п) * ∫ f(u) * (sin((2n+1)*(u-x0)/2) / 2sin((u-x0)/2)) du = | t=u-x0, du=dt | = (1/п) * ∫ f(t+x0) * (sin((2n+1)*t/2) / 2sin(t/2)) dt = ∫… + ∫…= | в первом интеграле поменяем знак перменной | = (1/п)*∫(f(x0+t)+f(x0-t)) * (sin((2n+1)*t/2) / 2sin(t/2)) dt, таким образом необходимо исслед послед интеграл, содерж параметр. Но в данном случае не может быть использован предельный переход под знаком интеграла. Утверждение 2.(основная лемма) Если g(t) – непрерыв или кусочно-непрерыв на [a;b], то lim∫g(t)sin(pt)dt=0, lim∫g(t)cos(pt)dt=0, |∫sin(pt)dt| = |cos(pt)/p|(от а до b)<=2/p. Утверждение 3. Коэффициенты am и bm кусочно-непрерыв функции при m->бесконеч стремятся к 0. Пусть d<п, разобьем интеграл на 2 интеграла: ∫…+∫(1/п)*(f(x0+t)+f(x0-t)) * (sin((2n+1)*t/2) / 2sin(t/2))dt. Множитель при sin явл кусочно-непрерыв на [d;п], т.к. такова функция от t в числителе, а знаменатель не обращается в 0. => по утв. 2 этот интеграл при n->бесконнч стремится к 0 => существование предела частичной суммы ряда фурье Sn(x0) и величина этого предела определяется лишь поведением интеграла ∫(1/п)*(f(x0+t)+f(x0-t)) * (sin((2n+1)*t/2) / 2sin(t/2))dt. Но в этот интеграл входят значения лишь f(x) отвечающие изменении аргумента (x0-d;x0+d), этим доказывается: Теорема(принцип локализации): Поведение ряда Фурье f(x) в некоторой х0 зависит исключительно от значений, принимаемых этой функцией в непосредств. Близости рассматриваемой точки, т.е. всколь угодно малой окрестности.





 

2. Достаточное условие сходимости ряда Фурье в точке.

Теорема. Если f(x) с Т=2п кусочно-дифферен на [-п;п], то ее ряд Фурье в точке х=х0 сходится и имеет сумму S0=(f(x0+0)+f(x0-0))/2. Эта сумма равна f(x0), если в точке х=х0 функция непрерывна.

Док-во. В поставл условиях ∫(1/п)*(f(x0+t)+f(x0-t)) * (sin((2n+1)*t/2) / 2sin(t/2))dt справедливо; пусть f(x)=1, частичные суммы ряда Фурье Sn(x0)=1, подставим: 1 = (2/п) * ∫(sin((2n+1)*t/2) / 2sin(t/2))dt, умножая обе части на S0 и вычитая результат из начального интеграла получим: Sn(x0)-S0 = (1/п) * ∫(f(x0+t)+f(x0-t)-f(x0+0)-f(x0-0))* (sin((2n+1)*t/2) / 2sin(t/2))dt, необходимо доказать что интеграл стремится к 0 при n->бескон. Представим его в виде ∫(1/п) * g(t) * sin((2n+1)*t/2)dt, где g(t) = ( (f(x0+t)-f(x0+0))/t – (f(x0-t)- f(x0-0))/(-t) ) * (1/2) * t /sin(t/2) на (0;п]. 1) f(x0-0)+f(x0+0) = f(x0) => f’(x0) => g(t)->0, t->0. 2) x0 – точка, где функция стыкуется, в этом случае отношения будет стремится к различным пределам: производной справа и производной слева.

 

4. Метод Фурье решения уравнения колебания струны.

Пусть струна длины l закреплена в точке х0=0 и х=l оси Х и под действием натяжения находится в равновесии. В момент времени t=0 струна выводится из равновесия и точки получают некоторые скорости в вертикальном направлении. Отклонение от положения равновесия описывает функция u=u(x,t). d2u/dt2=a2d2u/dx2, где х – константа, зависящая от плотности и натяжения струны. Искомая функция должна удовлетворять граничным условиям и начальным условиям: u(0,t)=u(l,t)=0 – граничные условия, u(x,0)=f(x), ut’(x,0)=ff(x) – начальные условия, utt’’=a2uxx’’. u(x,t)=X(x)*T(t), (XT)tt’’=a2*(XT)xx’’, X*T’’=a2*T*X’’, T’’/(a2*T)=X’’/X=-λ, X’’+λX=0, T’’+a2λT=0 (X!=0, T!=0). 1) X’’+λX=0, X(0)=X(l)=0 a) λ=0: X=0 or X=ax+b => a=b=0 => X=0 (не пойдет); б) λ<0: X=c1lx*(-λ)^1/2+c2 l-x*(-λ)^1/2=>c2=-c1, X(l)=c1(ll*(-λ)^1/2- l-l*(-λ)^1/2)=x0=>c1=c2=0=>X=0; в) λ>0: X=c1cos(x*λ1/2)+c2sin(x*λ1/2), X(0)=c1=0, X(l)=c2sin(l*λ1/2)=0, l*λ1/2=пk, λk=(пk/l)2, Xk(x)=cksin(пkx/l). 2) u(x,t) = ∑(Axcos(пxt/l)+Bxsin(пxt/l))sin(пkx/l); [0,l]: а) u(x,0) = ∑Aksin(пux/l)=f(x), f(x) = ∑fxsin(пkx/l), Ak=fk, б) u’(x,0) = ∑Bx*(пu0/l)*sin(пkx/l)=ff(x), ff(x)=∑ffxsin(пkx/l), Bk=l*ffk/(пk) => задача решена.

 

5. Криволинейные интегралы первого рода и их вычисление. Масса и центр тяжести материальной дуги. Длина дуги.

Пр: пусть вдоль некоторой кривой AB распределена масса с переменной линейной плотностью р(М), требуется определить массу m всей кривой. Разобьем кривую AB точками а0…аn=B, на дуге аiai+1 возьмем точку Mi b будем считать что плотность всех точек этого участка равна р(Мi),а масса дуги mi=p(Mi)di, где di – длина i-ой дуги, тогда m~∑p(Mi)di, λ = max di, m = lim(λ->0)∑p(Mi)di. Пусть f(M)=f(x,y) задана вдоль непрерыв плоской кривой AB. Разбив кривую элементарными дугами AiAi+1 и выбрав из них произвольно точку Mi(qi,yi) составим сумму: ∑f(Mi)di=∑f(qi,yi)di. Конечный предел указанной суммы при стремлении к 0 λ = max di называется криволинейным интегралом 1 рода от функции f(M)=f(x,y), взятой по кривой или по пути AB и обозн ∫f(M)dS=∫f(x,y)dS. Величина di обяз положит независимо от выбора начальной точки, поэтому КИ 1 рода не зависит от направления. Аналогично можно ввести понятие интеграла для пространственной кривой ∫f(x,y,z)dS. f(x,y,z)dS. Пусть на кривой AB произвольно задано направление. Положение точки М опред длиной дуги S=AM, тогда получим параметр ур-ие кривой: х=х(s), y=y(s), 0<=s<=S. Если значения si соотв точк Аi, а si’ точкам Мi, то интегральная сумма криволин интеграла ∑f(Mi)di=∑f(x(si’),y(si’))*(Si+1-Si) – эта сумма является интегр суммой обыкнов опред интеграла ∫f(M)dS=∫f(x(s),y(s))dS. Пусть непреыв кривая AB задана произв параметр ур-иями х=f(t), y=ff(t), t0<=t<=T, где f & ff – непрерыв вместе с f’ & ff’, тогда ∫f(M)dS=∫(от t0 до Т)f(f(t),ff(t))*((f’(t))2+(ff’(t))2)1/2dt. Если кривая задана явно y=y(x), a<=x<=b, тогда ∫f(M)dS=∫f(x,y(x))*(1+(y’(x))2)1/2dx. Пр: 1) найти массу ¼ окружности, если плотность в каждой точке равна ординате: m=∫pdS=∫ydS=∫(от 0 до п/2)R*sint*Rdt=R2. 2) центр тяжести матер дуги: m=∫p(x,y)dS, xc=(1/m)*∫xp(x,y)dS, yc=(1/m)*∫yp(x,y)dS. 3) длина дуги: p(x,y)=1, m=1*l => l=∫dS.

 

3. Ряд Фурье для непериодической функции, для произвольного промежутка, для четной и нечетной функции.

Пусть имеется непериод функция на [-п;п]. Введем: ∫f(x)dx=0 (на [-п;п]), ∫f(x)dx = 2∫f(x)dx (на [0;п]), f(x)sin(nx) – нечет. => bn=0, f(x)cos(nx) – четная => an=(2/п)*∫f(x)cos(nx)dx => f(x)=a0/2+∑ancos(nx), в противном случае an=0, bn=(2/п)*∫f(x)sin(nx)dx.

 

6. Криволинейные интегралы второго рода и их вычисление. Интеграл по замкнутому контуру.

Пусть дана кривая AB(не замкн) и вдоль нее задана некот функция f(x,y). Разбиваем прямую точками аi и на кажд [ai,ai+1] выбираем mi(qi,yi) – значение функции в этой точке умножим на величину проекции этой дуги на ось Х, т.е. на xi+1-xi, ∑f(Mi)*( xi+1-xi)=∑ f(qi,yi i)*( xi+1-xi). Конечный предел этой суммы при m=max(ai,ai+1)->0 назыв криволинейным интегралом 2-го рода от f(M)dx взятым по кривой или по пути AB и обозн ∫f(x,y)dx. Аналогично можно определить интегральную сумму ∑f(Mi)*(yi+1-yi) и ее предел ∫f(M)dy=∫f(x,y)dy. Пусть P(M)=P(x,y), Q(M)=Q(x,y), если существуют ∫Р(М)dx & ∫Q(M)dy, то их сумму назыв криволинейным интегралом 2-го рода: ∫Р(М)dx+∫Q(M)dy=∫ Р(М)dx+Q(M)dy. Отличие КИ 2-го рода от КИ 1-го рода в том, что знач функ умнож не на длину участка кривой, а на его проекцию на ось Х или Y. Проекция дуги зависит от направления дуги и изменяет знак при изменении этого направлении. Аналогично можно определить КИ 2-го рода по пространственной дуге. Пусть x=fi(t), y=ff(t) на [a;b], f(x,y) – непрерыв и существ fi’(t) & ff’(t), тогда ∫f(x,y)dx=∫([a;b])f(fi(t),ff(t))*fi’(t)dt, ∫f(x,y)dy=∫([a;b])f(fi(t),ff(t))*ff’(t)dt. Замечание 1. Если интеграл ∫f(x,y)dx распр на прямол отрезок оси Y, то он равен 0.(аналогично по Х) Замечание 2. Справедлива следующая зависимость между КИ 1-го рода и 2-го рода: t=t(M) – единичный вектор, касательный к дуге AB в точке М и соотв направ дуги от А к В ∫adr=∫at(M)ds. Если контур интегр L – замкнут (А=В), то на контуре выбирается т. С!=А и с учетом направления полагаем, что интеграл по L = сумме интеграла ANC & CNA. Можно показать, что интеграл не зависит от выбора точки С. В данном случае приходится указывать, в каком направлении обходится контур. Положительным направлением обхода замкнутого контура назыв то, при котором область, лежащая внутри конура остается слева по отнош к (-), совершающей обход. Далее при отсутствии указания направл обхода контура подразумевается интеграл, взятый в положит направлении.

 

8. Условия независимости криволинейного интеграла от пути.

Теорема. Для того чтобы криволин интеграл ∫Pdx+Qdy не зависил от формы пути интегрирования нужно, чтобы дифферен выраж Pdx+Qdy было в рассматриваемой области дифференциалом от некоторой однозначной функции от 2х переменных.

Док-во. 1) (=>) пусть ∫ не зависит от пути, тогда интеграл определяется заданием точек А(х0,y0) и B(x1,y1): ∫Pdx+Qdy=∫[(х0,y0), (x1,y1)] Pdx+Qdy. Если точка А – фиксир, а точка В заменить на М(x,y) – произвольно в области D, то получим функцию F(x,y)= ∫[(х0,y0), (x,y)] Pdx+Qdy. Придадим х1 приращение dx и перейдем к точке С: F(x1,y1)= ∫[(х0,y0), (x1,y1)] Pdx+Qdy, F(x1+dx,y1)= ∫[(х0,y0), (x1+dx,y1)] Pdx+Qdy. Первый интеграл возьмем по произвольной кривой К, а второй по кривой К и [BC]: F(x1+dx,y1) - F(x1,y1) = ∫[BC] Pdx + Qdy, но dy = 0 => F(x1+dx,y1) - F(x1,y1) = ∫[BC] Pdx = ∫[x,x+dx] P(x1,y1)dx. По теореме о среднем: ( F(x1+dx,y1) - F(x1,y1) )/dx=P(x1+O*dx,y1), 0<O<1, т.к. Р(x,y) – непрерыв, получим dF/dx * (x1,y1)=P(x1,y1) при dx->0. Аналогично устанавливается dF/dy * (x1,y1)=Q(x1,y1), т.к. точка В(x1,y1) выбрана произвольно; dF/dx * (x,y) = P(x,y), dF/dy * (x,y) = Q(x,y), т.к. эти частные производные непрерыв, функ F(x,y) имеет дифференциал. 2) (<=) путь Pdx+Qdy явл полным дифференциалом Ф(х,y), т.ч. Р=dФ/dx, Q=dФ/dy. Рассмотрим кусочно-гладкую кривую К, соедин А(х1,y1) & B(x2,y2). Пусть ее параметрическое уравнение будет x=fi(t), y=ff(t), a<=t<=b, fi(a)=x1, fi(b)=x2, ff(a)=y1, ff(b)=y2, I = ∫[K]Pdx+Qdy = ∫[a;b]( P(fi(t),ff(t))fi’(t)+Q(fi(t),ff(t))ff’(t) )dt = ∫[a;b] ( dФ/dx * fi’(t) + dФ/dy * ff’(t) )dt = ∫[a;b] d/dt * Ф(fi(t),ff(t))dt = Ф(fi(t),ff(t))|от а до b = Ф(fi(b),ff(b))-Ф(fi(a),ff(a)) = Ф(x2,y2) - Ф(x1,y1), I = ∫[K] Pdx+Qdy = Ф(x,y)|от (x1,y1) до (x2,y2) => интеграл Pdx+Qdy не зависил от выбора кривой, т.к. функ Ф(х,у) однозначна, а результат зависит только от Ф(х11) и Ф(х22).

 

9. Признак полного дифференциала. Обобщение условий независимости криволинейного интеграла от пути (3 теоремы).

Пусть в рассматриваемой области D существует и непрерыв dP/dy & dQ/dx. Если Pdx+Qdy – дифферен некот функции Ф(х,у), так что P=dФ/dx, Q=dФ/dy, то dP/dy=d2Ф/dxdy, dQ/dx=d2Ф/dydx, т.к. частные производные dФ/dx и dФ/dy – непрерыв, то смешан произв равны, т.е. dP/dy= dQ/dx, таким образом это соотношение необходимо чтобы Pdx+Qdy было полным дифференциалом. Исследуем достаточность: пусть D=[a,b;c,d] – прямоуг. Необходимо определить в D функцию Ф(х,у), удовл 2м уравнениям: dФ/dx=Р(х,у) и dФ/dy=Q(x,y). В силу непрерывности P & Q следовало бы, что Pdx+Qdy – дифференциал для Ф(х,у). Выберем любые х0,х на [a;b], проинтегрируем dФ/dx=Р(х,у) по х от х0 до х при любом фиксированном у из [c;d]: Ф(х,у) = ∫[x0,x] P(x,y)dx + Ф(х0,у). Если в уравнении dФ/dy=Q(x,y) взять х=х0 и проинтегрировать по у между любыми значениями у0 и у из [c;d], получим: Ф(х0,у) = ∫[y0,y] Q(x0,y)dx + Ф(х00), Ф(х,у) = ∫[x0,x] P(x,y)dx + ∫[y0,y] Q(x0,y)dx + Ф(х00), докажем что уравнения удовлетворяют друг другу: (∫[x0,x]f(x)dx)’=f(x) – производная по х от 1 слагаемого равна Р(х,у), от остальных =0, т.к. не зависят от х. Продифф по у и применим правило Лейбница: «Функцию можно дифф по параметру под знаком интеграла» - dФ/dy = ∫[x0,x] dP/dy * dx + Q(x0,y) => dФ/dy = ∫[x0,x] dQ/dx * dx + Q(x0,y) = Q(x,y) - Q(x0,y) + Q(x0,y) = Q(x,y) => достаточно. Теорема 1. Для того чтобы в D выражение Pdx+Qdy было дифферен от некотор однозначной функции 2х переменных необходимо предположение односвязности области и достаточности. Док-во. частный случай выше. Теорема 2. Для того чтобы интеграл ∫Pdx+Qdy не зависел от формы пути интегрирования необходимо предположение односвязности и достаточно выполнения dP/dy = dQ/dx. Док-во. пусть ∫ не зависит от пути => (L=ANBM) ∫[L] = ∫[AMB] + ∫[BNA] = ∫[AMB] - ∫[ANB]. Теорема 3. Для того чтобы ∫ не зависел от пути необходимо чтобы по любому замкнутому контуру

 

10. Двойные интегралы. Задача об объеме цилиндра. Определение двойного интеграла, условия его существования и свойства.

Задача. Найти V тела, огранич сверху поверхностью z=f(x,y), снизу замкн обл Р пл-ти Оху и с боков цилиндрической поверхн с образующими || Oz. Разобьем этот цилиндр (область Р) сетью кривых на части р1…рn и рассмотрим соотв цилиндр столбики. Каждой Рi выберем по (qi,ti) => V~f(qi,ti)*Pi, при стремлении к 0 max из диаметров Pi получим V=lim∑f(qi,ti)*Pi. Предел этого вида есть 2й интеграл от f(x,y) по области Р, обозн ∫∫f(x,y)dP. Пусть в области Р опред f(x,y); разобьем Р сетью кривых на конечное число обл р1…рn с соотв площадями. В каждой области рi возьмем точку Рi(qi,ti) и составим сумму d=∑f(qi,ti)*Pi, котор назыв интегр суммой для функции f(x,y) в обл Р, пусть λ=max Pi, конечный lim I интегр суммы при λ->0 назыв 2х интегралом функции f(x,y) в области Р и обозн I=∫∫f(x,y)dP. Необходимость – ограниченность f(x,y); достаточность – суммы Дарбу. Теорема. Для существования 2х интеграла необходимо и достаточно, чтобы было lim[λ->0](S-s)=0 или lim[λ->0]∑wiPi=0, где wi=Mi-mi – колебания на Pi. Свойства. 1) Если Р раскладывается на P’ & P’’, то из интегрируемости f(x,y) по всей обл Р => интегр в P’ & P’’ и наоборот. 2) ∫∫kf(x,y)dxdy=k∫∫f(x,y)dxdy. 3) ∫∫(f(x,y) +/- g(x,y))dxdy = ∫∫f(x,y)dxdy +/- ∫∫g(x,y))dxdy. 4) f(x,y)<=g(x,y) => ∫∫f(x,y)dxdy<=∫∫g(x,y)dxdy. 5) если f(x,y) – интегрируема, то |f(x,y)| - интегрируема, |∫∫f(x,y)dxdy|<=∫∫|f(x,y)|dxdy. 6) m<=f(x,y)<=M, то mP<=∫∫[P]f(x,y)dxdy<=MP, m<=∫∫[P]f(x,y)dxdy/P<=M=>m<=h<=M; если f(x,y) – непрерыв, то h=f(x0,y0).

 

11. Вычисление двойного интеграла по прямоугольной области.

Теорема. Если для функции f(x,y) опред прямоуг Р=[a,b;c,d] существует ∫∫[P]f(x,y)dP и при каждом постоянном х из [a;b] I(x) = ∫[c;d]f(x,y)dy, то существует повторный интеграл ∫[a;b]dx∫[c;d]f(x,y)dy и выполн ∫∫[P]f(x,y)dP=∫[a;b]dx∫[c;d]f(x,y)dy. Замечание 1. Аналогично можно показать ∫∫[P]f(x,y)dP=∫[c;d]dy∫[a;b]f(x,y)dx, y из [c;d], I(y)=∫[a;b]f(x,y)dx. Замечание 2. Если с 2х интегралом существуют оба простых интеграла ∫[c;d]f(x,y)dy (x=const) & ∫[a;b]f(x,y)dx (y=const), то ∫[c;d]dy∫[a;b]f(x,y)dx = ∫[a;b]dx∫[c;d]f(x,y)dy. Замечание 3. Если f(x,y) непрерыв, то существование всех упомянутых интегралов обеспечено. Пр: найти V тела, ограниченного x=0,y=0,z=0,x=a,y=b,z=(x2/2p)+(y2/2q): ∫[0;a]dx∫[0;b]( (x2/2p)+(y2/2q))dy.

 

12. Вычисление двойного интеграла по произвольной области. Масса и центр тяжести материальной пластинки.

Пусть область Р огранич снизу и сверху непрерыв кривыми y1(x) & y2(x); для любого х из [a;b]: I(x) = ∫[y1(x),y2(x)] f(x,y)dy, то существует повторный интеграл ∫[a;b]dx∫[y1(x),y2(x)] f(x,y)dy = ∫∫[P]f(x,y)dP. Замечание 1. Если D ограничена x=x1(y), x=x2(y), y=c, y=d и существует ∫[x1(y),x2(y)] f(x,y)dx, то ∫∫[P]f(x,y)dP = ∫[c;d]dy∫[x1(y),x2(y)] f(x,y)dx. Замечание 2. Если контур в обл пересек лишь в 2х точках, как параллелями оси ординат, так и параллелями оси абсцисс, то при выполнении указанных условий применимы обе формулы, и ∫[a;b]dx∫[y1(x),y2(x)] f(x,y)dy = ∫[c;d]dy∫[x1(y),x2(y)] f(x,y)dx. Масса пластинки М=∫∫f(x,y)dxdy, координаты центра: х0=(1/М)*∫∫xf(x,y)dxdy, y0=(1/М)*∫∫yf(x,y)dxdy.

 

13. Формула Грина.

Пусть D=[PSRQ]. Пусть в D P(x,y) и dP/dy непрерыв, ∫∫[D] dP/dy dxdy = ∫[a;b]dx∫[y0(x);y1(x)]dP/dy dy = ∫[a;b]dx(P(x,y) |(от y0(x) до y1(x)) = ∫[a;b]Р(x,y1(x))dx - ∫[a;b]P(x,y0(x))dx = ∫[SR]P(x,y)dx - ∫[PQ]P(x,y)dx, ∫∫[D] dP/dy dxdy = ∫[SR]P(x,y)dx + ∫[RQ]P(x,y)dx + ∫[QP]P(x,y)dx + ∫[PS]P(x,y)dx = -∫[L]P(x,y)dx, L – контур, ограниченный D, минус изза противоположного направления обхода. Аналогично ∫∫[D] dQ/dx dxdy = ∫[L]Q(x,y)dy, данная область обобщ на случайобл, которая прямыми, параллельными осям разлаг на конечное число криволинейных трапеций. Если обл D разлаг на конечное число трапеций первого типа и независимо от этого на конечное число трапеций второго типа, и если P,Q,dP/dy,dQ/dx – непрерыв, то вычитая получим ∫[L] Pdx+Qdy = ∫∫[D](dQ/dx – dP/dy)dxdy – формула Грина. Замечание. Формула Грина справедлива для любой обл, огранич одним или нескл кусочно-гладкими контурами. Если подобрать функц P & Q так, чтобы dQ/dx – dP/dy = 1, то ∫∫[D](dQ/dx – dP/dy)dxdy = SD.

 

15. Тройной интеграл. Условия его существования.

Пусть дано некоторое тело V, в каждой его точке известна плотность p(x,y,z). Найти массу тела. Разбиваем V на Vi, в каждой из них выбираем (xi,yi,zi), mi~p(xi,yi,zi)*Vi, m~∑p(xi,yi,zi)*Vi, m=lim∑p(xi,yi,zi)*Vi, при стремлении к 0 диаметров всех частей. Пусть в некоторой пространственной области V задана f(x,y,z). Разобьем ее сетью поверхностей на части V1…Vn. Пусть (xi,yi,zi) – произвольная точка из Vi: d=∑f(xi,yi,zi)*Vi. Lim этой интегральной суммы при стремлении к 0 max из диаметров Vi назыв тройным интегралом от f(x,y,z) в V: ∫∫∫[V] f(x,y,z)dV = ∫∫∫[V] f(x,y,z) dxdydz. Конечный предел подобного вида существует только для ограниченной функции(необходим). Рассмотрим суммы Дарбу: s=∑miVi, S=∑MiVi, где mi,Mi – min & max функ на Vi. Можно установить, что для существования интеграла нужно lim(S-s)=0 => всякая непрерыв функц интегрируема. Свойства аналогичны двойным и однократным.

 

16. Вычисление тройных интегралов.

1) Обл интегр. – прямоуг паралелип, V = [a,b;c,d;e,f], ∫∫∫[V] f(x,y,z) dxdydz = ∫[a;b]dx∫[c;d]dy∫[e;f]f(x,y,z)dx.

2) Пусть обл ограничена сверху и снизу поверхн z=z1(x,y) & z=z0(x,y), проецирующимися на Оху в обл D, с боков V огранич цилиндр пов-тью с образующими || Oz: ∫∫∫[V] f(x,y,z) dxdydz = ∫∫[D] dxdy∫[ z0(x,y); z1(x,y)] f(x,y,z)dz.

Пр: пусть V ограничена x=0,y=0,z=0,x+y+z=1 => ∫[0;1]dx∫[0;1-x]dy∫[0;1-x-y]dz = ∫[0;1]dx∫[0;1-x](1-x-y)dy = 1/6. ∫∫∫[V]xyzdxdydz = 1/720.

 

17. Интеграл Фурье. Интегральная формула Фурье. Интеграл Фурье для четной и нечетной функций.

Если f(x) задана в конечном промежутке [-l;l], то ее можно представить тригонометрическим рядом f(x) = a0/2 + ∑ancos(nпx/l)+bnsin(nпx/l), где an=(1/l)*∫[-l;l]f(u)cos(nпu/l)du, bn=(1/l)*∫[-l;l]f(u)sin(nпu/l)du => f(x)=(1/2l)* ∫[-l;l]f(x)du + ∑(1/l)* ∫[-l;l]f(u)cos(nп(u-x)/l)du. Пусть f(x) опред на (-бескон;+бесконеч). Установим предельную форму разложения последней формулы: первое слагаемое будем считать ->0(это так если ∫[-бескон;+бесконеч]f(u)du - сходится), множители nп/l можно рассматривать как дискретные значения з1=п/l,…,зn=nп/l некоторой переменной з, непрерыв меняющейся от з0=0 до +бесконеч., dзnn+1n=п/l->0(l->+бесконеч). В этих обозначениях получим сумму: (1/п)*∑dзn-1∫[-l;l]f(n)cosзn(u-x)du, которая напоминает интегральную сумму для функции (1/п)*∫[-l;l]f(u)cosз(u-x)du от з на [0;+бесконеч). Переходя к lim при l->+бесконеч получим f(x)=(1/п)*∫[0;+бесконеч)dз∫[-бескон;+бесконеч]f(u)cosз(u-x)du – интегральная формула Фурье. Теорема. Пусть f(x) кусочно-дифферен в любом промежутке и абсолютно интегрируема на (-бескон;+бесконеч), тогда для любого х=х0 интеграл сходится и имеет значение S0=(f(x0-0)+f(x0+0))/2. Если f(x) – непрерыв, то S0=f(x0). Пусть f(x) удовл условию теоремы, и в точке х f(x) – непрерыв и если разрывна, то f(x)= (f(x0-0)+f(x0+0))/2, тогда f(x)=(1/п)*∫[0;+бесконеч]dз∫[-бескон;+бесконеч]f(u)cosз(u-x)du. Т.к. внутр интеграл – четная функция относ з, то f(x)=(1/2п)*∫[-бесконеч;+бесконеч]dз∫[-бескон;+бесконеч]f(u)cosз(u-x)du.(2) Замечание. Если для функции fi(з) не существует интеграла, т.е. lim[M->+бескон,N->-бесконеч]∫[N,M]fi(з)dз, при независимом стремлении M и N к бесконеч, может оказаться сущ lim при M=N => главное значение интеграла и обозн V.p.. Пр: V.p.∫[-бескон;+бесконеч]fi(з)dз = lim[m->бескон]∫[-M;M]fi(з)dз. Если интеграл сущ по обычному опред несобств интегр, то он совпадает со своим глав знач.. Рассмотрим ∫[-бескон;+бесконеч]f(u)sinз(u-x)du, он явл нечет функц от з => ∫[-M;M]dз∫[-бескон;+бесконеч]f(u)sinз(u-x)du = 0 => V.p. ∫[-бескон;+бесконеч]dз∫[-бескон;+бесконеч]f(u)sinз(u-x)du = 0, умножим это на i/2п, сложим с (2): f(x)=(1/2п)*∫[-бескон;+бесконеч]dз∫[-бескон;+бесконеч]f(u)eiz(u-x)du, где наружный интеграл понимается как главное значение. Перепишем в виде: f(x) = (1/п)*∫[0;+бескон]cosзхdз∫[-бескон;+бесконеч]f(u)cosзudu + (1/п)*∫[0;+бескон]sinзхdз∫[-бескон;+бесконеч]f(u)sinзudu.

Если f(x) – четная, то f(x)=(2/п)*∫[0;+бескон]cosзхdз∫[0;+бесконеч]f(u)cosзudu, если f(x) – нечетная, то f(x)=(2/п)*∫[0;+бескон]sinзхdз∫[0;+бесконеч]f(u)sinзudu.

 

18. Преобразование Фурье. Обратное преобразование Фурье. Косинус-преобразование и синус-преобразование Фурье.

Формулу f(x)=(1/2п)*∫[-бескон;+бесконеч]dз∫[-бескон;+бесконеч]f(u)eiz(u-x)du можно представить как суперпозицию 2х формул: F(з) = (1/(2п)1/2)*∫[-бескон;+бесконеч]f(u)eiзudu, f(x) = (1/(2п)1/2)*∫F(з)e-ixзdз (во 2 V.p.). Функция F(з), сопоставл по 1 формуле функции f(x) назыв ее преобразованием Фурье. В свою очередь, по 2 формуле функц f(x) явл обратным преобразованием Фурье для F(з). Рассмотрим формулу f(x)=(2/п)*∫[0;+бескон]cosзхdз∫[0;+бесконеч]f(u)cosзudu. Ее можно представить как суперпозицию формул: Fc(з)=(2/п)1/2∫[0;+бескон]f(u)cosзudu, f(x)= (2/п)1/2∫[0;+бескон]Fc(з)cosзxdз. Аналогично для f(x)=(2/п)*∫[0;+бескон]sinзхdз∫[0;+бесконеч]f(u)sinзudu получаем: Fs(з)=(2/п)1/2∫[0;+бескон]f(u)sinзudu, f(x) = (2/п)1/2∫[0;+бескон]Fs(з)sinзxdз. Fc(з) и Fs(з) назыв косинус-преобраз и синус-преобраз Фурье для f(x): если f(x) – четная, то F(з)=Fc(з), если f(x) – нечетная, то F(з)=Fs(з). Любая функция представима как сумма четной и нечетной функций.(Док-во. g(x)=(f(x)+f(-x))/2, h(x)=(f(x)-f(-x))/2, можно рассматривать только косинус и синус преобраз Фурье.)

 

20. Понятие меры плоского множества. Элементарные множества. Кольцо множеств. Мера элементарных множеств. Счетная аддитивность меры элементарных множеств. Внешняя мера множества. Измеримые по Лебегу множества.

Множество на плоскости, которое задается одним из неравенств a<=x<=b,a<x<=b,a<=x<b,a<x<b и одним из c<=y<=d,…,c<y<d назовем прямоугольником. Мерой прямоугольника Р назыв число m(Р)=(b-a)(d-c), m(0)=0. Мера обладает 2 свойствами: 1) неотриц: m(P)>=0 2) аддитивн: если Р – объединение Pk (k=1..m) взаимно не пересекающихся, то m(P)=∑m(Pk). Множество А назоввем элементарным, если А можно представить в виде конечного числа непересек прямоугольников. Мера элементарного множества m’(A)=∑m(Pk) (m’ неотриц и аддитивна). Симметрическая разность 2х множеств: A∆B=(A\B)объедин(B\A)=(AобъединB)\(AпересечB). Теорема 1. Объединение, пересечение, разность, симметрическая разность 2х элементарных множеств – элементарное множество(без док-ва). Система множеств S назыв кольцом, если A из S и B из S => (A∆B) из S, (AпересечB) из S (=> (AобъединB) из S и (A\B) из S, т.к. (AобъединB)= (A∆B)∆(AпересечB)). Таким образом, элементарные множества образуют кольцо. Теорема 2. Пусть А – элементарное и А – объединение конечного/счетного числа элементарных множеств, тогда мера этого множества m’(A)<=∑m’(Ak) (полуаддитивность) (без док-ва). Если множества Ak не пересекаются, то m’(A)=∑m’(Ak) (счетная аддитивность или сигма-аддитивность). Будем рассматривать подмножество единичного квадрата Е=[0,1]x[0,1]. Внешняя мера множества А из Е назыв число μ*(А)=inf[A из объединения конечного/счетного числа прямоугольников]∑m(Pk). Множество А назыв измеримым по Лебегу, если для любого ε>0 существует элементарное множество В: μ*(А∆В)<ε. Если А – элементарное, то μ*(А) = μ’(А). Внешняя мера, рассматриваемая только на измеримых множествах, назыв мерой Лебега и обозн μ.

 

22. Мера на Лебега-Стилтьеса на прямой. Классификация мер.

Внешняя мераДля произвольного подмножества Е числовой прямой можно найти сколь угодно много различных систем из конечного или счётного числа интервалов, объединение которых содержит множество Е. Назовём такие системы покрытиями. Так как сумма длин интервалов, составляющих любое покрытие, есть величина неотрицательная, она ограничена снизу, и, значит, множество длин всех покрытий имеет точную нижнюю грань. Эта грань, зависящая только от множества Е, и называется внешней мерой: m*E = inf{∑∆i} Очевидно, внешняя мера любого интервала совпадает с его длиной.

Внутренняя мераЕсли множество E ограничено, то внутренней мерой множества E называется разность между длиной сегмента [a;b] содержащего E и внешней мерой дополнения E в [a;b]: m*E = (b-a) – m*([a;b]\E). Для неограниченных множеств, E определяется как точная верхняя грань (b-a) – m*([a;b]\E) по всем отрезкам E в [a;b].

23. Кольцо множеств. Алгебра множеств. Минимальное кольцо. Полукольцо множеств. Лемма о конечном разложении. Борелевское множество.

Класс подмножеств S называется полукольцом, если он 1) содержит пустое множество; 2) замкнут относительно пересечения; 3) A, A1 ∈ S, A1 ⊂ A ⇒ ∃Ai ∈ S: A =(объедин)Ai. Кольцо — непустое семейство множеств, замкнутое относительно пересечения и симметрической разности. Полукольцо с единицей (т.е. полукольцо, содержащее X) называется полуалгеброй множеств. Кольцо с единицей (т.е. кольцо, содержащее X) называется алгеброй множеств (телом множеств). Кольцо, замкнутое относительно счётного объединения, называется σ–кольцом. Алгебра, замкнутая относительно счётного объединения, называется σ–алгеброй.

Лемма 1 (о конечном разложении). Пусть: 1) S — полукольцо, 2) A, A1, A2, . . . , An ∈ S, 3) ∀i = (1,n) Ai ⊂ A, 4) ∀i, j = (1, n) Ai ∩ Aj = ∅. Тогда ∃An+1, . . . ,Am ∈ S такие, что A =(объедин)Ai. Док-во. Докажем это утверждения по индукции. При n = 1 утверждение леммы составляет часть определения полукольца. Пусть теперь утверждение доказано для n = k, докажем его для n = k + 1. Итак, пусть A = A1(объедин)…(объедин)Ak(объедин)B1(объедин)…Bl. Пусть также Ak+1не пересекается с A1. . .Ak. Для каждого Bi (i =(1,l)) рассмотрим Bi0 ≡ Ak+1 ∩ Bi и построим, пользуясь требованием 3 определения полукольца, конечные разложения Bi=(объедин)Bij. Тогда исходное множество A можно представить в виде А = A1(объедин)…(объедин)Ak(объедин)B1(объедин)…Bl = ((объедин)Аi) (объедин) ((объедин)В1j) (объедин) … (объедин) ((объедин)Вlj). Легко видеть, что построенное разложение действительно дизъюнктное. А теперь заметим, что Ak+1 = (объедин)Bi0, поскольку множества Bi дают разложение A\((объедин)Аi) и Аi(пересек)Ak+1=0, i=(1, k). Поэтому можно перегруппировать разложение и получить: А = ((объедин)Аi) (объедин) ((объедин)В1j) (объедин) … (объедин) ((объедин)Вlj) = ((объедин)Аi) (объедин) Ak+1 (объедин) ((объедин)В1j) (объедин) … (объедин) ((объедин)Вlj).

Борелевское множество - множество, которое может быть получено в результате не более чем счетной совокупности операций объединения и пересечения открытых и замкнутых множеств топологич. пространства. Более точно, борелевским множеством наз. элемент наименьшего замкнутого относительно дополнений счетно-аддитивного класса множеств, содержащего замкнутые множества.

 

24. Определение меры. Теорема о продолжении меры с полукольца на порожденное им кольцо. Счетная аддитивность продолжения. Внешняя мера. Измеримость по Лебегу. Мера Лебега.

Мера — это функция на классе множеств S, m: S → [0,∞). Мера аддитивна, если Ai ∈ S, A ∈ S, A = (объедин до n) Ai => m(A)=∑m(Ai). Мера σ–аддитивна (счётно–аддитивна), если Ai ∈ S, A ∈ S, A = (объедин до ∞) Ai => m(A)=∑m(Ai). Пусть задана мера на полукольце. Нам нужно продолжить её на порождённое кольцо. Теорема 2. Аддитивная мера m на полукольце S допускает единственное аддитивное продолжение на R(S). При этом, если мера была σ–аддитивна, то и продолжение тоже будет σ–аддитивно. Доказательство. Воспользуемся теоремой о структуре кольца. A ∈ R(S) ⇒ A = (объедин)Bj. Определим меру на элементах кольца следующим образом: m′A = ∑mBj. Нужно понять, почему это корректно — ведь понятно, что A можно представить в виде дизъюнктного объединения несколькими способами. Пусть также A = (объедин)Cl. Тогда ∑ mCl = ∑m(Cl ∩ Bj) = ∑mBj. Корректность доказана. Докажем единственность. Пусть существует другое продолжение меры на кольцо, m′′. Тогда m′′A = ∑ m′′Bj = ∑mBj = m′A. Единственность также доказана. Докажем факт про σ–аддитивность. Пусть мера на полукольце была σ–аддитивна. Пусть A = (объедин)Ai, A = (объедин) Bj, Ai = (объедин) Bik. Тогда A = (объедин) Bik = (объедин) (Bj∩Bik), Ai = Bj∩Bik , Bj = Bj∩Bik. Из σ–аддитивности на полукольце следует, что mBj = ∑ m(Bj ∩ Bik). Получаем, что m′A = ∑mBj = ∑m(Bj ∩ Bik) = ∑mBik = ∑m′Ai. Значит, мера на кольце также σ–аддитивна. Теорема доказана. Пусть σm-полукольцо с 1(Е). Пусть на σm задано σ–аддитивная мера m. Для любого А из Е определим внешнюю меру m*E = inf{∑m(Bk)}, где inf берется по всем покрытиям множества А множествами B­k из σm. Множество А назыв измеримым по Лебегу, если для любого ε>0 найдется В из R(σm): m*(A∆B)<ε, где R(σm) – min кольцо, содерж σm. Если А измеримо по Лебегу, то вместо m*(A) пишут m(A) и назыв число m(A) мерой Лебега множества А.

 

25. Измеримые функции. Свойства измеримых функций. Критерий измеримости. Измеримость и сходимость последовательности функций.

Пусть Х и У – произ мн-ва. Пусть σx и σy – произвольные системы подмножеств Х и У. Функция f:X->Y назыв (σxy) – измеримой, если для любого А из σy => f-1(A) из σx. Пусть Х=У=R. σxy – система всех открытых множеств => множество (σxy) измеримых функций совпадает с множеством непрерыв функций. Пусть система (σxy) – система всех Баррелев множеств => функция f назыв баррелевской функцией. Пусть Х – множество, на котором задана σ-аддитивная мера m, определенная на σ-алгебре всех m-измеримых множеств σm. Действительная функция f:X->R назыв m-измеримой, если прообраз любого баррелевского множества принадлежит σm. Теорема 1. Пусть f:X->Y, g:Y->Z, где f - (σxy)-измерима, g – (σyz)-измерима. Измеримая функция измеримой функции измерима. Функция f:X->R m-измерима ó для любого с из R (f-1(-∞;c)) принадлежит σm, т.е. мн-во {x:f(x)<c} – измеримо. Теорема 3. Сумма, разность, произведение 2х измеримых функций измеримы. Частное 2х измеримых функций измеримо при условии, что знаменатель не обращается в 0. {x:f(x)<c}=>{x:f+g<c}. Теорема 4. Пусть f(x)=lim[n->∞]fn(x) (для любого х): для fn(x) – выполн => для f(x) – выполн.

 

26. Эквивалентность функций. Сходимость почти всюду. Теорема Егорова.

Две функции f & g назыв ~(f~g), если m{x:f(x)!=g(x)}=0. Говорят, что некоторое св-во выполнено для почти всех точек, если мера множества тех точек, в кот оно не выполн = 0. Теорема 5. Пусть f – измерима и f~g => g – измерима. Док-во. мн-ва {x:f(x)<c} & {x:g(x)<c} отлич лишь в некотор мн-ве меры 0 => (из измер 1 => измер 2.). Послед {fn(x)} функций, опред на Х сходится к f(x) почти всюду, если lim[n->∞]fn(x)=f(x) для почти всех x из Х, т.е. мера m{x:lim[n->∞]fn(x)!=f(x)}=0, обозн: п.в.. Пр: fn(x)=(-x)n на [0;1] п.в. к f=0 (не сход при х=1). Теорема Егорова. Пусть fn(x)->f(x) п.в. и все fn – измеримы, тогда f – измерима: {fn} на Х к f(x) п.в., для любого σ>0 существует Еσ из Х такое что 1) m(X\Eσ)< σ 2){fn} равномерно сходится к f на XE.

 

27. Связь сходимости почти всюду и сходимости по мере. Пример сходящейся по мере функции. Простые функции.

Говорят {fn} сходится по мере функции f(x), если для любого d>0 (lim[n->∞]m({x: |fn(x)-f(x)|>d})=0) Теорема 7. Пусть послед измер функ {fn(x)} сход к f(x) п.в., тогда fn(x) ->[m] f(x). Теорема 8. Пусть fn(x) ->[m] f(x), тогда сущ подпослед {fnk(x)} сход к f(x) п.в. Простые функции. Функция f(x), опред на некотором множестве с задан на нем мерой, назыв простой, если она измерима и принимает не более чем счетное число значений. Теорема 1. Функция приним не более чем счетное число разл знач y1…yn… измеримо ó измеримы все мн-ва An={x: f(x)=yn}. Теорема 2. Для измерим функции необх и достаточно чтобы она могла быть представлена в виде предела равномерно сход послед простых измеримых функций. (Док-во. (<=) следует из Теоремы4 пред темы; (=>) рассмотрим произв измер функцию f(x) пусть fn(x):=m/n, если m/n<=f(x)<(m+1)/n то все fn – простые и при n->∞ сходится к f(x), т.к. |f(x)-fn(x)|<=1/n для любого х).

 

28. Интеграл Лебега для простых функций и его свойства.

Основная идея пространственного интеграла состоит в том, что здесь в отлич от интеграла Римана в точке х группир не по призн близости на оси Х, а по призн близости знач функции в этой точке. Интеграл Лебега опред соверш одинаково для функций на любых пространствах с мерой, в то время как интеграл Римана для случа многих переменных треб измен.. Далее предп m – σ-аддитивная мера на σ-алгебре множеств с 1 Х( m(X)<∞ ) функц f опред и измер на Х. Пусть f – простая функц приним знач y1…yn(yi!=yj при i!=j) и пусть А – некот измерим подмножество Х. Определим интеграл по множеству А от f равенством ∫[A] f(x)dm=∑ynm(An), An={x: x из А, f(x)=yn}. Простая функция f назыв интегр(сумм) по мере m на множестве А, если ряд в определении интеграла сходится абсолютно. Если f интегр, то сумма ряда назыв интегралом от f по множеству А и обозн ∫[A] f(x)dm. Свойства интеграла Лебега: 1) ∫[A] (f(x)+g(x)) dm = ∫[A] f(x)dm + ∫[A] g(x)dm, 2) ∫[A] kf(x)dm=k∫[A]f(x)dm, k=const, 3) огранич на А прост функция f интегр на А, если |f(x)|<=M по А, то |∫[A]f(x)dm|<=Mm(A).

 

29. Общее определение интеграла Лебега на множестве конечной меры. Корректность определения. Свойства интеграла Лебега.

Функция f:X->R назыв интегр (суммир) по мере m на измерим мн-ве А из Х, если сущ послед прост функций {fn(x)}, интегр и равном сходящ к f на А. I=lim[n->∞]∫[A]fn(x)dm и обозн ∫[A] f(x)dm. Проверим корректность: 1) существование предела, проверим критерий сходимости Коши | ∫[A] fn(x)dm - ∫[A] fm(x)dm | = | ∫[A] fn(x) – fm(x)dm | <=m(A)*sup|( fn(x) – fm(x))|<=m(A)*E, т.к. fn(x) равномерно сходится к f(x). 3) для простых функ новое опред совпадает с пред, fn=f. Свойства интеграла Лебега: 1) ∫[A] 1dm = m(A), 2) ∫[A] kf(x)dm = k∫[A] f(x)dm, 3) ∫[A] f(x)+/-g(x)dm = ∫[A] f(x)dm +/- ∫[A] g(x)dm, 4) огранич измерим функция интегрируема, 5) монотонность: пусть f интегр на А и f(x)>=0 на А, тогда ∫[A] f(x)dm >=0, 6) пусть m(A)=0, тогда ∫[A] f(x)dm=0 для любой f:A->R. (Следствие. Если f(x)=g(x) п.в. на А, то ∫[A] f(x)dm = ∫[A] g(x)dm), 7) пусть fi интегр на А и |f(x)|<=fi(x) п.в. на А => f интегр на А, 8) интегралы ∫[A] f(x)dm и ∫[A] |f(x)|dm существуют или нет одновременно.

 

30. Счетная аддитивность интеграла Лебега. Неравенство Чебышева. Абсолютная непрерывность интеграла Лебега. Связь интеграла Лебега и интеграла Римана.

Теорема(сигма-аддитивность интеграла Лебега). Пусть А=(объедин)Аn, Ai∩Aj=0 при i!=j, An – измеримы. Если функ интегр на А, то ∫[A] f(x)dm=∑∫[An] f(x)dm. Неравенство Чебышева. Пусть fi – интегр на А и не отриц, тогда m({x из А|fi(x)>=c})<=(1/c)*∫[A] fi(x)dm. (Док-во. пусть А’={ x из А|fi(x)>=c } – искомое, найдем интеграл по мн-ву А: ∫[A]fi(x)dm = ∫[A’]fi(x)dm + ∫[A\A’]fi(x)dm >=cm(A’) поделим на с => m(A’)<=(1/c)* ∫[A]fi(x)dm.) Следствие. Если ∫[A]|f(x)|dm = 0, то f(x)=0 п.в.(Док-во. рассмотрим { x из А|f(x)!=0 }, представим в виде An=(объедин){ x из А: |f(x)|>1/n } m(An)>=0 & m(An)<=n*∫[An] |f(x)|dm =0 => m({x из А|f(x)!=0})). Теорема(связь интеграла Лебега и интеграла Римана) Пусть f:[a,b]->R интегр по Риману, т.е. сущ ∫[a;b]f(x)dx, тогда f интегр по Лебегу, т.е. сущ ∫[a;b]f(x)dm, эти интегралы равны. Замечание. Из интегр по Лебегу не след интегр по Риману на отрезке. Теорема(абсолютная непрерыв интеграла Лебега) Пусть f интегр на А, тогда для любого ε>0 сущ d>0: для любого В из А, m(B)<d: | ∫[B]f(x)dm |<ε.)

 

31. Интеграл Лебега-Стилтьеса. Применение в теории вероятностей.

Ранее мы опред меру mF с помощью неубыв непрерыв слева функции F:R->R. Рассмотрим частные случаи: 1) F – функция скачков, x1… - точки разрыва, h1… - величины скачков в этой точке: mF(A)=∑[xi из А]hi – дискретная мера. 2) F – абсолютно непрерыв на [a;b] и F’=f, тогда mF(A)=∫[A]f(x)dx, mF([a;b])=F(b)-F(a)=∫[a;b]f(x)dx => mF – абсолютно непрер мера. Утверждение. Всякая абсол непрерыв функция может быть представлена как разность 2хнепрер неубыв функций. Интеграл Лебега взятый по мере F отвеч монот функ F назыв интегр Лебега-Стилтьеса и обозн ∫[a;b]f(x)dmF = ∫[a;b]f(x)dF(x). Рассмотрим частные случаи: 1) F – функция скачков ∫[a;b]f(x)dF(x) = ∑f(xi)hi, 2) F – абсол непрерыв функция ∫[a;b]f(x)dF(x) = ∫[a;b]f(x)F’(x)dx. Применение интеграла Лебега-Стилтьеса. Функция распред случ величины t F(x)=P(t<x). F(x) – может не убыв, непрерыв слева и F(-∞) = 0, F(+∞)=1. Характер случ величин: 1) матем ожидание: Мt = ∫[-∞;+∞]xdF(x) 2) дисперсия: Dt = ∫[-∞;+∞](x-Mt)2dF(x). Пр: случ величина назыв дискретной если она принимает счетное кол-во значений или конечное. Пусть p1… - вероятности, х1… - события: Mt=∑xipi, Dt=∑(xi-Mt)2pi. Случ величина t назыв непрерыв, если ее функ распределения абсолютно непрерыв. Пусть p(x)=F’(x) – плотность распредел случ величины, тогда Mt = ∫[-∞;+∞]xp(x)dx, Dt=∫[-∞;+∞](x-Mt)2p(x)dx.


Просмотров 215

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!