Главная Обратная связь Поможем написать вашу работу!

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Предел монотонной последовательности



Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей) если " n1>n2 (n1<n2): xN1³xN2 (xN1£xN2).

Замечание: Если xN1 строго больше (меньше) xN2, тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей (убывающей).

Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Доказательство: Пусть хN ограниченная монотонно возрастающая последовательность. Х={xN: nÎN}

По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем: $ SupX=x, "Е>0 $xE: (х-Е)<хE => $ n0 xNo>(х-E). Из монотон ности имеем: "n>n0 xN³xNo>(x-E), получили xN£x=SupX, значит "n>n0 xNÎ(x-E,х]<(x-E,x+E)

 

Лемма о вложенных промежутках

Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч

5) Mножество хÎR - числовая прямая

Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a

Лемма: Пусть aN монотонно возрастает, bN монотонно убывает, "n aN£bN и (bN-aN)-бм, тогда $! с: "n cÎ[aN,bN] (с Ç[aN,bN])

Доказательство:

aN£bN£b1 aN монтонно возрастает & aN£b1 => $ Lim aN=a

a1£aN£bN bN монтонно убывает & a1£bN => $ Lim bN=b

aN£a b£bN aN£bN => a£b

Lim (bN-aN)=b-a=0(по условию)=>a=b

Пусть c=a=b, тогда aN£c£bN

Пусть с не единственное: aN£c’£bN, с’¹с

aN£c£bN=>-bN£-c£-aN => aN-bN£c’-c£bN-aN => (По теореме о предельном переходе) => Lim(aN-bN)£Lim(c’-c)£Lim(bN-aN) => (a-b)£Lim(c`-c)£(b-a) =>



0£lim(c`-c)£0 => 0£(c`-c)£0 => c’=c => c - единственное.

Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 при n®¥ lim(bN-aN)=0, тогда концы промежутков aN и bN стремятся к общему пределу с (с разных сторон).

Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение: Пусть аN некоторая числовая посл-ть и kN-строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций n®aN и n®kN получа ем посл-ть aKn-которая наз. подпосл-тью посл-ти aN=>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim аN=а, то и Lim аKn=а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n0: "n>n0N-а|<Е, ввиду того что kN®¥ существует и такое n’, что при всех n>n’ kN>n0 тогда при тех же значениях n будет верно |аKn-а|<Е



Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: хN - ограничена => "n: а£хN£b. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество членов посл-ти хN (в противном случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а1,b1] - та половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а1,b1] промежуток [а2,b2] также содержащий бесконечное число членов посл-ти хN. Продолжая процесс до бесконечности на к-том шаге выделим промежуток [аK,bK]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти хN. Длина к-того промежутка равна bKK = (b-a)/2K, кроме того она стремится к 0 при к®¥ и аK³аK+1 & bK£bK+1. Отсюда по лемме о вложенных промежутках $! с: "n аN£c£bN.

Теперь построим подпоследовательность:

хN1 Î[а1,b1]

хN2 Î[а2,b2] n2>n1

. . .

хNKÎ[аK,bK] nK>nK-1

а£хNk£b. (Lim aK=LimbK=c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim хNk=c - ч.т.д.

 


Просмотров 419

Эта страница нарушает авторские права




allrefrs.ru - 2021 год. Все права принадлежат их авторам!