Главная Обратная связь

Дисциплины:

Архитектура (936)
Биология (6393)
География (744)
История (25)
Компьютеры (1497)
Кулинария (2184)
Культура (3938)
Литература (5778)
Математика (5918)
Медицина (9278)
Механика (2776)
Образование (13883)
Политика (26404)
Правоведение (321)
Психология (56518)
Религия (1833)
Социология (23400)
Спорт (2350)
Строительство (17942)
Технология (5741)
Транспорт (14634)
Физика (1043)
Философия (440)
Финансы (17336)
Химия (4931)
Экология (6055)
Экономика (9200)
Электроника (7621)






Интеграл Римана - Стильтьеса



 

Пусть на отрезке [a,b] определены две функции f(x) и g(x) .

Определения разбиения s :a = x0 < x1 < x2 < …< xn = b отрезка [a,b], диаметра разбиения d(s) = max Dxi (i = 1, 2, … , n), интегральных сумм Римана - Стильтьеса от функции f(x) по функции g(x)

где xi-1 £ xi £ xi , Dgi = g(xi) – g(xi-1), интеграла Римана - Стильтьеса от функции f(x) по функции g(x)

 

и интегрируемости функции f(x) по функции g(x) на отрезке [a,b].

Критерий Коши. Интеграла Римана - Стильтьеса от функции f(x) по функции g(x) существует тогда и только тогда, когда

 

Теорема (о связи между интегралами fdg и gdf ).

Из существования одного из интегралов

следует существование и другого интеграла (другими словами: если f(x) интегрируема по функции g(x) на отрезке [a,b] , то и g(x) интегрируема по функции f(x) на отрезке [a,b], и наоборот) ,

при этом справедлива формула интегрирования по частям:

Свойства интеграла Римана – Стильтьеса:

 

1.

2.

3.

4.

5. ,

если a < b < c и интеграл от а до с существует

 

Замечание. Из существования интегралов от а до b и от b до с не следует, вообще говоря, существования интеграла от а до с

(+ пример: a = 0, b = 1, c = 2, f(x) = 0 при 0 £ x £ 1 и f(x) = 1 при 1 < x £ 2 , g(x) = 0 при 0 £ x < 1 и g(x) = 1 при 1£ x £ 2) .

Определение нижней и верхней сумм Дарбу – Стильтьеса для случая возрастающей функции g(x) :

и

где , a

Из приведённых выше определений видно, что для случая возрастающей функции g(x)

Свойства сумм Дарбу для случая возрастающей функции g(x):

1. При измельчении разбиения s (т. е. при добавлении новых точек разбиения) нижняя сумма Дарбу S(s) не убывает, а верхняя сумма Дарбу `S(s) не возрастает.

2. Всякая нижняя сумма Дарбу S(s1) не превосходит всякой верхней суммы Дарбу `S(s2).

3. Существуют

Критерий Дарбу. Ограниченная функция f(x) интегрируема по монотонной функции g(x) на отрезке [a,b] тогда и только тогда, когда

Лекция 11. (пятн, 04.05.07)

Теорема (о достаточных условиях существования интеграла Римана – Стильтьеса). Для существования интегралов Римана-Стильтьеса

достаточно выполнения любого из следующих условий:

 

1. Одна из функций f(x) и g(x) непрерывна на [a, b] , а другая имеет на [a, b] ограниченную вариацию.

 

2. Одна из функций f(x) и g(x) интегрируема по Риману на [a, b] , а другая липшицируема на [a, b] .



3. Одна из функций f(x) и g(x) непрерывна на [a, b] , а другая представима на [a, b] в виде

С и Сj - const, r(x-xj) = 0 при х £ xj и = 1 при х > xj ,

а j(x) - некоторая непрерывная на отрезке [a, b] функция.

Доказательство.

1. Пусть, например, функция f(x) непрерывна на [a, b] , а функция g(x) имеет на [a, b] ограниченную вариацию. Тогда функцию g(x) можно представить на [a, b] в виде разности двух монотонно возрастающих функций g1(x) = V(x) и g2(x)= V(x) - g(x)

(где V(x) - вариация функции g(x) на участке [a, х] ). А так как

то достаточно рассмотреть случай монотонно возрастающей

функции g(x) . Проверим выполнение условия Дарбу:

при d(s) ® 0 в силу равномерной непрерывности функции f(x)

на отрезке [a, b] .

2. Пусть, например, функция f(x) интегрируема по Риману на [a, b] , а функция g(x) липшицируема на [a, b] . Тогда функцию g(x) можно представить на [a, b] в виде разности двух монотонно возрастающих функций g1(x) = V(x) и g2(x)= V(x) - g(x) , причём обе функции g1(x) и g2(x) также будут липшицируемы на [a, b] . А так как

то достаточно рассмотреть случай возрастающей и липшицируемой

функции g(x) . Проверим выполнение условия Дарбу:

при d(s) ® 0 в силу интегрируемости по Риману функции f(x)

на отрезке [a, b] .

3. Так как

то достаточно проверить существование всех трёх интегралов

в правой части. Но первые два вычисляются непосредственно

и равны соответственно 0 и cумме Cjf(xj) , а для третьего

интеграла справедливы условия 2 .

Замечание. Условие 3. можно ослабить. Теорема остаётся справедливой,

если фукнция j(x) интегрируема на [a , b] хотя бы в несобственном смысле.

 

Теорема (о вычислении интеграла Римана – Стильтьеса).



Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b] , а g(x) представима на [a, b] в виде С и Сj - const,

r(x-xj) = 0 при х £ xj и = 1 при х > xj , а j(x) - некоторая непрерывная на отрезке [a, b] функция. Тогда

+ пример: [a, b] = [-2, 2]; f(x) = x3 + 1; g(x) = x + 2 при –2 £ x £ -1 , g(x) = 2 при –1 < x £ 1 , g(x) = x2 + 3 при 1 < x £ 2

 

Задача 23. Покажите, что интеграл Стильтьеса от a до b от x.dF(x)

можно в случае монотонно возрастающей и ограниченной функции

F(x) геометрически интерпретировать как площадь между

графиком F(x) и осью ординат.

Задача 24. Каков геометрический смысл интегралов Стильтьеса от gdf и

fdg и формулы интегрирования по частям в случае непрерывной

и монотонно возрастающей функции f(x) и монотонной

и ограниченной функции g(x) .

Теорема (об оценках для интеграла Римана – Стильтьеса).

 

1) Если на отрезке [a, b] функция f(x) ограничена, m £ f(x) £ M ,

а функция g(x) монотонна, то

2) Если функция f(x) непрерывна на [a, b] , а функция g(x) имеет

на [a, b] ограниченную вариацию, то

Теорема (2-я теорема о среднем для интеграла Римана).

Если функция f(x) непрерывна на [a, b] , а функция g(x) возрастает

на [a, b] , то найдётся точка x между a и b такая, что

 

Лекция 12. (пятница, 11.05.07)


Эта страница нарушает авторские права

allrefrs.ru - 2019 год. Все права принадлежат их авторам!