Предел монотонной последовательности

Определение: Последовательность называется монотонно возрастающей (убывающей) если " n₁>n₂ (n₁<n₂): x_N1³x_N2 (x_N1£x_N2).

Замечание: Если x_N1 строго больше (меньше) x_N2, тогда посл-ть называется строго монотонно возрастающая (убывающая) в случае нестрогости неравенства последовательность называется нестрого возрастающей (убывающей).

Теорема: Всякая ограниченная монотонная последовательность сходится.

Доказательство: Пусть х_N ограниченная монотонно возрастающая последовательность. Х={x_N: nÎN}

По теореме о существовании точной верхней грани у ограниченного множества имеем: $ SupX=x, "Е>0 $x_E: (х-Е)<х_E => $ n₀ x_No>(х-E). Из монотон ности имеем: "n>n₀ x_N³x_No>(x-E), получили x_N£x=SupX, значит "n>n₀ x_NÎ(x-E,х]<(x-E,x+E)

Лемма о вложенных промежутках

Определение: Пусть а,bÎR и а<b. Числовые множества вида 1-5 - называются числовыми промежутками:

1) Mножество хÎR: а£х£b (а<х<b) - называется отрезком (интервалом)

2) Mножество хÎR: а£х<b (а<х£b) - открытый справа (слева) промежуток

3) Mножество хÎR: а<х & x<b - открытый числовой луч

4) Mножество хÎR: а£х & х£b - числовой луч

5) Mножество хÎR - числовая прямая

Определение: Число b и а (если они существуют) называются правым и левым концами отрезка (далее промежутка), и его длина равна b-a

Лемма: Пусть a_N монотонно возрастает, b_N монотонно убывает, "n a_N£b_N и (b_N-a_N)-бм, тогда $! с: "n cÎ[a_N,b_N] (с Ç[a_N,b_N])

Доказательство:

a_N£b_N£b₁ a_N монтонно возрастает & a_N£b₁ => $ Lim a_N=a

a₁£a_N£b_N b_N монтонно убывает & a₁£b_N => $ Lim b_N=b

a_N£a b£b_N a_N£b_N => a£b

Lim (b_N-a_N)=b-a=0(по условию)=>a=b

Пусть c=a=b, тогда a_N£c£b_N

Пусть с не единственное: a_N£c’£b_N, с’¹с

a_N£c£b_N=>-b_N£-c£-a_N => a_N-b_N£c’-c£b_N-a_N => (По теореме о предельном переходе) => Lim(a_N-b_N)£Lim(c’-c)£Lim(b_N-a_N) => (a-b)£Lim(c`-c)£(b-a) =>

0£lim(c`-c)£0 => 0£(c`-c)£0 => c’=c => c - единственное.

Перефразировка Леммы: Пусть имеется бесконечнаz посл-ть вложенных друг в друга промежутков (промежуток 1 вложен в промежуток 2 если все точки промежутка 1 принадлежат промежутку 2: [a1,b1],[a2,b2],...,[an,bn]..., так что каждый последующий содержится в предыдущем, причем длины этих промежутков стремятся к 0 при n®¥ lim(b_N-a_N)=0, тогда концы промежутков a_N и b_N стремятся к общему пределу с (с разных сторон).

Подпоследовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса.

Определение: Пусть а_N некоторая числовая посл-ть и k_N-строго возрастающая посл-ть N чисел. В результате композиции ф-ций n®a_N и n®k_N получа ем посл-ть a_Kn-которая наз. подпосл-тью посл-ти a_N=>подпосл-сть - это либо сама посл-ть либо исходная посл-ть, из которой выбросили часть членов.

Теорема: Если Lim а_N=а, то и Lim а_Kn=а.

Доказательство: Вне любой Е-окрестности точки а лежит конечное число членов последовательности аn и в частности последовательности.

Доказательство: Пусть для заданного Е нашлось n₀: "n>n₀ |а_N-а|<Е, ввиду того что k_N®¥ существует и такое n’, что при всех n>n’ k_N>n₀ тогда при тех же значениях n будет верно |а_Kn-а|<Е

Теорема Больцано-Вейерштрасса: Из всякой ограниченной последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство: х_N - ограничена => "n: а£х_N£b. Поделим промежуток [a,b] пополам, хотя бы в одной его половине содержится бесконечное множество членов посл-ти х_N (в противном случае и во всем промежутке содержится конечное число членов посл-ти, что невозможно). Пусть [а₁,b₁] - та половиа, которая содержит бесконечное число членов посл-ти. Аналогично выделим на промежутке [а₁,b₁] промежуток [а₂,b₂] также содержащий бесконечное число членов посл-ти х_N. Продолжая процесс до бесконечности на к-том шаге выделим промежуток [а_K,b_K]-также содержащий содержащий бесконеч ное число членов посл-ти х_N. Длина к-того промежутка равна b_K-а_K = (b-a)/2^K, кроме того она стремится к 0 при к®¥ и а_K³а_K+1 & b_K£b_K+1. Отсюда по лемме о вложенных промежутках $! с: "n а_N£c£b_N.

Теперь построим подпоследовательность:

х_N1 Î[а₁,b₁]

х_N2 Î[а₂,b₂] n₂>n₁

. . .

х_NKÎ[а_K,b_K] n_K>n_K-1

а£х_Nk£b. (Lim a_K=Limb_K=c из леммы о вложенных промежутках)

Отсюда по лемме о зажатой последовательности Lim х_Nk=c - ч.т.д.